Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihatexv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihatexv 38627
Description: There is a nonzero vector that maps to every lattice atom. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihatexv.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihatexv.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihatexv.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihatexv.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihatexv.o 0 = (0g𝑈)
dihatexv.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihatexv.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihatexv.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dihatexv.q (𝜑𝑄𝐵)
Assertion
Ref Expression
dihatexv (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥)   𝐻(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem dihatexv
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihatexv.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
21ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄𝐴)
4 simpr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
5 dihatexv.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7 dihatexv.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 dihatexv.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
9 eqid 2801 . . . . . . . . 9 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))
11 dihatexv.u . . . . . . . . 9 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12 dihatexv.i . . . . . . . . 9 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13 dihatexv.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
145, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dih1dimb2 38530 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})))
152, 3, 4, 14syl12anc 835 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})))
161ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
17 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
18 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
195, 8, 9, 18, 10tendo0cl 38079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
21 dihatexv.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Base‘𝑈)
228, 9, 18, 11, 21dvhelvbasei 38377 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ∈ 𝑉)
2316, 17, 20, 22syl12anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ∈ 𝑉)
24 sneq 4538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ → {𝑥} = {⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})
2524fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩}))
2625rspceeqv 3589 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩ ∈ 𝑉 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
2723, 26sylan 583 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
2827ex 416 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩}) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
2928adantld 494 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) → ((𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
3029rexlimdva 3246 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ 𝐵))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
3115, 30mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
321ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
33 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
346, 7, 8, 33lhpocnel2 37308 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
36 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄𝐴)
37 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
38 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
396, 7, 8, 9, 38ltrniotacl 37868 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
4032, 35, 36, 37, 39syl112anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
418, 9, 18tendoidcl 38058 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
4232, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
438, 9, 18, 11, 21dvhelvbasei 38377 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ 𝑉)
4432, 40, 42, 43syl12anc 835 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ 𝑉)
456, 7, 8, 33, 9, 12, 11, 13, 38dih1dimc 38531 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
4632, 36, 37, 45syl12anc 835 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
47 sneq 4538 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ → {𝑥} = {⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩})
4847fveq2d 6653 . . . . . . . 8 (𝑥 = ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
4948rspceeqv 3589 . . . . . . 7 ((⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ 𝑉 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩})) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
5044, 46, 49syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
5131, 50pm2.61dan 812 . . . . 5 ((𝜑𝑄𝐴) → ∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
521simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ HL)
5352ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝐾 ∈ HL)
54 hlatl 36649 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝐾 ∈ AtLat)
56 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄𝐴)
57 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
5857, 7atn0 36597 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
5955, 56, 58syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
60 sneq 4538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → {𝑥} = { 0 })
6160fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 0 → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{ 0 }))
62613ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑁‘{ 0 }))
63 simp1ll 1233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝜑)
648, 11, 1dvhlmod 38399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
65 dihatexv.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0g𝑈)
6665, 13lspsn0 19776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
6763, 64, 663syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
6862, 67eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝑁‘{𝑥}) = { 0 })
69 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))
7057, 8, 12, 11, 65dih0 38569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
7163, 1, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐼‘(0.‘𝐾)) = { 0 })
7268, 69, 713eqtr4d 2846 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐼𝑄) = (𝐼‘(0.‘𝐾)))
7363, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74 dihatexv.q . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄𝐵)
7563, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑄𝐵)
7663, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝐾 ∈ HL)
77 hlop 36651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
785, 57op0cl 36473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
7976, 77, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → (0.‘𝐾) ∈ 𝐵)
805, 8, 12dih11 38554 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐵 ∧ (0.‘𝐾) ∈ 𝐵) → ((𝐼𝑄) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
8173, 75, 79, 80syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → ((𝐼𝑄) = (𝐼‘(0.‘𝐾)) ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
8272, 81mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ∧ 𝑥 = 0 ) → 𝑄 = (0.‘𝐾))
83823expia 1118 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑥 = 0𝑄 = (0.‘𝐾)))
8483necon3d 3011 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑄 ≠ (0.‘𝐾) → 𝑥0 ))
8559, 84mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥0 )
8685ex 416 . . . . . . 7 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → 𝑥0 ))
8786ancrd 555 . . . . . 6 (((𝜑𝑄𝐴) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
8887reximdva 3236 . . . . 5 ((𝜑𝑄𝐴) → (∃𝑥𝑉 (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
8951, 88mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑄𝐴) → ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
9089ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐴 → ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
911ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9274ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑄𝐵)
935, 8, 12dihcnvid1 38561 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐵) → (𝐼‘(𝐼𝑄)) = 𝑄)
9491, 92, 93syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝐼‘(𝐼𝑄)) = 𝑄)
95 fveq2 6649 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) → (𝐼‘(𝐼𝑄)) = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})))
9695ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝐼‘(𝐼𝑄)) = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})))
9794, 96eqtr3d 2838 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑄 = (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})))
9864ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑈 ∈ LMod)
99 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑥𝑉)
100 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑥0 )
101 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
10221, 13, 65, 101lsatlspsn2 36281 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑉𝑥0 ) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
10398, 99, 100, 102syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
1047, 8, 11, 12, 101dihlatat 38626 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ 𝐴)
10591, 103, 104syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → (𝐼‘(𝑁‘{𝑥})) ∈ 𝐴)
10697, 105eqeltrd 2893 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))) → 𝑄𝐴)
107106ex 416 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑉) → ((𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄𝐴))
108107rexlimdva 3246 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑄𝐴))
10990, 108impbid 215 . 2 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}))))
110 rexdifsn 4690 . 2 (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥}) ↔ ∃𝑥𝑉 (𝑥0 ∧ (𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
111109, 110syl6bbr 292 1 (𝜑 → (𝑄𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝐼𝑄) = (𝑁‘{𝑥})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wrex 3110  cdif 3881  {csn 4528  cop 4534   class class class wbr 5033  cmpt 5113   I cid 5427  ccnv 5522  cres 5525  cfv 6328  crio 7096  Basecbs 16478  lecple 16567  occoc 16568  0gc0g 16708  0.cp0 17642  LModclmod 19630  LSpanclspn 19739  LSAtomsclsa 36263  OPcops 36461  Atomscatm 36552  AtLatcal 36553  HLchlt 36639  LHypclh 37273  LTrncltrn 37390  TEndoctendo 38041  DVecHcdvh 38367  DIsoHcdih 38517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-riotaBAD 36242
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-0g 16710  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lvec 19871  df-lsatoms 36265  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-llines 36787  df-lplanes 36788  df-lvols 36789  df-lines 36790  df-psubsp 36792  df-pmap 36793  df-padd 37085  df-lhyp 37277  df-laut 37278  df-ldil 37393  df-ltrn 37394  df-trl 37448  df-tendo 38044  df-edring 38046  df-disoa 38318  df-dvech 38368  df-dib 38428  df-dic 38462  df-dih 38518
This theorem is referenced by:  dihatexv2  38628
  Copyright terms: Public domain W3C validator