Theorem dihlsprn 40793

Description: The span of a vector belongs to the range of isomorphism H. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihlsprn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihlsprn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihlsprn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihlsprn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihlsprn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihlsprn	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihlsprn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → 𝑋 = (0g‘𝑈))
2	1	sneqd 4636	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → {𝑋} = {(0g‘𝑈)})
3	2	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
4		dihlsprn.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihlsprn.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlmod 40572	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
8		eqid 2727	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
9		dihlsprn.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10	8, 9	lspsn0 20885	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
12	3, 11	eqtrd 2767	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)})
13		dihlsprn.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14	4, 13, 5, 8	dih0rn 40746	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {(0g‘𝑈)} ∈ ran 𝐼)
15	14	ad2antrr 725	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → {(0g‘𝑈)} ∈ ran 𝐼)
16	12, 15	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
17		simpll 766	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
18	4, 5, 17	dvhlmod 40572	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
19		simplr 768	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
20		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
21		dihlsprn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
22		eqid 2727	. . . . 5 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
23	21, 9, 8, 22	lsatlspsn2 38453	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
24	18, 19, 20, 23	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
25	4, 5, 13, 22	dih1dimat 40792	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
26	17, 24, 25	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
27	16, 26	pm2.61dane 3024	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  {csn 4624  ran crn 5673  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  0_gc0g 17414  LModclmod 20736  LSpanclspn 20848  LSAtomsclsa 38435  HLchlt 38811  LHypclh 39446  DVecHcdvh 40540  DIsoHcdih 40690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-riotaBAD 38414

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17416  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cntz 19261  df-lsm 19584  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-lvec 20981  df-lsatoms 38437  df-oposet 38637  df-ol 38639  df-oml 38640  df-covers 38727  df-ats 38728  df-atl 38759  df-cvlat 38783  df-hlat 38812  df-llines 38960  df-lplanes 38961  df-lvols 38962  df-lines 38963  df-psubsp 38965  df-pmap 38966  df-padd 39258  df-lhyp 39450  df-laut 39451  df-ldil 39566  df-ltrn 39567  df-trl 39621  df-tendo 40217  df-edring 40219  df-disoa 40491  df-dvech 40541  df-dib 40601  df-dic 40635  df-dih 40691

This theorem is referenced by:  dihlspsnssN  40794  dihlspsnat  40795  dihatexv2  40801  dochocsn  40843  dochsncom  40844  djhcvat42  40877  dihprrnlem1N  40886  dihprrnlem2  40887  dihprrn  40888  dihjat1lem  40890  dihsmsnrn  40897  dochsatshpb  40914  dochsnkr2cl  40936  lcfl7lem  40961  lclkrlem2a  40969  lclkrlem2c  40971  lcfrlem14  41018  hdmapoc  41393