Theorem relogbf 26834

Description: The general logarithm to a real base greater than 1 regarded as function restricted to the positive integers. Property in [Cohen4] p. 349. (Contributed by AV, 12-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relogbf	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → ((curry logb ‘𝐵) ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)

Proof of Theorem relogbf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcndif0 13054	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
3		rpcn 13045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		rpne0 13051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
7		animorr 981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 < 1 ∨ 1 < 𝐵))
8		rpre 13043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
9		1red 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 < 𝐵 → 1 ∈ ℝ)
10		lttri2 11343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 ≠ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 1 < 𝐵)))
11	8, 9, 10	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 ≠ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 1 < 𝐵)))
12	7, 11	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 1)
13	4, 6, 12	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
14		logbmpt 26831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (curry logb ‘𝐵) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (curry logb ‘𝐵) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))))
16	15	dmeqd 5916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → dom (curry logb ‘𝐵) = dom (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))))
17		ovexd 7466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((log‘𝑥) / (log‘𝐵)) ∈ V)
18	17	ralrimiva 3146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})((log‘𝑥) / (log‘𝐵)) ∈ V)
19		dmmptg 6262	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})((log‘𝑥) / (log‘𝐵)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))) = (ℂ ∖ {0}))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → dom (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))) = (ℂ ∖ {0}))
21	16, 20	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → dom (curry logb ‘𝐵) = (ℂ ∖ {0}))
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → dom (curry logb ‘𝐵) = (ℂ ∖ {0}))
23	2, 22	eleqtrrd 2844	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ dom (curry logb ‘𝐵))
24		logbfval 26833	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) = (𝐵 logb 𝑥))
25	13, 1, 24	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) = (𝐵 logb 𝑥))
26		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
27		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
28	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 1)
29	26, 27, 28	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1))
30		relogbcl 26816	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 𝑥) ∈ ℝ)
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑥) ∈ ℝ)
32	25, 31	eqeltrd 2841	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ)
33	23, 32	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ dom (curry logb ‘𝐵) ∧ ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ))
34	33	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom (curry logb ‘𝐵) ∧ ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ))
35		logbf 26832	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (curry logb ‘𝐵):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
36		ffun 6739	. . 3 ⊢ ((curry logb ‘𝐵):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ → Fun (curry logb ‘𝐵))
37		ffvresb 7145	. . 3 ⊢ (Fun (curry logb ‘𝐵) → (((curry logb ‘𝐵) ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom (curry logb ‘𝐵) ∧ ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ)))
38	13, 35, 36, 37	4syl 19	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (((curry logb ‘𝐵) ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom (curry logb ‘𝐵) ∧ ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ)))
39	34, 38	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → ((curry logb ‘𝐵) ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685   ↾ cres 5687  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  curry ccur 8290  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295   / cdiv 11920  ℝ⁺crp 13034  logclog 26596   log_b clogb 26807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-cur 8292  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-logb 26808

This theorem is referenced by: (None)