MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsolv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsolv 21145
Description: If 𝑋 is in the span of 𝐴 ∪ {𝑌} but not 𝐴, then 𝑌 is in the span of 𝐴 ∪ {𝑋}. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsolv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsolv.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsolv ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))

Proof of Theorem lspsolv
Dummy variables 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspsolv.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lspsolv.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 eqid 2737 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2737 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6 eqid 2737 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
7 eqid 2737 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
8 eqid 2737 . . 3 {𝑧𝑉 ∣ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)} = {𝑧𝑉 ∣ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)}
9 lveclmod 21105 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
109adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑊 ∈ LMod)
11 simpr1 1195 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝐴𝑉)
12 simpr2 1196 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑌𝑉)
13 simpr3 1197 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))
1413eldifad 3963 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14lspsolvlem 21144 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))(𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
164lvecdrng 21104 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
1716ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
18 simprl 771 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1910adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑊 ∈ LMod)
2012adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑌𝑉)
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
22 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑊) = (0g𝑊)
231, 4, 7, 21, 22lmod0vs 20893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (0g𝑊))
2419, 20, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (0g𝑊))
2524oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑋(+g𝑊)(0g𝑊)))
2611adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝐴𝑉)
2720snssd 4809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → {𝑌} ⊆ 𝑉)
2826, 27unssd 4192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑉)
291, 3lspssv 20981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ 𝑉)
3019, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ 𝑉)
3130ssdifssd 4147 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)) ⊆ 𝑉)
3213adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))
3331, 32sseldd 3984 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑋𝑉)
341, 6, 22lmod0vrid 20891 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑋)
3519, 33, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑋)
3625, 35eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = 𝑋)
3736, 32eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))
3837eldifbd 3964 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ¬ (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
39 simprr 773 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
40 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌))
4140oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
4241eleq1d 2826 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → ((𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
4339, 42syl5ibcom 245 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑟 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
4443necon3bd 2954 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (¬ (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) → 𝑟 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
4538, 44mpd 15 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑟 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
46 eqid 2737 . . . . . . 7 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
47 eqid 2737 . . . . . . 7 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
48 eqid 2737 . . . . . . 7 (invr‘(Scalar‘𝑊)) = (invr‘(Scalar‘𝑊))
495, 21, 46, 47, 48drnginvrl 20756 . . . . . 6 (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑟 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
5017, 18, 45, 49syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
5150oveq1d 7446 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑌) = ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌))
525, 21, 48drnginvrcl 20753 . . . . . 6 (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑟 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5317, 18, 45, 52syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
541, 4, 7, 5, 46lmodvsass 20885 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌𝑉)) → ((((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑌) = (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)))
5519, 53, 18, 20, 54syl13anc 1374 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑌) = (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)))
561, 4, 7, 47lmodvs1 20888 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = 𝑌)
5719, 20, 56syl2anc 584 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = 𝑌)
5851, 55, 573eqtr3d 2785 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) = 𝑌)
5933snssd 4809 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6026, 59unssd 4192 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉)
611, 2, 3lspcl 20974 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
6219, 60, 61syl2anc 584 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
631, 4, 7, 5lmodvscl 20876 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
6419, 18, 20, 63syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
65 eqid 2737 . . . . . . 7 (-g𝑊) = (-g𝑊)
661, 6, 65lmodvpncan 20913 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉𝑋𝑉) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)(-g𝑊)𝑋) = (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌))
6719, 64, 33, 66syl3anc 1373 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)(-g𝑊)𝑋) = (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌))
681, 6lmodcom 20906 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉𝑋𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) = (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)))
6919, 64, 33, 68syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) = (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)))
70 ssun1 4178 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑋})
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑋}))
721, 3lspss 20982 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑋})) → (𝑁𝐴) ⊆ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
7319, 60, 71, 72syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑁𝐴) ⊆ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
7473, 39sseldd 3984 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
7569, 74eqeltrd 2841 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
761, 3lspssid 20983 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
7719, 60, 76syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
78 snidg 4660 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉𝑋 ∈ {𝑋})
79 elun2 4183 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {𝑋} → 𝑋 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}))
8033, 78, 793syl 18 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}))
8177, 80sseldd 3984 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8265, 2lssvsubcl 20942 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆) ∧ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)(-g𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8319, 62, 75, 81, 82syl22anc 839 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)(-g𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8467, 83eqeltrrd 2842 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
854, 7, 5, 2lssvscl 20953 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆) ∧ (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8619, 62, 53, 84, 85syl22anc 839 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8758, 86eqeltrrd 2842 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8815, 87rexlimddv 3161 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  {crab 3436  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484  -gcsg 18953  1rcur 20178  invrcinvr 20387  DivRingcdr 20729  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LVecclvec 21101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102
This theorem is referenced by:  lssacsex  21146  lspsnat  21147  lsppratlem1  21149  lsppratlem3  21151  lsppratlem4  21152  lbsextlem4  21163  lindsadd  37620  lindsenlbs  37622
  Copyright terms: Public domain W3C validator