Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihatlat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihatlat 37120
Description: The isomorphism H of an atom is a 1-dim subspace. (Contributed by NM, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihatlat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dihatlat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihatlat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihatlat.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihatlat.l 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
dihatlat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem dihatlat
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2817 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2817 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 dihatlat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 dihatlat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 eqid 2817 . . . . 5 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2817 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
7 dihatlat.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 dihatlat.i . . . . 5 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
9 eqid 2817 . . . . 5 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9dih1dimb2 37027 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))
1110anassrs 455 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ∃𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))
12 simp3rr 1321 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩}))
13 simp1l 1247 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
144, 7, 13dvhlmod 36896 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → 𝑈 ∈ LMod)
15 simp3l 1251 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → 𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
16 eqid 2817 . . . . . . . . 9 ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
171, 4, 5, 16, 6tendo0cl 36576 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
1813, 17syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
19 eqid 2817 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
204, 5, 16, 7, 19dvhelvbasei 36874 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (Base‘𝑈))
2113, 15, 18, 20syl12anc 856 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (Base‘𝑈))
22 simp3rl 1320 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → 𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
2322neneqd 2994 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ¬ 𝑔 = ( I ↾ (Base‘𝐾)))
2423intnanrd 479 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ¬ (𝑔 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
25 vex 3405 . . . . . . . . . 10 𝑔 ∈ V
26 fvex 6428 . . . . . . . . . . 11 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V
2726mptex 6718 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) ∈ V
2825, 27opth 5145 . . . . . . . . 9 (⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ↔ (𝑔 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
2928necon3abii 3035 . . . . . . . 8 (⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ≠ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ↔ ¬ (𝑔 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
3024, 29sylibr 225 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ≠ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
31 eqid 2817 . . . . . . . . 9 (0g𝑈) = (0g𝑈)
321, 4, 5, 7, 31, 6dvh0g 36897 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (0g𝑈) = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
3313, 32syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (0g𝑈) = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
3430, 33neeqtrrd 3063 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ≠ (0g𝑈))
35 dihatlat.l . . . . . . 7 𝐿 = (LSAtoms‘𝑈)
3619, 9, 31, 35lsatlspsn2 34778 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ∈ (Base‘𝑈) ∧ ⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ≠ (0g𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩}) ∈ 𝐿)
3714, 21, 34, 36syl3anc 1483 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩}) ∈ 𝐿)
3812, 37eqeltrd 2896 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊 ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
39383expa 1140 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑔 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ (𝑔 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨𝑔, (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩})))) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
4011, 39rexlimddv 3234 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
41 eqid 2817 . . . . 5 ((oc‘𝐾)‘𝑊) = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
42 eqid 2817 . . . . 5 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄)
432, 3, 4, 41, 5, 8, 7, 9, 42dih1dimc 37028 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
4443anassrs 455 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑄) = ((LSpan‘𝑈)‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}))
45 simpll 774 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
464, 7, 45dvhlmod 36896 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑈 ∈ LMod)
47 eqid 2817 . . . . . . . 8 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
482, 47, 3, 4lhpocnel 35804 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
4948ad2antrr 708 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊))
50 simplr 776 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → 𝑄𝐴)
51 simpr 473 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)
522, 3, 4, 5, 42ltrniotacl 36365 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (((oc‘𝐾)‘𝑊) ∈ 𝐴 ∧ ¬ ((oc‘𝐾)‘𝑊)(le‘𝐾)𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊)) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
5345, 49, 50, 51, 52syl112anc 1486 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))
544, 5, 16tendoidcl 36555 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
5554ad2antrr 708 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))
564, 5, 16, 7, 19dvhelvbasei 36874 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ (Base‘𝑈))
5745, 53, 55, 56syl12anc 856 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ (Base‘𝑈))
581, 4, 5, 16, 6tendo1ne0 36614 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ≠ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
5958ad2antrr 708 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ≠ (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
6059neneqd 2994 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ¬ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
6160intnand 478 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ¬ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
62 riotaex 6846 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) ∈ V
63 resiexg 7339 . . . . . . . . 9 (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ∈ V → ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ V)
6426, 63ax-mp 5 . . . . . . . 8 ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) ∈ V
6562, 64opth 5145 . . . . . . 7 (⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ↔ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
6665necon3abii 3035 . . . . . 6 (⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ≠ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩ ↔ ¬ ((𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄) = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))))
6761, 66sylibr 225 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ≠ ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
6832ad2antrr 708 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (0g𝑈) = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), (𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) ↦ ( I ↾ (Base‘𝐾)))⟩)
6967, 68neeqtrrd 3063 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ≠ (0g𝑈))
7019, 9, 31, 35lsatlspsn2 34778 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ∈ (Base‘𝑈) ∧ ⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩ ≠ (0g𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}) ∈ 𝐿)
7146, 57, 69, 70syl3anc 1483 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → ((LSpan‘𝑈)‘{⟨(𝑓 ∈ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)(𝑓‘((oc‘𝐾)‘𝑊)) = 𝑄), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩}) ∈ 𝐿)
7244, 71eqeltrd 2896 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ¬ 𝑄(le‘𝐾)𝑊) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
7340, 72pm2.61dan 838 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑄𝐴) → (𝐼𝑄) ∈ 𝐿)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  wrex 3108  Vcvv 3402  {csn 4381  cop 4387   class class class wbr 4855  cmpt 4934   I cid 5229  cres 5324  cfv 6108  crio 6841  Basecbs 16075  lecple 16167  occoc 16168  0gc0g 16312  LModclmod 19074  LSpanclspn 19185  LSAtomsclsa 34760  Atomscatm 35049  HLchlt 35136  LHypclh 35770  LTrncltrn 35887  TEndoctendo 36538  DVecHcdvh 36864  DIsoHcdih 37014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-riotaBAD 34738
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-tpos 7594  df-undef 7641  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-map 8101  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-4 11373  df-5 11374  df-6 11375  df-n0 11567  df-z 11651  df-uz 11912  df-fz 12557  df-struct 16077  df-ndx 16078  df-slot 16079  df-base 16081  df-sets 16082  df-ress 16083  df-plusg 16173  df-mulr 16174  df-sca 16176  df-vsca 16177  df-0g 16314  df-proset 17140  df-poset 17158  df-plt 17170  df-lub 17186  df-glb 17187  df-join 17188  df-meet 17189  df-p0 17251  df-p1 17252  df-lat 17258  df-clat 17320  df-mgm 17454  df-sgrp 17496  df-mnd 17507  df-submnd 17548  df-grp 17637  df-minusg 17638  df-sbg 17639  df-subg 17800  df-cntz 17958  df-lsm 18259  df-cmn 18403  df-abl 18404  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-oppr 18832  df-dvdsr 18850  df-unit 18851  df-invr 18881  df-dvr 18892  df-drng 18960  df-lmod 19076  df-lss 19144  df-lsp 19186  df-lvec 19317  df-lsatoms 34762  df-oposet 34962  df-ol 34964  df-oml 34965  df-covers 35052  df-ats 35053  df-atl 35084  df-cvlat 35108  df-hlat 35137  df-llines 35284  df-lplanes 35285  df-lvols 35286  df-lines 35287  df-psubsp 35289  df-pmap 35290  df-padd 35582  df-lhyp 35774  df-laut 35775  df-ldil 35890  df-ltrn 35891  df-trl 35945  df-tendo 36541  df-edring 36543  df-disoa 36815  df-dvech 36865  df-dib 36925  df-dic 36959  df-dih 37015
This theorem is referenced by:  dihat  37121  dihjat3  37218  dihjat5N  37223  dvh4dimat  37224
  Copyright terms: Public domain W3C validator