Theorem lsatel 40254

Description: A nonzero vector in an atom determines the atom. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatel.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatel.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatel.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatel.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatel.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
lsatel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lsatel.e	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lsatel	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsatel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatel.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lsatel.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21411	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lsatel.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7		lsatel.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
8	1, 6, 5, 7	lsatlssel 40246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		lsatel.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
10	1, 2, 5, 8, 9	ellspsn5 21301	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
11		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12	11, 1	lssel 21242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
13	8, 9, 12	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14		lsatel.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
15		lsatel.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16	11, 2, 15, 6	lsatlspsn2 40241	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
17	5, 13, 14, 16	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
18	6, 3, 17, 7	lsatcmp 40252	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = 𝑈))
19	10, 18	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = 𝑈)
20	19	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  0_gc0g 17639  LModclmod 21165  LSubSpclss 21236  LSpanclspn 21276  LVecclvec 21407  LSAtomsclsa 40223

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-0g 17641  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-drng 21012  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-lsp 21277  df-lvec 21408  df-lsatoms 40225

This theorem is used by:  lsatelbN  40255  lsat2el  40256  dihpN  42585  dochsnkr  42721  lcfrlem25  42816  lcfrlem35  42826  mapdpglem20  42940