Theorem ltnle 11260

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem ltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlt 11259	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
3	2	con2bid 354	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ℝcr 11074   < clt 11215   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5111  df-opab 5173  df-xp 5647  df-cnv 5649  df-xr 11219  df-le 11221

This theorem is referenced by:  letric  11281  ltnled  11328  leaddsub  11661  mulge0b  12060  nnnle0  12226  nn0n0n1ge2b  12518  znnnlt1  12567  uzwo  12877  qsqueeze  13168  difreicc  13452  fzp1disj  13551  fzneuz  13576  fznuz  13577  uznfz  13578  difelfznle  13610  nelfzo  13632  ssfzoulel  13728  elfzonelfzo  13737  modfzo0difsn  13915  ssnn0fi  13957  discr1  14211  bcval5  14290  swrdnd  14626  swrdnnn0nd  14628  swrdnd0  14629  swrdsbslen  14636  swrdspsleq  14637  pfxnd0  14660  pfxccat3  14706  swrdccat  14707  pfxccat3a  14710  repswswrd  14756  cnpart  15213  absmax  15303  rlimrege0  15552  rpnnen2lem12  16200  alzdvds  16297  algcvgblem  16554  prmndvdsfaclt  16702  pcprendvds  16818  pcdvdsb  16847  pcmpt  16870  prmunb  16892  prmreclem2  16895  prmgaplem5  17033  prmgaplem6  17034  prmlem1  17085  prmlem2  17097  lt6abl  19832  metdseq0  24750  xrhmeo  24851  ovolicc2lem3  25427  itg2seq  25650  dvne0  25923  coeeulem  26136  radcnvlt1  26334  argimgt0  26528  cxple2  26613  ressatans  26851  eldmgm  26939  basellem2  26999  issqf  27053  bpos1  27201  bposlem3  27204  bposlem6  27207  2sqreulem1  27364  2sqreunnlem1  27367  pntpbnd2  27505  ostth2lem4  27554  crctcshwlkn0  29758  crctcsh  29761  eucrctshift  30179  ltflcei  37609  poimirlem4  37625  poimirlem13  37634  poimirlem14  37635  poimirlem15  37636  poimirlem31  37652  mblfinlem1  37658  mbfposadd  37668  itgaddnclem2  37680  ftc1anclem1  37694  ftc1anclem5  37698  dvasin  37705  reabsifnpos  43629  reabsifnneg  43631  icccncfext  45892  stoweidlem14  46019  stoweidlem34  46039  ltnltne  47304  nnsum4primeseven  47805  nnsum4primesevenALTV  47806  ply1mulgsumlem2  48380