Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihatlat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihatlat 41033
Description: The isomorphism H of an atom is a 1-dim subspace. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihatlat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihatlat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihatlat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihatlat.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihatlat.l 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihatlat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem dihatlat
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2726 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 dihatlat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 dihatlat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 eqid 2726 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2726 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
7 dihatlat.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 dihatlat.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
9 eqid 2726 . . . . 5 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dih1dimb2 40940 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))
1110anassrs 466 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))
12 simp3rr 1244 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩}))
13 simp1l 1194 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
144, 7, 13dvhlmod 40809 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → 𝑈 ∈ LMod)
15 simp3l 1198 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
16 eqid 2726 . . . . . . . . 9 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
171, 4, 5, 16, 6tendo0cl 40489 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
1813, 17syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
19 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
204, 5, 16, 7, 19dvhelvbasei 40787 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (Base‘𝑈))
2113, 15, 18, 20syl12anc 835 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (Base‘𝑈))
22 simp3rl 1243 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → 𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
2322neneqd 2935 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ¬ 𝑔 = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
2423intnanrd 488 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ¬ (𝑔 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
25 vex 3466 . . . . . . . . . 10 𝑔 ∈ V
26 fvex 6914 . . . . . . . . . . 11 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
2726mptex 7240 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ V
2825, 27opth 5482 . . . . . . . . 9 (⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ↔ (𝑔 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
2928necon3abii 2977 . . . . . . . 8 (⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ≠ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ↔ ¬ (𝑔 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
3024, 29sylibr 233 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ≠ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
31 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (0g𝑈) = (0g𝑈)
321, 4, 5, 7, 31, 6dvh0g 40810 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝑈) = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
3313, 32syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (0g𝑈) = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
3430, 33neeqtrrd 3005 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ≠ (0g𝑈))
35 dihatlat.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)
3619, 9, 31, 35lsatlspsn2 38690 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (Base‘𝑈) ∧ ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ≠ (0g𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩}) ∈ 𝐿)
3714, 21, 34, 36syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩}) ∈ 𝐿)
3812, 37eqeltrd 2826 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
39383expa 1115 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
4011, 39rexlimddv 3151 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
41 eqid 2726 . . . . 5 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
42 eqid 2726 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
432, 3, 4, 41, 5, 8, 7, 9, 42dih1dimc 40941 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
4443anassrs 466 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
45 simpll 765 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
464, 7, 45dvhlmod 40809 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑈 ∈ LMod)
47 eqid 2726 . . . . . . . 8 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
482, 47, 3, 4lhpocnel 39717 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
4948ad2antrr 724 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
50 simplr 767 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄𝐴)
51 simpr 483 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
522, 3, 4, 5, 42ltrniotacl 40278 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
5345, 49, 50, 51, 52syl112anc 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
544, 5, 16tendoidcl 40468 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
5554ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
564, 5, 16, 7, 19dvhelvbasei 40787 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ (Base‘𝑈))
5745, 53, 55, 56syl12anc 835 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ (Base‘𝑈))
581, 4, 5, 16, 6tendo1ne0 40527 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ≠ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
5958ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ≠ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
6059neneqd 2935 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ¬ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
6160intnand 487 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ¬ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
62 riotaex 7384 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ V
63 resiexg 7925 . . . . . . . . 9 (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ V)
6426, 63ax-mp 5 . . . . . . . 8 ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ V
6562, 64opth 5482 . . . . . . 7 (⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
6665necon3abii 2977 . . . . . 6 (⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ≠ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ↔ ¬ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
6761, 66sylibr 233 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ≠ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
6832ad2antrr 724 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (0g𝑈) = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
6967, 68neeqtrrd 3005 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ≠ (0g𝑈))
7019, 9, 31, 35lsatlspsn2 38690 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ (Base‘𝑈) ∧ ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ≠ (0g𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}) ∈ 𝐿)
7146, 57, 69, 70syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ((LSpan‘𝑈)‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}) ∈ 𝐿)
7244, 71eqeltrd 2826 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
7340, 72pm2.61dan 811 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060  Vcvv 3462  {csn 4633  cop 4639   class class class wbr 5153  cmpt 5236   I cid 5579  cres 5684  cfv 6554  crio 7379  Basecbs 17213  lecple 17273  occoc 17274  0gc0g 17454  LModclmod 20836  LSpanclspn 20948  LSAtomsclsa 38672  Atomscatm 38961  HLchlt 39048  LHypclh 39683  LTrncltrn 39800  TEndoctendo 40451  DVecHcdvh 40777  DIsoHcdih 40927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-riotaBAD 38651
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-undef 8288  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-0g 17456  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-p1 18451  df-lat 18457  df-clat 18524  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-cntz 19311  df-lsm 19634  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-drng 20709  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-lvec 21081  df-lsatoms 38674  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-llines 39197  df-lplanes 39198  df-lvols 39199  df-lines 39200  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-padd 39495  df-lhyp 39687  df-laut 39688  df-ldil 39803  df-ltrn 39804  df-trl 39858  df-tendo 40454  df-edring 40456  df-disoa 40728  df-dvech 40778  df-dib 40838  df-dic 40872  df-dih 40928
This theorem is referenced by:  dihat  41034  dihjat3  41131  dihjat5N  41136  dvh4dimat  41137
  Copyright terms: Public domain W3C validator