Theorem lsatel 40030

Description: A nonzero vector in an atom determines the atom. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatel.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatel.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatel.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatel.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatel.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
lsatel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lsatel.e	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lsatel	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsatel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatel.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lsatel.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21361	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lsatel.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7		lsatel.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
8	1, 6, 5, 7	lsatlssel 40022	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		lsatel.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
10	1, 2, 5, 8, 9	ellspsn5 21251	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
11		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12	11, 1	lssel 21192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
13	8, 9, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14		lsatel.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
15		lsatel.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16	11, 2, 15, 6	lsatlspsn2 40017	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
17	5, 13, 14, 16	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
18	6, 3, 17, 7	lsatcmp 40028	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = 𝑈))
19	10, 18	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = 𝑈)
20	19	eqcomd 2767	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  LModclmod 21115  LSubSpclss 21186  LSpanclspn 21226  LVecclvec 21357  LSAtomsclsa 39999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lvec 21358  df-lsatoms 40001

This theorem is used by:  lsatelbN  40031  lsat2el  40032  dihpN  42361  dochsnkr  42497  lcfrlem25  42592  lcfrlem35  42602  mapdpglem20  42716