Theorem lssats 39051

Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 32333 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssats.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssats	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (0g‘𝑊) → (𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ↔ (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})))
2		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
4		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
5		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6		lssats.s	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	5, 6	lssel 20865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
8	3, 4, 7	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9		lssats.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	5, 6, 9	lspsncl 20905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
11	2, 8, 10	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
12	6, 9	lspid 20910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
13	2, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
14		lssats.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
15	6, 14	lsatlss 39035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐴 ⊆ 𝑆)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝐴 ⊆ 𝑆)
17		rabss2 4023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑆 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
18		uniss 4862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
20		unimax 4890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
21	5, 6	lssss 20864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → 𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
22	20, 21	eqsstrd 3964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
23	22	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
24	19, 23	sstrd 3940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
25	24	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
26		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
27		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
28	5, 9, 27, 14	lsatlspsn2 39031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
29	2, 8, 26, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
30	6, 9, 2, 3, 4	ellspsn5 20924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈)
31		sseq1 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑁‘{𝑦}) → (𝑥 ⊆ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
32	31	elrab 3642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ↔ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
33	29, 30, 32	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
34		elssuni 4884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})
36	5, 9	lspss 20912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
37	2, 25, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
38	13, 37	eqsstrrd 3965	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
39	5, 9	lspsnid 20921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
40	2, 8, 39	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
41	38, 40	sseldd 3930	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
42		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
43	5, 6, 9	lspcl 20904	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
44	24, 43	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
45	44	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆)
46	27, 6	lss0cl 20875	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
47	42, 45, 46	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
48	1, 41, 47	pm2.61ne 3013	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
49	48	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑈 → 𝑦 ∈ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈})))
50	49	ssrdv 3935	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
51		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
52	5, 9	lspss 20912	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ ∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} ⊆ ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
53	51, 23, 19, 52	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))
54	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈} = 𝑈)
55	54	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) = (𝑁‘𝑈))
56	6, 9	lspid 20910	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑈) = 𝑈)
57	55, 56	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝑆 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) = 𝑈)
58	53, 57	sseqtrd 3966	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}) ⊆ 𝑈)
59	50, 58	eqssd 3947	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (𝑁‘∪ {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑥 ⊆ 𝑈}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  {crab 3395   ⊆ wss 3897  {csn 4571  ∪ cuni 4854  ‘cfv 6476  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  LModclmod 20788  LSubSpclss 20859  LSpanclspn 20899  LSAtomsclsa 39013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mgp 20054  df-ur 20095  df-ring 20148  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900  df-lsatoms 39015

This theorem is referenced by:  lpssat  39052  lssatle  39054  lssat  39055