Theorem lpss2 38504

Description: Limit points of a subset are limit points of the larger set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
lpss2.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
lpss2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((limPt‘𝐽)‘𝐵) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))

Proof of Theorem lpss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpss2.1	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	lpss3 23369	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ((limPt‘𝐽)‘𝐵) ⊆ ((limPt‘𝐽)‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6533  Topctop 23118  limPtclp 23359

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-top 23119  df-cld 23244  df-cls 23246  df-lp 23361

This theorem is used by: (None)