Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihatlat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihatlat 37141
Description: The isomorphism H of an atom is a 1-dim subspace. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihatlat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihatlat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihatlat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihatlat.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihatlat.l 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihatlat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem dihatlat
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2771 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 dihatlat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 dihatlat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 eqid 2771 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2771 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
7 dihatlat.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 dihatlat.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
9 eqid 2771 . . . . 5 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dih1dimb2 37048 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))
1110anassrs 453 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))
12 simp3rr 1313 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩}))
13 simp1l 1239 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
144, 7, 13dvhlmod 36917 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → 𝑈 ∈ LMod)
15 simp3l 1243 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
16 eqid 2771 . . . . . . . . 9 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
171, 4, 5, 16, 6tendo0cl 36596 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
1813, 17syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
19 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
204, 5, 16, 7, 19dvhelvbasei 36895 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (Base‘𝑈))
2113, 15, 18, 20syl12anc 1474 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (Base‘𝑈))
22 simp3rl 1312 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → 𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
2322neneqd 2948 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ¬ 𝑔 = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
2423intnanrd 477 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ¬ (𝑔 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
25 vex 3354 . . . . . . . . . 10 𝑔 ∈ V
26 fvex 6341 . . . . . . . . . . 11 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
2726mptex 6629 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ V
2825, 27opth 5072 . . . . . . . . 9 (⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ↔ (𝑔 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
2928necon3abii 2989 . . . . . . . 8 (⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ≠ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ↔ ¬ (𝑔 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
3024, 29sylibr 224 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ≠ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
31 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (0g𝑈) = (0g𝑈)
321, 4, 5, 7, 31, 6dvh0g 36918 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝑈) = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
3313, 32syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (0g𝑈) = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
3430, 33neeqtrrd 3017 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ≠ (0g𝑈))
35 dihatlat.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)
3619, 9, 31, 35lsatlspsn2 34797 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (Base‘𝑈) ∧ ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ≠ (0g𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩}) ∈ 𝐿)
3714, 21, 34, 36syl3anc 1476 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩}) ∈ 𝐿)
3812, 37eqeltrd 2850 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
39383expa 1111 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
4011, 39rexlimddv 3183 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
41 eqid 2771 . . . . 5 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
42 eqid 2771 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
432, 3, 4, 41, 5, 8, 7, 9, 42dih1dimc 37049 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
4443anassrs 453 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
45 simpll 750 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
464, 7, 45dvhlmod 36917 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑈 ∈ LMod)
47 eqid 2771 . . . . . . . 8 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
482, 47, 3, 4lhpocnel 35823 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
4948ad2antrr 705 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
50 simplr 752 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄𝐴)
51 simpr 471 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
522, 3, 4, 5, 42ltrniotacl 36385 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
5345, 49, 50, 51, 52syl112anc 1480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
544, 5, 16tendoidcl 36575 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
5554ad2antrr 705 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
564, 5, 16, 7, 19dvhelvbasei 36895 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ (Base‘𝑈))
5745, 53, 55, 56syl12anc 1474 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ (Base‘𝑈))
581, 4, 5, 16, 6tendo1ne0 36634 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ≠ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
5958ad2antrr 705 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ≠ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
6059neneqd 2948 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ¬ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
6160intnand 476 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ¬ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
62 riotaex 6757 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ V
63 resiexg 7249 . . . . . . . . 9 (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ V)
6426, 63ax-mp 5 . . . . . . . 8 ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ V
6562, 64opth 5072 . . . . . . 7 (⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
6665necon3abii 2989 . . . . . 6 (⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ≠ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ↔ ¬ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
6761, 66sylibr 224 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ≠ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
6832ad2antrr 705 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (0g𝑈) = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
6967, 68neeqtrrd 3017 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ≠ (0g𝑈))
7019, 9, 31, 35lsatlspsn2 34797 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ (Base‘𝑈) ∧ ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ≠ (0g𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}) ∈ 𝐿)
7146, 57, 69, 70syl3anc 1476 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ((LSpan‘𝑈)‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}) ∈ 𝐿)
7244, 71eqeltrd 2850 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
7340, 72pm2.61dan 814 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  Vcvv 3351  {csn 4316  cop 4322   class class class wbr 4786  cmpt 4863   I cid 5156  cres 5251  cfv 6029  crio 6752  Basecbs 16060  lecple 16152  occoc 16153  0gc0g 16304  LModclmod 19069  LSpanclspn 19180  LSAtomsclsa 34779  Atomscatm 35068  HLchlt 35155  LHypclh 35789  LTrncltrn 35906  TEndoctendo 36558  DVecHcdvh 36885  DIsoHcdih 37035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-riotaBAD 34757
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-tpos 7504  df-undef 7551  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-fz 12530  df-struct 16062  df-ndx 16063  df-slot 16064  df-base 16066  df-sets 16067  df-ress 16068  df-plusg 16158  df-mulr 16159  df-sca 16161  df-vsca 16162  df-0g 16306  df-preset 17132  df-poset 17150  df-plt 17162  df-lub 17178  df-glb 17179  df-join 17180  df-meet 17181  df-p0 17243  df-p1 17244  df-lat 17250  df-clat 17312  df-mgm 17446  df-sgrp 17488  df-mnd 17499  df-submnd 17540  df-grp 17629  df-minusg 17630  df-sbg 17631  df-subg 17795  df-cntz 17953  df-lsm 18254  df-cmn 18398  df-abl 18399  df-mgp 18694  df-ur 18706  df-ring 18753  df-oppr 18827  df-dvdsr 18845  df-unit 18846  df-invr 18876  df-dvr 18887  df-drng 18955  df-lmod 19071  df-lss 19139  df-lsp 19181  df-lvec 19312  df-lsatoms 34781  df-oposet 34981  df-ol 34983  df-oml 34984  df-covers 35071  df-ats 35072  df-atl 35103  df-cvlat 35127  df-hlat 35156  df-llines 35303  df-lplanes 35304  df-lvols 35305  df-lines 35306  df-psubsp 35308  df-pmap 35309  df-padd 35601  df-lhyp 35793  df-laut 35794  df-ldil 35909  df-ltrn 35910  df-trl 35965  df-tendo 36561  df-edring 36563  df-disoa 36836  df-dvech 36886  df-dib 36946  df-dic 36980  df-dih 37036
This theorem is referenced by:  dihat  37142  dihjat3  37239  dihjat5N  37244  dvh4dimat  37245
  Copyright terms: Public domain W3C validator