Theorem relogbf 25529

Description: The general logarithm to a real base greater than 1 regarded as function restricted to the positive integers. Property in [Cohen4] p. 349. (Contributed by AV, 12-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relogbf	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → ((curry logb ‘𝐵) ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)

Proof of Theorem relogbf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpcndif0 12492	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
2	1	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
3		rpcn 12483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		rpne0 12489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ≠ 0)
6	5	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
7		animorr 978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 < 1 ∨ 1 < 𝐵))
8		rpre 12481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
9		1red 10721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 < 𝐵 → 1 ∈ ℝ)
10		lttri2 10802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 ≠ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 1 < 𝐵)))
11	8, 9, 10	syl2an 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 ≠ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 1 < 𝐵)))
12	7, 11	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 1)
13	4, 6, 12	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
14		logbmpt 25526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (curry logb ‘𝐵) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))))
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (curry logb ‘𝐵) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))))
16	15	dmeqd 5749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → dom (curry logb ‘𝐵) = dom (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))))
17		ovexd 7206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((log‘𝑥) / (log‘𝐵)) ∈ V)
18	17	ralrimiva 3096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})((log‘𝑥) / (log‘𝐵)) ∈ V)
19		dmmptg 6075	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})((log‘𝑥) / (log‘𝐵)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))) = (ℂ ∖ {0}))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → dom (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))) = (ℂ ∖ {0}))
21	16, 20	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → dom (curry logb ‘𝐵) = (ℂ ∖ {0}))
22	21	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → dom (curry logb ‘𝐵) = (ℂ ∖ {0}))
23	2, 22	eleqtrrd 2836	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ dom (curry logb ‘𝐵))
24		logbfval 25528	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) = (𝐵 logb 𝑥))
25	13, 1, 24	syl2an 599	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) = (𝐵 logb 𝑥))
26		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
27		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
28	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 1)
29	26, 27, 28	3jca 1129	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1))
30		relogbcl 25511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 𝑥) ∈ ℝ)
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑥) ∈ ℝ)
32	25, 31	eqeltrd 2833	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ)
33	23, 32	jca 515	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ dom (curry logb ‘𝐵) ∧ ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ))
34	33	ralrimiva 3096	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom (curry logb ‘𝐵) ∧ ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ))
35		logbf 25527	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (curry logb ‘𝐵):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
36	13, 35	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (curry logb ‘𝐵):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
37		ffun 6508	. . 3 ⊢ ((curry logb ‘𝐵):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ → Fun (curry logb ‘𝐵))
38		ffvresb 6899	. . 3 ⊢ (Fun (curry logb ‘𝐵) → (((curry logb ‘𝐵) ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom (curry logb ‘𝐵) ∧ ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ)))
39	36, 37, 38	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (((curry logb ‘𝐵) ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom (curry logb ‘𝐵) ∧ ((curry logb ‘𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ)))
40	34, 39	mpbird 260	1 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → ((curry logb ‘𝐵) ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  Vcvv 3398   ∖ cdif 3841  {csn 4517   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  dom cdm 5526   ↾ cres 5528  Fun wfun 6334  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7171  curry ccur 7961  ℂcc 10614  ℝcr 10615  0cc0 10616  1c1 10617   < clt 10754   / cdiv 11376  ℝ⁺crp 12473  logclog 25298   log_b clogb 25502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-inf2 9178  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694  ax-addf 10695  ax-mulf 10696

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-of 7426  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-supp 7858  df-cur 7963  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-2o 8133  df-er 8321  df-map 8440  df-pm 8441  df-ixp 8509  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-fsupp 8908  df-fi 8949  df-sup 8980  df-inf 8981  df-oi 9048  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-dec 12181  df-uz 12326  df-q 12432  df-rp 12474  df-xneg 12591  df-xadd 12592  df-xmul 12593  df-ioo 12826  df-ioc 12827  df-ico 12828  df-icc 12829  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-fl 13254  df-mod 13330  df-seq 13462  df-exp 13523  df-fac 13727  df-bc 13756  df-hash 13784  df-shft 14517  df-cj 14549  df-re 14550  df-im 14551  df-sqrt 14685  df-abs 14686  df-limsup 14919  df-clim 14936  df-rlim 14937  df-sum 15137  df-ef 15514  df-sin 15516  df-cos 15517  df-pi 15519  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-starv 16684  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-ip 16687  df-tset 16688  df-ple 16689  df-ds 16691  df-unif 16692  df-hom 16693  df-cco 16694  df-rest 16800  df-topn 16801  df-0g 16819  df-gsum 16820  df-topgen 16821  df-pt 16822  df-prds 16825  df-xrs 16879  df-qtop 16884  df-imas 16885  df-xps 16887  df-mre 16961  df-mrc 16962  df-acs 16964  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-submnd 18074  df-mulg 18344  df-cntz 18566  df-cmn 19027  df-psmet 20210  df-xmet 20211  df-met 20212  df-bl 20213  df-mopn 20214  df-fbas 20215  df-fg 20216  df-cnfld 20219  df-top 21646  df-topon 21663  df-topsp 21685  df-bases 21698  df-cld 21771  df-ntr 21772  df-cls 21773  df-nei 21850  df-lp 21888  df-perf 21889  df-cn 21979  df-cnp 21980  df-haus 22067  df-tx 22314  df-hmeo 22507  df-fil 22598  df-fm 22690  df-flim 22691  df-flf 22692  df-xms 23074  df-ms 23075  df-tms 23076  df-cncf 23631  df-limc 24618  df-dv 24619  df-log 25300  df-logb 25503

This theorem is referenced by: (None)