Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssats Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssats 38488
Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 32189 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lssats.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lssats.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssats ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hint:   π‘Š(π‘₯)

Proof of Theorem lssats
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2816 . . . . 5 (𝑦 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ↔ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})))
2 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
4 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
5 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
6 lssats.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
75, 6lssel 20826 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
83, 4, 7syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
9 lssats.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
105, 6, 9lspsncl 20866 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝑆)
112, 8, 10syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝑆)
126, 9lspid 20871 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) = (π‘β€˜{𝑦}))
132, 11, 12syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) = (π‘β€˜{𝑦}))
14 lssats.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
156, 14lsatlss 38472 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
1615adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
17 rabss2 4073 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝑆 β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
18 uniss 4918 . . . . . . . . . . 11 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
20 unimax 4949 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
215, 6lssss 20825 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2220, 21eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2322adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2419, 23sstrd 3990 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2524ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
26 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
27 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
285, 9, 27, 14lsatlspsn2 38468 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝐴)
292, 8, 26, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝐴)
306, 9, 2, 3, 4lspsnel5a 20885 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† π‘ˆ)
31 sseq1 4005 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘β€˜{𝑦}) β†’ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ↔ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† π‘ˆ))
3231elrab 3682 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} ↔ ((π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† π‘ˆ))
3329, 30, 32sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
34 elssuni 4942 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
365, 9lspss 20873 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
372, 25, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
3813, 37eqsstrrd 4019 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
395, 9lspsnid 20882 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜{𝑦}))
402, 8, 39syl2anc 582 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜{𝑦}))
4138, 40sseldd 3981 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
42 simpll 765 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
435, 6, 9lspcl 20865 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆)
4424, 43syldan 589 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆)
4544adantr 479 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆)
4627, 6lss0cl 20836 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
4742, 45, 46syl2anc 582 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
481, 41, 47pm2.61ne 3023 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
4948ex 411 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})))
5049ssrdv 3986 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
51 simpl 481 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ LMod)
525, 9lspss 20873 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
5351, 23, 19, 52syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
5420adantl 480 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
5554fveq2d 6904 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) = (π‘β€˜π‘ˆ))
566, 9lspid 20871 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
5755, 56eqtrd 2767 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) = π‘ˆ)
5853, 57sseqtrd 4020 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) βŠ† π‘ˆ)
5950, 58eqssd 3997 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  {crab 3428   βŠ† wss 3947  {csn 4630  βˆͺ cuni 4910  β€˜cfv 6551  Basecbs 17185  0gc0g 17426  LModclmod 20748  LSubSpclss 20820  LSpanclspn 20860  LSAtomsclsa 38450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mgp 20080  df-ur 20127  df-ring 20180  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-lsatoms 38452
This theorem is referenced by:  lpssat  38489  lssatle  38491  lssat  38492
  Copyright terms: Public domain W3C validator