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Theorem metf1o 36671
Description: Use a bijection with a metric space to construct a metric on a set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypothesis
Ref Expression
metf1o.2 𝑁 = (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)))
Assertion
Ref Expression
metf1o ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   π‘₯,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem metf1o
Dummy variables 𝑒 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1of 6834 . . . . . . 7 (𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
2 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ π‘₯ ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋)
32ex 414 . . . . . . . 8 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ (π‘₯ ∈ π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋))
4 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋)
54ex 414 . . . . . . . 8 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ (𝑦 ∈ π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋))
63, 5anim12d 610 . . . . . . 7 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋)))
71, 6syl 17 . . . . . 6 (𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋)))
8 metcl 23838 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
983expib 1123 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ 𝑋) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ))
107, 9sylan9r 510 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ))
11103adant1 1131 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘Œ ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ))
1211ralrimivv 3199 . . 3 ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
13 metf1o.2 . . . 4 𝑁 = (π‘₯ ∈ π‘Œ, 𝑦 ∈ π‘Œ ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)))
1413fmpo 8054 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ π‘Œ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Œ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ ↔ 𝑁:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆβ„)
1512, 14sylib 217 . 2 ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) β†’ 𝑁:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆβ„)
16 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑒 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘’))
1716oveq1d 7424 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑒 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)))
18 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑣 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘£))
1918oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)))
20 ovex 7442 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) ∈ V
2117, 19, 13, 20ovmpo 7568 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑒𝑁𝑣) = ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)))
2221eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑒𝑁𝑣) = 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) = 0))
2322adantl 483 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑒𝑁𝑣) = 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) = 0))
24 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑒 ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋)
2524ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ (𝑒 ∈ π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋))
26 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)
2726ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ (𝑣 ∈ π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋))
2825, 27anim12d 610 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)))
291, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)))
3029imp 408 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋))
3130adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋))
32 meteq0 23845 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋) β†’ (((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘£)))
33323expb 1121 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘£)))
3433adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ ((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)) β†’ (((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘£)))
3531, 34syldan 592 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) = 0 ↔ (πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘£)))
36 f1of1 6833 . . . . . . . . 9 (𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ 𝐹:π‘Œβ€“1-1→𝑋)
37 f1fveq 7261 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘Œβ€“1-1→𝑋 ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘£) ↔ 𝑒 = 𝑣))
3836, 37sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘£) ↔ 𝑒 = 𝑣))
3938adantll 713 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’) = (πΉβ€˜π‘£) ↔ 𝑒 = 𝑣))
4023, 35, 393bitrd 305 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ ((𝑒𝑁𝑣) = 0 ↔ 𝑒 = 𝑣))
41 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)
4241ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ (𝑀 ∈ π‘Œ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋))
4328, 42anim12d 610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ (((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)))
441, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 β†’ (((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)))
4544imp 408 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋 ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋))
4645adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ (((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋))
47 mettri2 23847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ ((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)) + ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£))))
4847expcom 415 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)) + ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£)))))
49483expb 1121 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋 ∧ ((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋)) β†’ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)) + ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£)))))
5049ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 ((((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋) β†’ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)) + ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£)))))
5150impcom 409 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ (((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)) + ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£))))
5251adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ (((πΉβ€˜π‘’) ∈ 𝑋 ∧ (πΉβ€˜π‘£) ∈ 𝑋) ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)) + ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£))))
5346, 52syldan 592 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)) + ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£))))
5453anassrs 469 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)) + ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£))))
5521adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑒𝑁𝑣) = ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)))
56 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘€))
5756oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)))
58 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑒 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘’))
5958oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑒 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)))
60 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)) ∈ V
6157, 59, 13, 60ovmpo 7568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ π‘Œ ∧ 𝑒 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑀𝑁𝑒) = ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)))
6261ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑀𝑁𝑒) = ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)))
6362adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑀𝑁𝑒) = ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)))
6418oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘¦)) = ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£)))
65 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) ∈ V
6657, 64, 13, 65ovmpo 7568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑀𝑁𝑣) = ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£)))
6766ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ π‘Œ ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑀𝑁𝑣) = ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£)))
6867adantll 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑀𝑁𝑣) = ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£)))
6963, 68oveq12d 7427 . . . . . . . . . 10 (((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑀𝑁𝑒) + (𝑀𝑁𝑣)) = (((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)) + ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£))))
7055, 69breq12d 5162 . . . . . . . . 9 (((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑒𝑁𝑣) ≀ ((𝑀𝑁𝑒) + (𝑀𝑁𝑣)) ↔ ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)) + ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£)))))
7170adantll 713 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ ((𝑒𝑁𝑣) ≀ ((𝑀𝑁𝑒) + (𝑀𝑁𝑣)) ↔ ((πΉβ€˜π‘’)𝑀(πΉβ€˜π‘£)) ≀ (((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘’)) + ((πΉβ€˜π‘€)𝑀(πΉβ€˜π‘£)))))
7254, 71mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) ∧ 𝑀 ∈ π‘Œ) β†’ (𝑒𝑁𝑣) ≀ ((𝑀𝑁𝑒) + (𝑀𝑁𝑣)))
7372ralrimiva 3147 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) ≀ ((𝑀𝑁𝑒) + (𝑀𝑁𝑣)))
7440, 73jca 513 . . . . 5 (((𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (((𝑒𝑁𝑣) = 0 ↔ 𝑒 = 𝑣) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) ≀ ((𝑀𝑁𝑒) + (𝑀𝑁𝑣))))
75743adantl1 1167 . . . 4 (((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) ∧ (𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ)) β†’ (((𝑒𝑁𝑣) = 0 ↔ 𝑒 = 𝑣) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) ≀ ((𝑀𝑁𝑒) + (𝑀𝑁𝑣))))
7675ex 414 . . 3 ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) β†’ ((𝑒 ∈ π‘Œ ∧ 𝑣 ∈ π‘Œ) β†’ (((𝑒𝑁𝑣) = 0 ↔ 𝑒 = 𝑣) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) ≀ ((𝑀𝑁𝑒) + (𝑀𝑁𝑣)))))
7776ralrimivv 3199 . 2 ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) β†’ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑒𝑁𝑣) = 0 ↔ 𝑒 = 𝑣) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) ≀ ((𝑀𝑁𝑒) + (𝑀𝑁𝑣))))
78 ismet 23829 . . 3 (π‘Œ ∈ 𝐴 β†’ (𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘Œ) ↔ (𝑁:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑒𝑁𝑣) = 0 ↔ 𝑒 = 𝑣) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) ≀ ((𝑀𝑁𝑒) + (𝑀𝑁𝑣))))))
79783ad2ant1 1134 . 2 ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) β†’ (𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘Œ) ↔ (𝑁:(π‘Œ Γ— π‘Œ)βŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘’ ∈ π‘Œ βˆ€π‘£ ∈ π‘Œ (((𝑒𝑁𝑣) = 0 ↔ 𝑒 = 𝑣) ∧ βˆ€π‘€ ∈ π‘Œ (𝑒𝑁𝑣) ≀ ((𝑀𝑁𝑒) + (𝑀𝑁𝑣))))))
8015, 77, 79mpbir2and 712 1 ((π‘Œ ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹:π‘Œβ€“1-1-onto→𝑋) β†’ 𝑁 ∈ (Metβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   ≀ cle 11249  Metcmet 20930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-mulcl 11172  ax-i2m1 11178
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-xadd 13093  df-xmet 20937  df-met 20938
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