MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leloe 11246
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
leloe ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloe
StepHypRef Expression
1 lenlt 11238 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2 axlttri 11231 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
32ancoms 460 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
43con2bid 355 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5 eqcom 2740 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
65orbi1i 913 . . . 4 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵))
7 orcom 869 . . . 4 ((𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
86, 7bitri 275 . . 3 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
94, 8bitr3di 286 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
101, 9bitrd 279 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  cr 11055   < clt 11194  cle 11195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200
This theorem is referenced by:  ltle  11248  leltne  11249  lelttr  11250  ltletr  11252  letr  11254  leid  11256  ltlen  11261  leloei  11277  leloed  11303  lemul1  12012  lemul1a  12014  squeeze0  12063  sup3  12117  nn0ge0  12443  nn0sub  12468  elnn0z  12517  xlemul1a  13213  modfzo0difsn  13854  om2uzlti  13861  om2uzlt2i  13862  sqlecan  14119  discr  14149  facdiv  14193  facwordi  14195  resqrex  15141  sqrt2irr  16136  lcmf  16514  ge2nprmge4  16582  efgsfo  19526  efgred  19535  itg2mulc  25128  itgabs  25215  dgrlt  25643  sinq12ge0  25881  sineq0  25896  cxpge0  26054  cxplea  26067  cxple2  26068  cxple2a  26070  cxpcn3lem  26116  cxpcn3  26117  cxpaddlelem  26120  cxpaddle  26121  ang180lem3  26177  atanlogaddlem  26279  rlimcnp2  26332  jensen  26354  amgm  26356  htthlem  29901  hiidge0  30082  staddi  31230  stadd3i  31232  poimirlem28  36152  itgaddnclem2  36183  itgabsnc  36193  pellfund14gap  41253  sineq0ALT  43307  icccncfext  44214  ltnltne  45617  iccpartnel  45716  odz2prm2pw  45841  evenltle  45995  gbowge7  46041  bgoldbtbndlem1  46083  elfzolborelfzop1  46686
  Copyright terms: Public domain W3C validator