Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatel 35164
Description: A nonzero vector in an atom determines the atom. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatel.o 0 = (0g𝑊)
lsatel.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatel.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
lsatel.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsatel.u (𝜑𝑈𝐴)
lsatel.x (𝜑𝑋𝑈)
lsatel.e (𝜑𝑋0 )
Assertion
Ref Expression
lsatel (𝜑𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lsatel
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
2 lsatel.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
3 lsatel.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19505 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
6 lsatel.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
7 lsatel.u . . . . 5 (𝜑𝑈𝐴)
81, 6, 5, 7lsatlssel 35156 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 lsatel.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
101, 2, 5, 8, 9lspsnel5a 19395 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
11 eqid 2778 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
1211, 1lssel 19334 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
138, 9, 12syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
14 lsatel.e . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
15 lsatel.o . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
1611, 2, 15, 6lsatlspsn2 35151 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
175, 13, 14, 16syl3anc 1439 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
186, 3, 17, 7lsatcmp 35162 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈 ↔ (𝑁‘{𝑋}) = 𝑈))
1910, 18mpbid 224 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) = 𝑈)
2019eqcomd 2784 1 (𝜑𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wss 3792  {csn 4398  cfv 6137  Basecbs 16259  0gc0g 16490  LModclmod 19259  LSubSpclss 19328  LSpanclspn 19370  LVecclvec 19501  LSAtomsclsa 35133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-0g 16492  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-grp 17816  df-minusg 17817  df-sbg 17818  df-cmn 18585  df-abl 18586  df-mgp 18881  df-ur 18893  df-ring 18940  df-oppr 19014  df-dvdsr 19032  df-unit 19033  df-invr 19063  df-drng 19145  df-lmod 19261  df-lss 19329  df-lsp 19371  df-lvec 19502  df-lsatoms 35135
This theorem is referenced by:  lsatelbN  35165  lsat2el  35166  dihpN  37495  dochsnkr  37631  lcfrlem25  37726  lcfrlem35  37736  mapdpglem20  37850
  Copyright terms: Public domain W3C validator