Theorem lssats 39030

Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 32342 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssats	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑊) → (𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ↔ (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})))
2		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
4		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
5		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		lssats.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	5, 6	lssel 20894	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
8	3, 4, 7	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9		lssats.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 9	lspsncl 20934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
11	2, 8, 10	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
12	6, 9	lspid 20939	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
13	2, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
14		lssats.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
15	6, 14	lsatlss 39014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
17		rabss2 4053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
18		uniss 4891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
20		unimax 4920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
21	5, 6	lssss 20893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
22	20, 21	eqsstrd 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
24	19, 23	sstrd 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
26		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
27		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
28	5, 9, 27, 14	lsatlspsn2 39010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
29	2, 8, 26, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
30	6, 9, 2, 3, 4	ellspsn5 20953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈)
31		sseq1 3984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘{𝑦}) → (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
32	31	elrab 3671	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ↔ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
33	29, 30, 32	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
34		elssuni 4913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
36	5, 9	lspss 20941	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
37	2, 25, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
38	13, 37	eqsstrrd 3994	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
39	5, 9	lspsnid 20950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
40	2, 8, 39	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
41	38, 40	sseldd 3959	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
42		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
43	5, 6, 9	lspcl 20933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
44	24, 43	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
46	27, 6	lss0cl 20904	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
47	42, 45, 46	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
48	1, 41, 47	pm2.61ne 3017	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
49	48	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})))
50	49	ssrdv 3964	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
51		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
52	5, 9	lspss 20941	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
53	51, 23, 19, 52	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
54	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
55	54	fveq2d 6880	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) = (𝑁‘𝑈))
56	6, 9	lspid 20939	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
57	55, 56	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) = 𝑈)
58	53, 57	sseqtrd 3995	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ 𝑈)
59	50, 58	eqssd 3976	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  {crab 3415   ⊆ wss 3926  {csn 4601  ∪ cuni 4883  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  LModclmod 20817  LSubSpclss 20888  LSpanclspn 20928  LSAtomsclsa 38992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17284  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mgp 20101  df-ur 20142  df-ring 20195  df-lmod 20819  df-lss 20889  df-lsp 20929  df-lsatoms 38994

This theorem is referenced by:  lpssat  39031  lssatle  39033  lssat  39034