Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatlspsn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatlspsn2 38993
Description: The span of a nonzero singleton is an atom. TODO: make this obsolete and use lsatlspsn 38994 instead? (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z 0 = (0g𝑊)
lsatset.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsatlspsn2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatlspsn2
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 1151 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑋𝑉𝑋0 ))
2 eldifsn 4786 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
31, 2sylibr 234 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4 eqid 2737 . . 3 (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})
5 sneq 4636 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
65fveq2d 6910 . . . 4 (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{𝑋}))
76rspceeqv 3645 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
83, 4, 7sylancl 586 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
9 lsatset.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 lsatset.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11 lsatset.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
12 lsatset.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
139, 10, 11, 12islsat 38992 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
14133ad2ant1 1134 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
158, 14mpbird 257 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cdif 3948  {csn 4626  cfv 6561  Basecbs 17247  0gc0g 17484  LModclmod 20858  LSpanclspn 20969  LSAtomsclsa 38975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-lsatoms 38977
This theorem is referenced by:  lsatel  39006  lsmsat  39009  lssatomic  39012  lssats  39013  dihlsprn  41333  dihatlat  41336  dihatexv  41340  dochsatshpb  41454
  Copyright terms: Public domain W3C validator