Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssats Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssats 37474
Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 31303 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssats ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2825 . . . . 5 (𝑦 = (0g𝑊) → (𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ↔ (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈})))
2 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑈𝑆)
4 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦𝑈)
5 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 lssats.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
75, 6lssel 20398 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑆𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
83, 4, 7syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9 lssats.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
105, 6, 9lspsncl 20438 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
112, 8, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
126, 9lspid 20443 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
132, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
14 lssats.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
156, 14lsatlss 37458 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝐴𝑆)
17 rabss2 4035 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
18 uniss 4873 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈} → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
20 unimax 4905 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑆 {𝑥𝑆𝑥𝑈} = 𝑈)
215, 6lssss 20397 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
2220, 21eqsstrd 3982 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑆 {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2322adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2419, 23sstrd 3954 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2524ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
26 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
27 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑊) = (0g𝑊)
285, 9, 27, 14lsatlspsn2 37454 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
292, 8, 26, 28syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
306, 9, 2, 3, 4lspsnel5a 20457 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈)
31 sseq1 3969 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑁‘{𝑦}) → (𝑥𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
3231elrab 3645 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ↔ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
3329, 30, 32sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
34 elssuni 4898 . . . . . . . . 9 ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈} → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
365, 9lspss 20445 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈}) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
372, 25, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
3813, 37eqsstrrd 3983 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
395, 9lspsnid 20454 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
402, 8, 39syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
4138, 40sseldd 3945 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
42 simpll 765 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
435, 6, 9lspcl 20437 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4424, 43syldan 591 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4544adantr 481 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4627, 6lss0cl 20407 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆) → (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
4742, 45, 46syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
481, 41, 47pm2.61ne 3030 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
4948ex 413 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑦𝑈𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈})))
5049ssrdv 3950 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
51 simpl 483 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
525, 9lspss 20445 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈}) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}))
5351, 23, 19, 52syl3anc 1371 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}))
5420adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝑆𝑥𝑈} = 𝑈)
5554fveq2d 6846 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}) = (𝑁𝑈))
566, 9lspid 20443 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
5755, 56eqtrd 2776 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}) = 𝑈)
5853, 57sseqtrd 3984 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ 𝑈)
5950, 58eqssd 3961 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  wss 3910  {csn 4586   cuni 4865  cfv 6496  Basecbs 17083  0gc0g 17321  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LSAtomsclsa 37436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lsatoms 37438
This theorem is referenced by:  lpssat  37475  lssatle  37477  lssat  37478
  Copyright terms: Public domain W3C validator