MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relogbf 25529
Description: The general logarithm to a real base greater than 1 regarded as function restricted to the positive integers. Property in [Cohen4] p. 349. (Contributed by AV, 12-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
relogbf ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → ((curry logb𝐵) ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)

Proof of Theorem relogbf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpcndif0 12492 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
21adantl 485 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
3 rpcn 12483 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℂ)
43adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 rpne0 12489 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
65adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
7 animorr 978 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 < 1 ∨ 1 < 𝐵))
8 rpre 12481 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
9 1red 10721 . . . . . . . . . . . 12 (1 < 𝐵 → 1 ∈ ℝ)
10 lttri2 10802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 ≠ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 1 < 𝐵)))
118, 9, 10syl2an 599 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 ≠ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 1 < 𝐵)))
127, 11mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 1)
134, 6, 123jca 1129 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1))
14 logbmpt 25526 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (curry logb𝐵) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (curry logb𝐵) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))))
1615dmeqd 5749 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → dom (curry logb𝐵) = dom (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))))
17 ovexd 7206 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((log‘𝑥) / (log‘𝐵)) ∈ V)
1817ralrimiva 3096 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → ∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})((log‘𝑥) / (log‘𝐵)) ∈ V)
19 dmmptg 6075 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})((log‘𝑥) / (log‘𝐵)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))) = (ℂ ∖ {0}))
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → dom (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ ((log‘𝑥) / (log‘𝐵))) = (ℂ ∖ {0}))
2116, 20eqtrd 2773 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → dom (curry logb𝐵) = (ℂ ∖ {0}))
2221adantr 484 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → dom (curry logb𝐵) = (ℂ ∖ {0}))
232, 22eleqtrrd 2836 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ dom (curry logb𝐵))
24 logbfval 25528 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) ∧ 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((curry logb𝐵)‘𝑥) = (𝐵 logb 𝑥))
2513, 1, 24syl2an 599 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((curry logb𝐵)‘𝑥) = (𝐵 logb 𝑥))
26 simpll 767 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
27 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
2812adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 1)
2926, 27, 283jca 1129 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1))
30 relogbcl 25511 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 𝑥) ∈ ℝ)
3129, 30syl 17 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝑥) ∈ ℝ)
3225, 31eqeltrd 2833 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((curry logb𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ)
3323, 32jca 515 . . 3 (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ dom (curry logb𝐵) ∧ ((curry logb𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ))
3433ralrimiva 3096 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom (curry logb𝐵) ∧ ((curry logb𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ))
35 logbf 25527 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 1) → (curry logb𝐵):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
3613, 35syl 17 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (curry logb𝐵):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
37 ffun 6508 . . 3 ((curry logb𝐵):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ → Fun (curry logb𝐵))
38 ffvresb 6899 . . 3 (Fun (curry logb𝐵) → (((curry logb𝐵) ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom (curry logb𝐵) ∧ ((curry logb𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ)))
3936, 37, 383syl 18 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → (((curry logb𝐵) ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥 ∈ dom (curry logb𝐵) ∧ ((curry logb𝐵)‘𝑥) ∈ ℝ)))
4034, 39mpbird 260 1 ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵) → ((curry logb𝐵) ↾ ℝ+):ℝ+⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wral 3053  Vcvv 3398  cdif 3841  {csn 4517   class class class wbr 5031  cmpt 5111  dom cdm 5526  cres 5528  Fun wfun 6334  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7171  curry ccur 7961  cc 10614  cr 10615  0cc0 10616  1c1 10617   < clt 10754   / cdiv 11376  +crp 12473  logclog 25298   logb clogb 25502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-inf2 9178  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693  ax-pre-sup 10694  ax-addf 10695  ax-mulf 10696
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-of 7426  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-supp 7858  df-cur 7963  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-2o 8133  df-er 8321  df-map 8440  df-pm 8441  df-ixp 8509  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-fsupp 8908  df-fi 8949  df-sup 8980  df-inf 8981  df-oi 9048  df-card 9442  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-div 11377  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-dec 12181  df-uz 12326  df-q 12432  df-rp 12474  df-xneg 12591  df-xadd 12592  df-xmul 12593  df-ioo 12826  df-ioc 12827  df-ico 12828  df-icc 12829  df-fz 12983  df-fzo 13126  df-fl 13254  df-mod 13330  df-seq 13462  df-exp 13523  df-fac 13727  df-bc 13756  df-hash 13784  df-shft 14517  df-cj 14549  df-re 14550  df-im 14551  df-sqrt 14685  df-abs 14686  df-limsup 14919  df-clim 14936  df-rlim 14937  df-sum 15137  df-ef 15514  df-sin 15516  df-cos 15517  df-pi 15519  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-starv 16684  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-ip 16687  df-tset 16688  df-ple 16689  df-ds 16691  df-unif 16692  df-hom 16693  df-cco 16694  df-rest 16800  df-topn 16801  df-0g 16819  df-gsum 16820  df-topgen 16821  df-pt 16822  df-prds 16825  df-xrs 16879  df-qtop 16884  df-imas 16885  df-xps 16887  df-mre 16961  df-mrc 16962  df-acs 16964  df-mgm 17969  df-sgrp 18018  df-mnd 18029  df-submnd 18074  df-mulg 18344  df-cntz 18566  df-cmn 19027  df-psmet 20210  df-xmet 20211  df-met 20212  df-bl 20213  df-mopn 20214  df-fbas 20215  df-fg 20216  df-cnfld 20219  df-top 21646  df-topon 21663  df-topsp 21685  df-bases 21698  df-cld 21771  df-ntr 21772  df-cls 21773  df-nei 21850  df-lp 21888  df-perf 21889  df-cn 21979  df-cnp 21980  df-haus 22067  df-tx 22314  df-hmeo 22507  df-fil 22598  df-fm 22690  df-flim 22691  df-flf 22692  df-xms 23074  df-ms 23075  df-tms 23076  df-cncf 23631  df-limc 24618  df-dv 24619  df-log 25300  df-logb 25503
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator