Theorem ltnle 11192

Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltnle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem ltnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlt 11191	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
2	1	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
3	2	con2bid 354	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≤ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ℝcr 11005   < clt 11146   ≤ cle 11147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-cnv 5622  df-xr 11150  df-le 11152

This theorem is referenced by:  letric  11213  ltnled  11260  leaddsub  11593  mulge0b  11992  nnnle0  12158  nn0n0n1ge2b  12450  znnnlt1  12499  uzwo  12809  qsqueeze  13100  difreicc  13384  fzp1disj  13483  fzneuz  13508  fznuz  13509  uznfz  13510  difelfznle  13542  nelfzo  13564  ssfzoulel  13660  elfzonelfzo  13669  modfzo0difsn  13850  ssnn0fi  13892  discr1  14146  bcval5  14225  swrdnd  14562  swrdnnn0nd  14564  swrdnd0  14565  swrdsbslen  14572  swrdspsleq  14573  pfxnd0  14596  pfxccat3  14641  swrdccat  14642  pfxccat3a  14645  repswswrd  14691  cnpart  15147  absmax  15237  rlimrege0  15486  rpnnen2lem12  16134  alzdvds  16231  algcvgblem  16488  prmndvdsfaclt  16636  pcprendvds  16752  pcdvdsb  16781  pcmpt  16804  prmunb  16826  prmreclem2  16829  prmgaplem5  16967  prmgaplem6  16968  prmlem1  17019  prmlem2  17031  lt6abl  19807  metdseq0  24770  xrhmeo  24871  ovolicc2lem3  25447  itg2seq  25670  dvne0  25943  coeeulem  26156  radcnvlt1  26354  argimgt0  26548  cxple2  26633  ressatans  26871  eldmgm  26959  basellem2  27019  issqf  27073  bpos1  27221  bposlem3  27224  bposlem6  27227  2sqreulem1  27384  2sqreunnlem1  27387  pntpbnd2  27525  ostth2lem4  27574  crctcshwlkn0  29799  crctcsh  29802  eucrctshift  30223  ltflcei  37658  poimirlem4  37674  poimirlem13  37683  poimirlem14  37684  poimirlem15  37685  poimirlem31  37701  mblfinlem1  37707  mbfposadd  37717  itgaddnclem2  37729  ftc1anclem1  37743  ftc1anclem5  37747  dvasin  37754  reabsifnpos  43736  reabsifnneg  43738  icccncfext  45995  stoweidlem14  46122  stoweidlem34  46142  ltnltne  47409  nnsum4primeseven  47910  nnsum4primesevenALTV  47911  ply1mulgsumlem2  48498