Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssats Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssats 36220
Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 30142 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssats ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2903 . . . . 5 (𝑦 = (0g𝑊) → (𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ↔ (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈})))
2 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑈𝑆)
4 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦𝑈)
5 eqid 2824 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 lssats.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
75, 6lssel 19704 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑆𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
83, 4, 7syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9 lssats.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
105, 6, 9lspsncl 19744 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
112, 8, 10syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
126, 9lspid 19749 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
132, 11, 12syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
14 lssats.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
156, 14lsatlss 36204 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
1615adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝐴𝑆)
17 rabss2 4040 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
18 uniss 4833 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈} → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
20 unimax 4861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑆 {𝑥𝑆𝑥𝑈} = 𝑈)
215, 6lssss 19703 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
2220, 21eqsstrd 3991 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑆 {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2322adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2419, 23sstrd 3963 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2524ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
26 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
27 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑊) = (0g𝑊)
285, 9, 27, 14lsatlspsn2 36200 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
292, 8, 26, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
306, 9, 2, 3, 4lspsnel5a 19763 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈)
31 sseq1 3978 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑁‘{𝑦}) → (𝑥𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
3231elrab 3666 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ↔ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
3329, 30, 32sylanbrc 586 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
34 elssuni 4855 . . . . . . . . 9 ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈} → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
365, 9lspss 19751 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈}) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
372, 25, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
3813, 37eqsstrrd 3992 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
395, 9lspsnid 19760 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
402, 8, 39syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
4138, 40sseldd 3954 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
42 simpll 766 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
435, 6, 9lspcl 19743 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4424, 43syldan 594 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4544adantr 484 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4627, 6lss0cl 19713 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆) → (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
4742, 45, 46syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
481, 41, 47pm2.61ne 3099 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
4948ex 416 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑦𝑈𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈})))
5049ssrdv 3959 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
51 simpl 486 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
525, 9lspss 19751 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈}) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}))
5351, 23, 19, 52syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}))
5420adantl 485 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝑆𝑥𝑈} = 𝑈)
5554fveq2d 6663 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}) = (𝑁𝑈))
566, 9lspid 19749 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
5755, 56eqtrd 2859 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}) = 𝑈)
5853, 57sseqtrd 3993 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ 𝑈)
5950, 58eqssd 3970 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  {crab 3137  wss 3919  {csn 4550   cuni 4825  cfv 6344  Basecbs 16481  0gc0g 16711  LModclmod 19629  LSubSpclss 19698  LSpanclspn 19738  LSAtomsclsa 36182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-plusg 16576  df-0g 16713  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-sbg 18106  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-lmod 19631  df-lss 19699  df-lsp 19739  df-lsatoms 36184
This theorem is referenced by:  lpssat  36221  lssatle  36223  lssat  36224
  Copyright terms: Public domain W3C validator