Theorem ltnle 11289

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem ltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlt 11288	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	ancoms 459	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
3	2	con2bid 354	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ℝcr 11105   < clt 11244   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-cnv 5683  df-xr 11248  df-le 11250

This theorem is referenced by:  letric  11310  ltnled  11357  leaddsub  11686  mulge0b  12080  nnnle0  12241  nn0n0n1ge2b  12536  znnnlt1  12585  uzwo  12891  qsqueeze  13176  difreicc  13457  fzp1disj  13556  fzneuz  13578  fznuz  13579  uznfz  13580  difelfznle  13611  nelfzo  13633  ssfzoulel  13722  elfzonelfzo  13730  modfzo0difsn  13904  ssnn0fi  13946  discr1  14198  bcval5  14274  swrdnd  14600  swrdnnn0nd  14602  swrdnd0  14603  swrdsbslen  14610  swrdspsleq  14611  pfxnd0  14634  pfxccat3  14680  swrdccat  14681  pfxccat3a  14684  repswswrd  14730  cnpart  15183  absmax  15272  rlimrege0  15519  rpnnen2lem12  16164  alzdvds  16259  algcvgblem  16510  prmndvdsfaclt  16658  pcprendvds  16769  pcdvdsb  16798  pcmpt  16821  prmunb  16843  prmreclem2  16846  prmgaplem5  16984  prmgaplem6  16985  prmlem1  17037  prmlem2  17049  lt6abl  19757  metdseq0  24361  xrhmeo  24453  ovolicc2lem3  25027  itg2seq  25251  dvne0  25519  coeeulem  25729  radcnvlt1  25921  argimgt0  26111  cxple2  26196  ressatans  26428  eldmgm  26515  basellem2  26575  issqf  26629  bpos1  26775  bposlem3  26778  bposlem6  26781  2sqreulem1  26938  2sqreunnlem1  26941  pntpbnd2  27079  ostth2lem4  27128  crctcshwlkn0  29064  crctcsh  29067  eucrctshift  29485  ltflcei  36464  poimirlem4  36480  poimirlem13  36489  poimirlem14  36490  poimirlem15  36491  poimirlem31  36507  mblfinlem1  36513  mbfposadd  36523  itgaddnclem2  36535  ftc1anclem1  36549  ftc1anclem5  36553  dvasin  36560  reabsifnpos  42369  reabsifnneg  42371  icccncfext  44589  stoweidlem14  44716  stoweidlem34  44736  ltnltne  45993  nnsum4primeseven  46454  nnsum4primesevenALTV  46455  ply1mulgsumlem2  47021