Theorem lssats 39388

Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 32449 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssats	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑊) → (𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ↔ (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})))
2		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
4		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
5		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		lssats.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	5, 6	lssel 20900	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
8	3, 4, 7	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9		lssats.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 9	lspsncl 20940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
11	2, 8, 10	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
12	6, 9	lspid 20945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
13	2, 11, 12	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
14		lssats.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
15	6, 14	lsatlss 39372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
17		rabss2 4031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
18		uniss 4873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
20		unimax 4902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
21	5, 6	lssss 20899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
22	20, 21	eqsstrd 3970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
24	19, 23	sstrd 3946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
25	24	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
26		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
27		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
28	5, 9, 27, 14	lsatlspsn2 39368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
29	2, 8, 26, 28	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
30	6, 9, 2, 3, 4	ellspsn5 20959	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈)
31		sseq1 3961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘{𝑦}) → (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
32	31	elrab 3648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ↔ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
33	29, 30, 32	sylanbrc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
34		elssuni 4896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
36	5, 9	lspss 20947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
37	2, 25, 35, 36	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
38	13, 37	eqsstrrd 3971	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
39	5, 9	lspsnid 20956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
40	2, 8, 39	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
41	38, 40	sseldd 3936	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
42		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
43	5, 6, 9	lspcl 20939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
44	24, 43	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
46	27, 6	lss0cl 20910	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
47	42, 45, 46	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
48	1, 41, 47	pm2.61ne 3018	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
49	48	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})))
50	49	ssrdv 3941	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
51		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
52	5, 9	lspss 20947	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
53	51, 23, 19, 52	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
54	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
55	54	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) = (𝑁‘𝑈))
56	6, 9	lspid 20945	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
57	55, 56	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) = 𝑈)
58	53, 57	sseqtrd 3972	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ 𝑈)
59	50, 58	eqssd 3953	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  LModclmod 20823  LSubSpclss 20894  LSpanclspn 20934  LSAtomsclsa 39350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lsatoms 39352

This theorem is referenced by:  lpssat  39389  lssatle  39391  lssat  39392