Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatlspsn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatlspsn2 36246
Description: The span of a nonzero singleton is an atom. TODO: make this obsolete and use lsatlspsn 36247 instead? (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z 0 = (0g𝑊)
lsatset.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsatlspsn2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatlspsn2
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpc 1147 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑋𝑉𝑋0 ))
2 eldifsn 4693 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
31, 2sylibr 237 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4 eqid 2822 . . 3 (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})
5 sneq 4549 . . . . 5 (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
65fveq2d 6656 . . . 4 (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{𝑋}))
76rspceeqv 3613 . . 3 ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
83, 4, 7sylancl 589 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
9 lsatset.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
10 lsatset.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11 lsatset.z . . . 4 0 = (0g𝑊)
12 lsatset.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
139, 10, 11, 12islsat 36245 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
14133ad2ant1 1130 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
158, 14mpbird 260 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wrex 3131  cdif 3905  {csn 4539  cfv 6334  Basecbs 16474  0gc0g 16704  LModclmod 19625  LSpanclspn 19734  LSAtomsclsa 36228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-fv 6342  df-lsatoms 36230
This theorem is referenced by:  lsatel  36259  lsmsat  36262  lssatomic  36265  lssats  36266  dihlsprn  38585  dihatlat  38588  dihatexv  38592  dochsatshpb  38706
  Copyright terms: Public domain W3C validator