Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssats Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssats 39013
Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 32380 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssats.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lssats.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssats ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑁   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem lssats
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2829 . . . . 5 (𝑦 = (0g𝑊) → (𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ↔ (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈})))
2 simplll 775 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑈𝑆)
4 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦𝑈)
5 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6 lssats.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
75, 6lssel 20935 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑆𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
83, 4, 7syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
9 lssats.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
105, 6, 9lspsncl 20975 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
112, 8, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆)
126, 9lspid 20980 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝑆) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
132, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) = (𝑁‘{𝑦}))
14 lssats.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
156, 14lsatlss 38997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝐴𝑆)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝐴𝑆)
17 rabss2 4078 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
18 uniss 4915 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈} → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈})
20 unimax 4944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑆 {𝑥𝑆𝑥𝑈} = 𝑈)
215, 6lssss 20934 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈𝑆𝑈 ⊆ (Base‘𝑊))
2220, 21eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑆 {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2322adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2419, 23sstrd 3994 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
2524ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊))
26 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑊) = (0g𝑊)
285, 9, 27, 14lsatlspsn2 38993 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
292, 8, 26, 28syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴)
306, 9, 2, 3, 4ellspsn5 20994 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈)
31 sseq1 4009 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑁‘{𝑦}) → (𝑥𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
3231elrab 3692 . . . . . . . . . 10 ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ↔ ((𝑁‘{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ 𝑈))
3329, 30, 32sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
34 elssuni 4937 . . . . . . . . 9 ((𝑁‘{𝑦}) ∈ {𝑥𝐴𝑥𝑈} → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈})
365, 9lspss 20982 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑦}) ⊆ {𝑥𝐴𝑥𝑈}) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
372, 25, 35, 36syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘(𝑁‘{𝑦})) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
3813, 37eqsstrrd 4019 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → (𝑁‘{𝑦}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
395, 9lspsnid 20991 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
402, 8, 39syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁‘{𝑦}))
4138, 40sseldd 3984 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) ∧ 𝑦 ≠ (0g𝑊)) → 𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
42 simpll 767 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
435, 6, 9lspcl 20974 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊)) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4424, 43syldan 591 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4544adantr 480 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆)
4627, 6lss0cl 20945 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ∈ 𝑆) → (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
4742, 45, 46syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → (0g𝑊) ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
481, 41, 47pm2.61ne 3027 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ 𝑦𝑈) → 𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
4948ex 412 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑦𝑈𝑦 ∈ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈})))
5049ssrdv 3989 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ⊆ (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
51 simpl 482 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
525, 9lspss 20982 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ {𝑥𝑆𝑥𝑈} ⊆ (Base‘𝑊) ∧ {𝑥𝐴𝑥𝑈} ⊆ {𝑥𝑆𝑥𝑈}) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}))
5351, 23, 19, 52syl3anc 1373 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}))
5420adantl 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → {𝑥𝑆𝑥𝑈} = 𝑈)
5554fveq2d 6910 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}) = (𝑁𝑈))
566, 9lspid 20980 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁𝑈) = 𝑈)
5755, 56eqtrd 2777 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝑆𝑥𝑈}) = 𝑈)
5853, 57sseqtrd 4020 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}) ⊆ 𝑈)
5950, 58eqssd 4001 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 = (𝑁 {𝑥𝐴𝑥𝑈}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  wss 3951  {csn 4626   cuni 4907  cfv 6561  Basecbs 17247  0gc0g 17484  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  LSAtomsclsa 38975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lsatoms 38977
This theorem is referenced by:  lpssat  39014  lssatle  39016  lssat  39017
  Copyright terms: Public domain W3C validator