Theorem dihatexv 42586

Description: There is a nonzero vector that maps to every lattice atom. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihatexv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihatexv.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihatexv.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihatexv.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihatexv.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dihatexv.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihatexv.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihatexv.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dihatexv	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem dihatexv

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihatexv.k	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
5		dihatexv.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7		dihatexv.a	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		dihatexv.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
11		dihatexv.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12		dihatexv.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13		dihatexv.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
14	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	dih1dimb2 42489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})))
15	2, 3, 4, 14	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})))
16	1	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
17		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
18		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
19	5, 8, 9, 18, 10	tendo0cl 42038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
20	16, 19	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21		dihatexv.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
22	8, 9, 18, 11, 21	dvhelvbasei 42336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ∈ 𝑉)
23	16, 17, 20, 22	syl12anc 850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ∈ 𝑉)
24		sneq 4594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ → {𝑥} = {⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})
25	24	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩}))
26	25	rspceeqv 3602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ∈ 𝑉 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
27	23, 26	sylan 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
28	27	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
29	28	adantld 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
30	29	rexlimdva 3167	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
31	15, 30	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
32	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
33		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
34	6, 7, 8, 33	lhpocnel2 41267	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
35	32, 34	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
36		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄 ∈ 𝐴)
37		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
38		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
39	6, 7, 8, 9, 38	ltrniotacl 41827	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
40	32, 35, 36, 37, 39	syl112anc 1402	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
41	8, 9, 18	tendoidcl 42017	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
42	32, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
43	8, 9, 18, 11, 21	dvhelvbasei 42336	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ 𝑉)
44	32, 40, 42, 43	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ 𝑉)
45	6, 7, 8, 33, 9, 12, 11, 13, 38	dih1dimc 42490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
46	32, 36, 37, 45	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
47		sneq 4594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ → {𝑥} = {⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩})
48	47	fveq2d 6909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
49	48	rspceeqv 3602	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ 𝑉 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩})) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
50	44, 46, 49	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
51	31, 50	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
52	1	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
53	52	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝐾 ∈ HL)
54		hlatl 40608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
55	53, 54	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝐾 ∈ AtLat)
56		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ 𝐴)
57		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
58	57, 7	atn0 40556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
59	55, 56, 58	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
60		sneq 4594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 0 → {𝑥} = { 0 })
61	60	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{ 0 }))
62	61	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{ 0 }))
63		simp1ll 1255	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝜑)
64	8, 11, 1	dvhlmod 42358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
65		dihatexv.o	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
66	65, 13	lspsn0 21310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
67	63, 64, 66	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
68	62, 67	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑁‘{𝑥}) = { 0 })
69		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
70	57, 8, 12, 11, 65	dih0 42528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
71	63, 1, 70	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
72	68, 69, 71	3eqtr4d 2808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(0.‘𝐾)))
73	63, 1	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
74		dihatexv.q	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
75	63, 74	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑄 ∈ 𝐵)
76	63, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝐾 ∈ HL)
77		hlop 40610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
78	5, 57	op0cl 40432	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
79	76, 77, 78	3syl 19	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
80	5, 8, 12	dih11 42513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ (0.‘𝐾) ∈ 𝐵) → ((𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
81	73, 75, 79, 80	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → ((𝐼‘𝑄) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
82	72, 81	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑄 = (0.‘𝐾))
83	82	3expia 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑥 = 0 → 𝑄 = (0.‘𝐾)))
84	83	necon3d 2980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑄 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑥 ≠ 0 ))
85	59, 84	mpd 16	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ≠ 0 )
86	85	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → 𝑥 ≠ 0 ))
87	86	ancrd 561	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
88	87	reximdva 3179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
89	51, 88	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
90	89	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
91	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
92	74	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑄 ∈ 𝐵)
93	5, 8, 12	dihcnvid1 42520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑄)) = 𝑄)
94	91, 92, 93	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑄)) = 𝑄)
95		fveq2 6905	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑄)) = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})))
96	95	ad2antll 742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (◡𝐼‘(𝐼‘𝑄)) = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})))
97	94, 96	eqtr3d 2800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑄 = (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})))
98	64	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑈 ∈ LMod)
99		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑥 ∈ 𝑉)
100		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑥 ≠ 0 )
101		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
102	21, 13, 65, 101	lsatlspsn2 40240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
103	98, 99, 100, 102	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
104	7, 8, 11, 12, 101	dihlatat 42585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ 𝐴)
105	91, 103, 104	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (◡𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ 𝐴)
106	97, 105	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
107	106	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ 𝐴))
108	107	rexlimdva 3167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ∈ 𝐴))
109	90, 108	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
110		rexdifsn 4757	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝑥 ≠ 0 ∧ (𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
111	109, 110	bitr4di 292	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼‘𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   I cid 5549  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657  ‘cfv 6555  ℩crio 7396  Basecbs 17413  lecple 17461  occoc 17462  0_gc0g 17636  0.cp0 18621  LModclmod 21162  LSpanclspn 21273  LSAtomsclsa 40222  OPcops 40420  Atomscatm 40511  AtLatcal 40512  HLchlt 40598  LHypclh 41232  LTrncltrn 41349  TEndoctendo 42000  DVecHcdvh 42326  DIsoHcdih 42476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-riotaBAD 40201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-tpos 8268  df-undef 8315  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-map 8874  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-0g 17638  df-proset 18494  df-poset 18513  df-plt 18528  df-lub 18544  df-glb 18545  df-join 18546  df-meet 18547  df-p0 18623  df-p1 18624  df-lat 18632  df-clat 18699  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-cntz 19558  df-lsm 19877  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-oppr 20594  df-dvdsr 20614  df-unit 20615  df-invr 20645  df-dvr 20658  df-drng 21009  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-lsp 21274  df-lvec 21405  df-lsatoms 40224  df-oposet 40424  df-ol 40426  df-oml 40427  df-covers 40514  df-ats 40515  df-atl 40546  df-cvlat 40570  df-hlat 40599  df-llines 40746  df-lplanes 40747  df-lvols 40748  df-lines 40749  df-psubsp 40751  df-pmap 40752  df-padd 41044  df-lhyp 41236  df-laut 41237  df-ldil 41352  df-ltrn 41353  df-trl 41407  df-tendo 42003  df-edring 42005  df-disoa 42277  df-dvech 42327  df-dib 42387  df-dic 42421  df-dih 42477

This theorem is used by:  dihatexv2  42587