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Theorem dihatexv 40722
Description: There is a nonzero vector that maps to every lattice atom. (Contributed by NM, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihatexv.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihatexv.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihatexv.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihatexv.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihatexv.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
dihatexv.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
dihatexv.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
dihatexv.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihatexv.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
dihatexv.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
dihatexv (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑄   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯)   𝐻(π‘₯)   0 (π‘₯)

Proof of Theorem dihatexv
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dihatexv.k . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
21ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3 simplr 766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4 simpr 484 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)
5 dihatexv.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
7 dihatexv.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 dihatexv.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
9 eqid 2726 . . . . . . . . 9 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) = (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))
11 dihatexv.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 dihatexv.i . . . . . . . . 9 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 dihatexv.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
145, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13dih1dimb2 40625 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ βˆƒπ‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩})))
152, 3, 4, 14syl12anc 834 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ βˆƒπ‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩})))
161ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
17 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
18 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
195, 8, 9, 18, 10tendo0cl 40174 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
2016, 19syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
21 dihatexv.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
228, 9, 18, 11, 21dvhelvbasei 40472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡)) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩ ∈ 𝑉)
2316, 17, 20, 22syl12anc 834 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩ ∈ 𝑉)
24 sneq 4633 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩ β†’ {π‘₯} = {βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩})
2524fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩ β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩}))
2625rspceeqv 3628 . . . . . . . . . . 11 ((βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩ ∈ 𝑉 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))
2723, 26sylan 579 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))
2827ex 412 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩}) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})))
2928adantld 490 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ 𝑔 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ((𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})))
3029rexlimdva 3149 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(𝑔 β‰  ( I β†Ύ 𝐡) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{βŸ¨π‘”, (𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ↦ ( I β†Ύ 𝐡))⟩})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})))
3115, 30mpd 15 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))
321ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
33 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
346, 7, 8, 33lhpocnel2 39403 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
3532, 34syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š))
36 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
37 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)
38 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄) = (℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄)
396, 7, 8, 9, 38ltrniotacl 39963 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ ((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(leβ€˜πΎ)π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
4032, 35, 36, 37, 39syl112anc 1371 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ (℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
418, 9, 18tendoidcl 40153 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
4232, 41syl 17 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
438, 9, 18, 11, 21dvhelvbasei 40472 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄) ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) ∈ ((TEndoβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ ⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩ ∈ 𝑉)
4432, 40, 42, 43syl12anc 834 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩ ∈ 𝑉)
456, 7, 8, 33, 9, 12, 11, 13, 38dih1dimc 40626 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩}))
4632, 36, 37, 45syl12anc 834 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩}))
47 sneq 4633 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = ⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩ β†’ {π‘₯} = {⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩})
4847fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (π‘₯ = ⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩ β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) = (π‘β€˜{⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩}))
4948rspceeqv 3628 . . . . . . 7 ((⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩ ∈ 𝑉 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{⟨(℩𝑓 ∈ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)(π‘“β€˜((ocβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = 𝑄), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩})) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))
5044, 46, 49syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑄(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))
5131, 50pm2.61dan 810 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))
521simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
5352ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})) β†’ 𝐾 ∈ HL)
54 hlatl 38743 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
56 simpllr 773 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
57 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
5857, 7atn0 38691 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 β‰  (0.β€˜πΎ))
5955, 56, 58syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})) β†’ 𝑄 β‰  (0.β€˜πΎ))
60 sneq 4633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 0 β†’ {π‘₯} = { 0 })
6160fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) = (π‘β€˜{ 0 }))
62613ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) = (π‘β€˜{ 0 }))
63 simp1ll 1233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ πœ‘)
648, 11, 1dvhlmod 40494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
65 dihatexv.o . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
6665, 13lspsn0 20855 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
6763, 64, 663syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
6862, 67eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) = { 0 })
69 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))
7057, 8, 12, 11, 65dih0 40664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)) = { 0 })
7163, 1, 703syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)) = { 0 })
7268, 69, 713eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (πΌβ€˜π‘„) = (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)))
7363, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
74 dihatexv.q . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
7563, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
7663, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ 𝐾 ∈ HL)
77 hlop 38745 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
785, 57op0cl 38567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ OP β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
7976, 77, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
805, 8, 12dih11 40649 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ (0.β€˜πΎ) ∈ 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) = (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)) ↔ 𝑄 = (0.β€˜πΎ)))
8173, 75, 79, 80syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) = (πΌβ€˜(0.β€˜πΎ)) ↔ 𝑄 = (0.β€˜πΎ)))
8272, 81mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ∧ π‘₯ = 0 ) β†’ 𝑄 = (0.β€˜πΎ))
83823expia 1118 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})) β†’ (π‘₯ = 0 β†’ 𝑄 = (0.β€˜πΎ)))
8483necon3d 2955 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})) β†’ (𝑄 β‰  (0.β€˜πΎ) β†’ π‘₯ β‰  0 ))
8559, 84mpd 15 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})) β†’ π‘₯ β‰  0 )
8685ex 412 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) β†’ π‘₯ β‰  0 ))
8786ancrd 551 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) β†’ (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))))
8887reximdva 3162 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))))
8951, 88mpd 15 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})))
9089ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))))
911ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
9274ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
935, 8, 12dihcnvid1 40656 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘„)) = 𝑄)
9491, 92, 93syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))) β†’ (β—‘πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘„)) = 𝑄)
95 fveq2 6885 . . . . . . . 8 ((πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) β†’ (β—‘πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘„)) = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯})))
9695ad2antll 726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))) β†’ (β—‘πΌβ€˜(πΌβ€˜π‘„)) = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯})))
9794, 96eqtr3d 2768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))) β†’ 𝑄 = (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯})))
9864ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
99 simplr 766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
100 simprl 768 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))) β†’ π‘₯ β‰  0 )
101 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
10221, 13, 65, 101lsatlspsn2 38375 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
10398, 99, 100, 102syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
1047, 8, 11, 12, 101dihlatat 40721 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘β€˜{π‘₯}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯})) ∈ 𝐴)
10591, 103, 104syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))) β†’ (β—‘πΌβ€˜(π‘β€˜{π‘₯})) ∈ 𝐴)
10697, 105eqeltrd 2827 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
107106ex 412 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴))
108107rexlimdva 3149 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴))
10990, 108impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}))))
110 rexdifsn 4792 . 2 (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯}) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (π‘₯ β‰  0 ∧ (πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})))
111109, 110bitr4di 289 1 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })(πΌβ€˜π‘„) = (π‘β€˜{π‘₯})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆƒwrex 3064   βˆ– cdif 3940  {csn 4623  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   I cid 5566  β—‘ccnv 5668   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  β„©crio 7360  Basecbs 17153  lecple 17213  occoc 17214  0gc0g 17394  0.cp0 18388  LModclmod 20706  LSpanclspn 20818  LSAtomsclsa 38357  OPcops 38555  Atomscatm 38646  AtLatcal 38647  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  TEndoctendo 40136  DVecHcdvh 40462  DIsoHcdih 40612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613
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