Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssats Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lssats 38393
Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 32119 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lssats.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lssats.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssats ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hint:   π‘Š(π‘₯)
Proof of Theorem lssats
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2815 . . . . 5 (𝑦 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ↔ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})))
2 simplll 772 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 simpllr 773 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
4 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
5 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
6 lssats.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
75, 6lssel 20782 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
83, 4, 7syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
9 lssats.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
105, 6, 9lspsncl 20822 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝑆)
112, 8, 10syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝑆)
126, 9lspid 20827 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) = (π‘β€˜{𝑦}))
132, 11, 12syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) = (π‘β€˜{𝑦}))
14 lssats.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
156, 14lsatlss 38377 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
17 rabss2 4070 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝑆 β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
18 uniss 4910 . . . . . . . . . . 11 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
20 unimax 4941 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
215, 6lssss 20781 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2220, 21eqsstrd 4015 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2322adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2419, 23sstrd 3987 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2524ad2antrr 723 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
26 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
27 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
285, 9, 27, 14lsatlspsn2 38373 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝐴)
292, 8, 26, 28syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝐴)
306, 9, 2, 3, 4lspsnel5a 20841 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† π‘ˆ)
31 sseq1 4002 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘β€˜{𝑦}) β†’ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ↔ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† π‘ˆ))
3231elrab 3678 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} ↔ ((π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† π‘ˆ))
3329, 30, 32sylanbrc 582 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
34 elssuni 4934 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
365, 9lspss 20829 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
372, 25, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
3813, 37eqsstrrd 4016 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
395, 9lspsnid 20838 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜{𝑦}))
402, 8, 39syl2anc 583 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜{𝑦}))
4138, 40sseldd 3978 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
42 simpll 764 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
435, 6, 9lspcl 20821 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆)
4424, 43syldan 590 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆)
4544adantr 480 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆)
4627, 6lss0cl 20792 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
4742, 45, 46syl2anc 583 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
481, 41, 47pm2.61ne 3021 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
4948ex 412 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})))
5049ssrdv 3983 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
51 simpl 482 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ LMod)
525, 9lspss 20829 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
5351, 23, 19, 52syl3anc 1368 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
5420adantl 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
5554fveq2d 6888 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) = (π‘β€˜π‘ˆ))
566, 9lspid 20827 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
5755, 56eqtrd 2766 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) = π‘ˆ)
5853, 57sseqtrd 4017 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) βŠ† π‘ˆ)
5950, 58eqssd 3994 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  {crab 3426   βŠ† wss 3943  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902  β€˜cfv 6536  Basecbs 17151  0gc0g 17392  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776  LSpanclspn 20816  LSAtomsclsa 38355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lsatoms 38357
This theorem is referenced by:  lpssat  38394  lssatle  38396  lssat  38397
  Copyright terms: Public domain W3C validator