Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltnltne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltnltne 46517
Description: Variant of trichotomy law for 'less than'. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ltnltne ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴)))

Proof of Theorem ltnltne
StepHypRef Expression
1 ltnle 11291 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
2 leloe 11298 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 < 𝐴𝐵 = 𝐴)))
32ancoms 458 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵 < 𝐴𝐵 = 𝐴)))
43notbid 318 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ (𝐵 < 𝐴𝐵 = 𝐴)))
5 ioran 980 . . 3 (¬ (𝐵 < 𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
65a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐵 < 𝐴𝐵 = 𝐴) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴)))
71, 4, 63bitrd 305 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5139  cr 11106   < clt 11246  cle 11247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator