Theorem lsatlspsn2 39438

Description: The span of a nonzero singleton is an atom. TODO: make this obsolete and use lsatlspsn 39439 instead? (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatset.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatset.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatset.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatset.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsatlspsn2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lsatlspsn2

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
2		eldifsn 4731	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
3	1, 2	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})
5		sneq 4577	. . . . 5 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → {𝑣} = {𝑋})
6	5	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝑣 = 𝑋 → (𝑁‘{𝑣}) = (𝑁‘{𝑋}))
7	6	rspceeqv 3587	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑋})) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
8	3, 4, 7	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣}))
9		lsatset.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
10		lsatset.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
11		lsatset.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
12		lsatset.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
13	9, 10, 11, 12	islsat 39437	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
14	13	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑣})))
15	8, 14	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3886  {csn 4567  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  LModclmod 20855  LSpanclspn 20966  LSAtomsclsa 39420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-lsatoms 39422

This theorem is referenced by:  lsatel  39451  lsmsat  39454  lssatomic  39457  lssats  39458  dihlsprn  41777  dihatlat  41780  dihatexv  41784  dochsatshpb  41898