Theorem lssats 39504

Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 32450 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssats	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑊) → (𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ↔ (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})))
2		simplll 780	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simpllr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
4		simplr 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
5		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		lssats.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	5, 6	lssel 20927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
8	3, 4, 7	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9		lssats.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 9	lspsncl 20967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
11	2, 8, 10	syl2anc 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
12	6, 9	lspid 20972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
13	2, 11, 12	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
14		lssats.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
15	6, 14	lsatlss 39488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
17		rabss2 4008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
18		uniss 4846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
20		unimax 4875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
21	5, 6	lssss 20926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
22	20, 21	eqsstrd 3949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
24	19, 23	sstrd 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
25	24	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
26		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
27		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
28	5, 9, 27, 14	lsatlspsn2 39484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
29	2, 8, 26, 28	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
30	6, 9, 2, 3, 4	ellspsn5 20986	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈)
31		sseq1 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘{𝑦}) → (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
32	31	elrab 3629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ↔ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
33	29, 30, 32	sylanbrc 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
34		elssuni 4869	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
36	5, 9	lspss 20974	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
37	2, 25, 35, 36	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
38	13, 37	eqsstrrd 3950	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
39	5, 9	lspsnid 20983	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
40	2, 8, 39	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
41	38, 40	sseldd 3916	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
42		simpll 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
43	5, 6, 9	lspcl 20966	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
44	24, 43	syldan 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
45	44	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
46	27, 6	lss0cl 20937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
47	42, 45, 46	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
48	1, 41, 47	pm2.61ne 3019	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
49	48	ex 413	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})))
50	49	ssrdv 3921	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
51		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
52	5, 9	lspss 20974	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
53	51, 23, 19, 52	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
54	20	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
55	54	fveq2d 6831	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) = (𝑁‘𝑈))
56	6, 9	lspid 20972	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
57	55, 56	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) = 𝑈)
58	53, 57	sseqtrd 3951	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ 𝑈)
59	50, 58	eqssd 3932	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  {crab 3391   ⊆ wss 3883  {csn 4555  ∪ cuni 4838  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  LModclmod 20850  LSubSpclss 20921  LSpanclspn 20961  LSAtomsclsa 39466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-lsatoms 39468

This theorem is referenced by:  lpssat  39505  lssatle  39507  lssat  39508