Theorem lsatel 37323

Description: A nonzero vector in an atom determines the atom. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatel.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatel.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatel.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatel.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lsatel.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
lsatel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lsatel.e	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lsatel	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsatel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2		lsatel.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3		lsatel.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 20475	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6		lsatel.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7		lsatel.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐴)
8	1, 6, 5, 7	lsatlssel 37315	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		lsatel.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
10	1, 2, 5, 8, 9	lspsnel5a 20365	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
11		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
12	11, 1	lssel 20306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
13	8, 9, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14		lsatel.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
15		lsatel.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
16	11, 2, 15, 6	lsatlspsn2 37310	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
17	5, 13, 14, 16	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
18	6, 3, 17, 7	lsatcmp 37321	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = 𝑈))
19	10, 18	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = 𝑈)
20	19	eqcomd 2742	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   ⊆ wss 3898  {csn 4574  ‘cfv 6480  Basecbs 17010  0_gc0g 17248  LModclmod 20230  LSubSpclss 20300  LSpanclspn 20340  LVecclvec 20471  LSAtomsclsa 37292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-cnex 11029  ax-resscn 11030  ax-1cn 11031  ax-icn 11032  ax-addcl 11033  ax-addrcl 11034  ax-mulcl 11035  ax-mulrcl 11036  ax-mulcom 11037  ax-addass 11038  ax-mulass 11039  ax-distr 11040  ax-i2m1 11041  ax-1ne0 11042  ax-1rid 11043  ax-rnegex 11044  ax-rrecex 11045  ax-cnre 11046  ax-pre-lttri 11047  ax-pre-lttrn 11048  ax-pre-ltadd 11049  ax-pre-mulgt0 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-tpos 8113  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-sdom 8808  df-pnf 11113  df-mnf 11114  df-xr 11115  df-ltxr 11116  df-le 11117  df-sub 11309  df-neg 11310  df-nn 12076  df-2 12138  df-3 12139  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-0g 17250  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-grp 18677  df-minusg 18678  df-sbg 18679  df-cmn 19484  df-abl 19485  df-mgp 19817  df-ur 19834  df-ring 19881  df-oppr 19958  df-dvdsr 19979  df-unit 19980  df-invr 20010  df-drng 20096  df-lmod 20232  df-lss 20301  df-lsp 20341  df-lvec 20472  df-lsatoms 37294

This theorem is referenced by:  lsatelbN  37324  lsat2el  37325  dihpN  39655  dochsnkr  39791  lcfrlem25  39886  lcfrlem35  39896  mapdpglem20  40010