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Theorem lspsolv 20749
Description: If 𝑋 is in the span of 𝐴 βˆͺ {π‘Œ} but not 𝐴, then π‘Œ is in the span of 𝐴 βˆͺ {𝑋}. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsolv.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspsolv.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsolv ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
Proof of Theorem lspsolv
Dummy variables π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspsolv.s . . 3 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
3 lspsolv.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
4 eqid 2733 . . 3 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
5 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
6 eqid 2733 . . 3 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
7 eqid 2733 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
8 eqid 2733 . . 3 {𝑧 ∈ 𝑉 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝑧(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)} = {𝑧 ∈ 𝑉 ∣ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝑧(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)}
9 lveclmod 20710 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
109adantr 482 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
11 simpr1 1195 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑉)
12 simpr2 1196 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
13 simpr3 1197 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) β†’ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))
1413eldifad 3960 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14lspsolvlem 20748 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
164lvecdrng 20709 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
1716ad2antrr 725 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
18 simprl 770 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1910adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
2012adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
21 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
22 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
231, 4, 7, 21, 22lmod0vs 20498 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))
2419, 20, 23syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Š))
2524oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)))
2611adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑉)
2720snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ {π‘Œ} βŠ† 𝑉)
2826, 27unssd 4186 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (𝐴 βˆͺ {π‘Œ}) βŠ† 𝑉)
291, 3lspssv 20587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 βˆͺ {π‘Œ}) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βŠ† 𝑉)
3019, 28, 29syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βŠ† 𝑉)
3130ssdifssd 4142 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)) βŠ† 𝑉)
3213adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))
3331, 32sseldd 3983 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
341, 6, 22lmod0vrid 20496 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) = 𝑋)
3519, 33, 34syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(0gβ€˜π‘Š)) = 𝑋)
3625, 35eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = 𝑋)
3736, 32eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))
3837eldifbd 3961 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ Β¬ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
39 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))
40 oveq1 7413 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
4140oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
4241eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ ((𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) ↔ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
4339, 42syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (π‘Ÿ = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄)))
4443necon3bd 2955 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (Β¬ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄) β†’ π‘Ÿ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
4538, 44mpd 15 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ π‘Ÿ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
46 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
47 eqid 2733 . . . . . . 7 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
48 eqid 2733 . . . . . . 7 (invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
495, 21, 46, 47, 48drnginvrl 20333 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ÿ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ÿ) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5017, 18, 45, 49syl3anc 1372 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ÿ) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5150oveq1d 7421 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
525, 21, 48drnginvrcl 20330 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ÿ β‰  (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
5317, 18, 45, 52syl3anc 1372 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
541, 4, 7, 5, 46lmodvsass 20490 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉)) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
5519, 53, 18, 20, 54syl13anc 1373 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ)(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
561, 4, 7, 47lmodvs1 20493 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = π‘Œ)
5719, 20, 56syl2anc 585 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) = π‘Œ)
5851, 55, 573eqtr3d 2781 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) = π‘Œ)
5933snssd 4812 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
6026, 59unssd 4186 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝑉)
611, 2, 3lspcl 20580 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})) ∈ 𝑆)
6219, 60, 61syl2anc 585 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})) ∈ 𝑆)
631, 4, 7, 5lmodvscl 20482 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
6419, 18, 20, 63syl3anc 1372 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉)
65 eqid 2733 . . . . . . 7 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
661, 6, 65lmodvpncan 20518 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)(-gβ€˜π‘Š)𝑋) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
6719, 64, 33, 66syl3anc 1372 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)(-gβ€˜π‘Š)𝑋) = (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ))
681, 6lmodcom 20511 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
6919, 64, 33, 68syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)))
70 ssun1 4172 . . . . . . . . . 10 𝐴 βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝑋})
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ 𝐴 βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝑋}))
721, 3lspss 20588 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝑉 ∧ 𝐴 βŠ† (𝐴 βˆͺ {𝑋})) β†’ (π‘β€˜π΄) βŠ† (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
7319, 60, 71, 72syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (π‘β€˜π΄) βŠ† (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
7473, 39sseldd 3983 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
7569, 74eqeltrd 2834 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ ((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
761, 3lspssid 20589 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) βŠ† 𝑉) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
7719, 60, 76syl2anc 585 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (𝐴 βˆͺ {𝑋}) βŠ† (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
78 snidg 4662 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑉 β†’ 𝑋 ∈ {𝑋})
79 elun2 4177 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {𝑋} β†’ 𝑋 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))
8033, 78, 793syl 18 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ (𝐴 βˆͺ {𝑋}))
8177, 80sseldd 3983 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
8265, 2lssvsubcl 20547 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})) ∈ 𝑆) ∧ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})) ∧ 𝑋 ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))) β†’ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)(-gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
8319, 62, 75, 81, 82syl22anc 838 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (((π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)(+gβ€˜π‘Š)𝑋)(-gβ€˜π‘Š)𝑋) ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
8467, 83eqeltrrd 2835 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
854, 7, 5, 2lssvscl 20559 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})) ∈ 𝑆) ∧ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
8619, 62, 53, 84, 85syl22anc 838 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ (((invrβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜π‘Ÿ)( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
8758, 86eqeltrrd 2835 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) ∧ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (𝑋(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ÿ( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Œ)) ∈ (π‘β€˜π΄))) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
8815, 87rexlimddv 3162 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐴 βŠ† 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ ((π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {π‘Œ})) βˆ– (π‘β€˜π΄)))) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜(𝐴 βˆͺ {𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  Basecbs 17141  +gcplusg 17194  .rcmulr 17195  Scalarcsca 17197   ·𝑠 cvsca 17198  0gc0g 17382  -gcsg 18818  1rcur 19999  invrcinvr 20194  DivRingcdr 20308  LModclmod 20464  LSubSpclss 20535  LSpanclspn 20575  LVecclvec 20706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-0g 17384  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-ring 20052  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-drng 20310  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lvec 20707
This theorem is referenced by:  lssacsex  20750  lspsnat  20751  lsppratlem1  20753  lsppratlem3  20755  lsppratlem4  20756  lbsextlem4  20767  lindsadd  36470  lindsenlbs  36472
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