Theorem leloe 11284

Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
leloe	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloe

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlt 11276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2		axlttri 11269	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
3	2	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵)))
4	3	con2bid 357	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5		eqcom 2772	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 ↔ 𝐴 = 𝐵)
6	5	orbi1i 926	. . . 4 ⊢ ((𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 < 𝐵))
7		orcom 883	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
8	6, 7	bitri 278	. . 3 ⊢ ((𝐵 = 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
9	4, 8	bitr3di 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
10	1, 9	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  ℝcr 11087   < clt 11231   ≤ cle 11232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-pre-lttri 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237

This theorem is referenced by:  ltle  11286  leltne  11287  lelttr  11288  ltletr  11290  letr  11292  leid  11294  ltlen  11299  leloei  11315  leloed  11341  lemul1  12055  lemul1a  12057  squeeze0  12106  sup3  12160  nn0ge0  12517  nn0sub  12542  elnn0z  12592  xlemul1a  13302  modfzo0difsn  13967  om2uzlti  13974  om2uzlt2i  13975  sqlecan  14233  discr  14264  facdiv  14311  facwordi  14313  resqrex  15289  sqrt2irr  16293  lcmf  16679  ge2nprmge4  16748  efgsfo  19797  efgred  19806  itg2mulc  25863  itgabs  25951  dgrlt  26380  sinq12ge0  26627  sineq0  26643  cxpge0  26802  cxplea  26815  cxple2  26816  cxple2a  26818  cxpcn3lem  26866  cxpcn3  26867  cxpaddlelem  26870  cxpaddle  26871  ang180lem3  26930  atanlogaddlem  27032  rlimcnp2  27085  jensen  27107  amgm  27109  htthlem  31174  hiidge0  31355  staddi  32503  stadd3i  32505  2exple2exp  33086  poimirlem28  38154  itgaddnclem2  38185  itgabsnc  38195  sn-sup3d  43121  pellfund14gap  43471  sineq0ALT  45504  icccncfext  46460  ltnltne  47892  iccpartnel  48043  nprmmul3  48134  odz2prm2pw  48171  evenltle  48338  gbowge7  48384  bgoldbtbndlem1  48426  elfzolborelfzop1  49151