Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssats Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssats 37870
Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 31601 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lssats.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lssats.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssats ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hint:   π‘Š(π‘₯)
Proof of Theorem lssats
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2821 . . . . 5 (𝑦 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ↔ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})))
2 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
4 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
5 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
6 lssats.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
75, 6lssel 20540 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
83, 4, 7syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
9 lssats.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
105, 6, 9lspsncl 20580 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝑆)
112, 8, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝑆)
126, 9lspid 20585 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) = (π‘β€˜{𝑦}))
132, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) = (π‘β€˜{𝑦}))
14 lssats.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
156, 14lsatlss 37854 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
17 rabss2 4074 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝑆 β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
18 uniss 4915 . . . . . . . . . . 11 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
20 unimax 4947 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
215, 6lssss 20539 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2220, 21eqsstrd 4019 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2322adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2419, 23sstrd 3991 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2524ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
26 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
27 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
285, 9, 27, 14lsatlspsn2 37850 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝐴)
292, 8, 26, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝐴)
306, 9, 2, 3, 4lspsnel5a 20599 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† π‘ˆ)
31 sseq1 4006 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘β€˜{𝑦}) β†’ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ↔ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† π‘ˆ))
3231elrab 3682 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} ↔ ((π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† π‘ˆ))
3329, 30, 32sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
34 elssuni 4940 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
365, 9lspss 20587 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
372, 25, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
3813, 37eqsstrrd 4020 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
395, 9lspsnid 20596 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜{𝑦}))
402, 8, 39syl2anc 584 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜{𝑦}))
4138, 40sseldd 3982 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
42 simpll 765 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
435, 6, 9lspcl 20579 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆)
4424, 43syldan 591 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆)
4544adantr 481 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆)
4627, 6lss0cl 20549 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
4742, 45, 46syl2anc 584 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
481, 41, 47pm2.61ne 3027 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
4948ex 413 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})))
5049ssrdv 3987 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
51 simpl 483 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ LMod)
525, 9lspss 20587 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
5351, 23, 19, 52syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
5420adantl 482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
5554fveq2d 6892 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) = (π‘β€˜π‘ˆ))
566, 9lspid 20585 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
5755, 56eqtrd 2772 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) = π‘ˆ)
5853, 57sseqtrd 4021 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) βŠ† π‘ˆ)
5950, 58eqssd 3998 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {crab 3432   βŠ† wss 3947  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  0gc0g 17381  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LSAtomsclsa 37832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lsatoms 37834
This theorem is referenced by:  lpssat  37871  lssatle  37873  lssat  37874
  Copyright terms: Public domain W3C validator