Theorem lssats 40069

Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 32963 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssats	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑊) → (𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ↔ (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})))
2		simplll 787	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
4		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
5		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		lssats.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	5, 6	lssel 21212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
8	3, 4, 7	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9		lssats.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 9	lspsncl 21252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
11	2, 8, 10	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
12	6, 9	lspid 21257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
13	2, 11, 12	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
14		lssats.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
15	6, 14	lsatlss 40053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
17		rabss2 4025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
18		uniss 4875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
19	16, 17, 18	3syl 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
20		unimax 4905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
21	5, 6	lssss 21211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
22	20, 21	eqsstrd 3965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
23	22	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
24	19, 23	sstrd 3941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
25	24	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
26		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
27		eqid 2761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
28	5, 9, 27, 14	lsatlspsn2 40049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
29	2, 8, 26, 28	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
30	6, 9, 2, 3, 4	ellspsn5 21271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈)
31		sseq1 3956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘{𝑦}) → (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
32	31	elrab 3645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ↔ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
33	29, 30, 32	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
34		elssuni 4899	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
36	5, 9	lspss 21259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
37	2, 25, 35, 36	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
38	13, 37	eqsstrrd 3966	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
39	5, 9	lspsnid 21268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
40	2, 8, 39	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
41	38, 40	sseldd 3932	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
42		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
43	5, 6, 9	lspcl 21251	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
44	24, 43	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
45	44	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
46	27, 6	lss0cl 21222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
47	42, 45, 46	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
48	1, 41, 47	pm2.61ne 3041	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
49	48	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})))
50	49	ssrdv 3937	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
51		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
52	5, 9	lspss 21259	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
53	51, 23, 19, 52	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
54	20	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
55	54	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) = (𝑁‘𝑈))
56	6, 9	lspid 21257	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
57	55, 56	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) = 𝑈)
58	53, 57	sseqtrd 3967	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ 𝑈)
59	50, 58	eqssd 3948	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  {crab 3413   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  LModclmod 21135  LSubSpclss 21206  LSpanclspn 21246  LSAtomsclsa 40031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lsatoms 40033

This theorem is used by:  lpssat  40070  lssatle  40072  lssat  40073