Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatel 38481
Description: A nonzero vector in an atom determines the atom. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatel.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatel.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsatel.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
lsatel.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lsatel.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
lsatel.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
lsatel.e (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lsatel (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}))

Proof of Theorem lsatel
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lsatel.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 lsatel.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
4 lveclmod 20996 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
6 lsatel.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
7 lsatel.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
81, 6, 5, 7lsatlssel 38473 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
9 lsatel.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
101, 2, 5, 8, 9lspsnel5a 20885 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
11 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
1211, 1lssel 20826 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
138, 9, 12syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
14 lsatel.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
15 lsatel.o . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘Š)
1611, 2, 15, 6lsatlspsn2 38468 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴)
175, 13, 14, 16syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴)
186, 3, 17, 7lsatcmp 38479 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ ↔ (π‘β€˜{𝑋}) = π‘ˆ))
1910, 18mpbid 231 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = π‘ˆ)
2019eqcomd 2733 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936   βŠ† wss 3947  {csn 4630  β€˜cfv 6551  Basecbs 17185  0gc0g 17426  LModclmod 20748  LSubSpclss 20820  LSpanclspn 20860  LVecclvec 20992  LSAtomsclsa 38450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-drng 20631  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-lvec 20993  df-lsatoms 38452
This theorem is referenced by:  lsatelbN  38482  lsat2el  38483  dihpN  40813  dochsnkr  40949  lcfrlem25  41044  lcfrlem35  41054  mapdpglem20  41168
  Copyright terms: Public domain W3C validator