Theorem dihlsprn 41704

Description: The span of a vector belongs to the range of isomorphism H. (Contributed by NM, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihlsprn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihlsprn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihlsprn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dihlsprn.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
dihlsprn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dihlsprn	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dihlsprn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → 𝑋 = (0g‘𝑈))
2	1	sneqd 4594	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → {𝑋} = {(0g‘𝑈)})
3	2	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{(0g‘𝑈)}))
4		dihlsprn.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihlsprn.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlmod 41483	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
8		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
9		dihlsprn.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
10	8, 9	lspsn0 20971	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
11	7, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝑈)})
12	3, 11	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) = {(0g‘𝑈)})
13		dihlsprn.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
14	4, 13, 5, 8	dih0rn 41657	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → {(0g‘𝑈)} ∈ ran 𝐼)
15	14	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → {(0g‘𝑈)} ∈ ran 𝐼)
16	12, 15	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
17		simpll 767	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
18	4, 5, 17	dvhlmod 41483	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LMod)
19		simplr 769	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
20		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
21		dihlsprn.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
23	21, 9, 8, 22	lsatlspsn2 39365	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
24	18, 19, 20, 23	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
25	4, 5, 13, 22	dih1dimat 41703	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
26	17, 24, 25	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)
27	16, 26	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {csn 4582  ran crn 5633  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  LModclmod 20823  LSpanclspn 20934  LSAtomsclsa 39347  HLchlt 39723  LHypclh 40357  DVecHcdvh 41451  DIsoHcdih 41601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39326

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-undef 8225  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lvec 21067  df-lsatoms 39349  df-oposet 39549  df-ol 39551  df-oml 39552  df-covers 39639  df-ats 39640  df-atl 39671  df-cvlat 39695  df-hlat 39724  df-llines 39871  df-lplanes 39872  df-lvols 39873  df-lines 39874  df-psubsp 39876  df-pmap 39877  df-padd 40169  df-lhyp 40361  df-laut 40362  df-ldil 40477  df-ltrn 40478  df-trl 40532  df-tendo 41128  df-edring 41130  df-disoa 41402  df-dvech 41452  df-dib 41512  df-dic 41546  df-dih 41602

This theorem is referenced by:  dihlspsnssN  41705  dihlspsnat  41706  dihatexv2  41712  dochocsn  41754  dochsncom  41755  djhcvat42  41788  dihprrnlem1N  41797  dihprrnlem2  41798  dihprrn  41799  dihjat1lem  41801  dihsmsnrn  41808  dochsatshpb  41825  dochsnkr2cl  41847  lcfl7lem  41872  lclkrlem2a  41880  lclkrlem2c  41882  lcfrlem14  41929  hdmapoc  42304