Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lssats Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssats 37503
Description: The lattice of subspaces is atomistic, i.e. any element is the supremum of its atoms. Part of proof of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. Hypothesis (shatomistici 31345 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssats.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lssats.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lssats.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssats ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑆   π‘₯,π‘ˆ
Allowed substitution hint:   π‘Š(π‘₯)

Proof of Theorem lssats
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2826 . . . . 5 (𝑦 = (0gβ€˜π‘Š) β†’ (𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ↔ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})))
2 simplll 774 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
4 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
5 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
6 lssats.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
75, 6lssel 20414 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
83, 4, 7syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
9 lssats.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
105, 6, 9lspsncl 20454 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝑆)
112, 8, 10syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝑆)
126, 9lspid 20459 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) = (π‘β€˜{𝑦}))
132, 11, 12syl2anc 585 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) = (π‘β€˜{𝑦}))
14 lssats.a . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
156, 14lsatlss 37487 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 βŠ† 𝑆)
17 rabss2 4040 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝑆 β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
18 uniss 4878 . . . . . . . . . . 11 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
1916, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
20 unimax 4910 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
215, 6lssss 20413 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2220, 21eqsstrd 3987 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2322adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2419, 23sstrd 3959 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
2524ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
26 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
27 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
285, 9, 27, 14lsatlspsn2 37483 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝐴)
292, 8, 26, 28syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝐴)
306, 9, 2, 3, 4lspsnel5a 20473 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† π‘ˆ)
31 sseq1 3974 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (π‘β€˜{𝑦}) β†’ (π‘₯ βŠ† π‘ˆ ↔ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† π‘ˆ))
3231elrab 3650 . . . . . . . . . 10 ((π‘β€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} ↔ ((π‘β€˜{𝑦}) ∈ 𝐴 ∧ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† π‘ˆ))
3329, 30, 32sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
34 elssuni 4903 . . . . . . . . 9 ((π‘β€˜{𝑦}) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
3533, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})
365, 9lspss 20461 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
372, 25, 35, 36syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜(π‘β€˜{𝑦})) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
3813, 37eqsstrrd 3988 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜{𝑦}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
395, 9lspsnid 20470 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜{𝑦}))
402, 8, 39syl2anc 585 . . . . . 6 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜{𝑦}))
4138, 40sseldd 3950 . . . . 5 ((((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š)) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
42 simpll 766 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
435, 6, 9lspcl 20453 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆)
4424, 43syldan 592 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆)
4544adantr 482 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆)
4627, 6lss0cl 20423 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) ∈ 𝑆) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
4742, 45, 46syl2anc 585 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
481, 41, 47pm2.61ne 3031 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
4948ex 414 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ 𝑦 ∈ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ})))
5049ssrdv 3955 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
51 simpl 484 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ LMod)
525, 9lspss 20461 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† (Baseβ€˜π‘Š) ∧ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} βŠ† βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
5351, 23, 19, 52syl3anc 1372 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
5420adantl 483 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ} = π‘ˆ)
5554fveq2d 6851 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) = (π‘β€˜π‘ˆ))
566, 9lspid 20459 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘ˆ) = π‘ˆ)
5755, 56eqtrd 2777 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝑆 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) = π‘ˆ)
5853, 57sseqtrd 3989 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}) βŠ† π‘ˆ)
5950, 58eqssd 3966 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ π‘₯ βŠ† π‘ˆ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  {crab 3410   βŠ† wss 3915  {csn 4591  βˆͺ cuni 4870  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  0gc0g 17328  LModclmod 20338  LSubSpclss 20408  LSpanclspn 20448  LSAtomsclsa 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lsatoms 37467
This theorem is referenced by:  lpssat  37504  lssatle  37506  lssat  37507
  Copyright terms: Public domain W3C validator