Theorem lsatel 37863

Description: A nonzero vector in an atom determines the atom. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatel.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatel.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatel.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatel.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatel.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
lsatel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lsatel.e	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lsatel	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsatel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatel.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lsatel.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 20709	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lsatel.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7		lsatel.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
8	1, 6, 5, 7	lsatlssel 37855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		lsatel.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
10	1, 2, 5, 8, 9	lspsnel5a 20599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
11		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12	11, 1	lssel 20540	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
13	8, 9, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14		lsatel.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
15		lsatel.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16	11, 2, 15, 6	lsatlspsn2 37850	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
17	5, 13, 14, 16	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
18	6, 3, 17, 7	lsatcmp 37861	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = 𝑈))
19	10, 18	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = 𝑈)
20	19	eqcomd 2738	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3947  {csn 4627  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705  LSAtomsclsa 37832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834

This theorem is referenced by:  lsatelbN  37864  lsat2el  37865  dihpN  40195  dochsnkr  40331  lcfrlem25  40426  lcfrlem35  40436  mapdpglem20  40550