MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leloe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leloe 10716
Description: 'Less than or equal to' expressed in terms of 'less than' or 'equals'. (Contributed by NM, 13-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
leloe ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem leloe
StepHypRef Expression
1 lenlt 10708 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
2 axlttri 10701 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
32ancoms 462 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ (𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵)))
43con2bid 358 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
5 eqcom 2805 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴𝐴 = 𝐵)
65orbi1i 911 . . . 4 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵))
7 orcom 867 . . . 4 ((𝐴 = 𝐵𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
86, 7bitri 278 . . 3 ((𝐵 = 𝐴𝐴 < 𝐵) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
94, 8bitr3di 289 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
101, 9bitrd 282 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cr 10525   < clt 10664  cle 10665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670
This theorem is referenced by:  ltle  10718  leltne  10719  lelttr  10720  ltletr  10721  letr  10723  leid  10725  ltlen  10730  leloei  10746  leloed  10772  lemul1  11481  lemul1a  11483  squeeze0  11532  sup3  11585  nn0ge0  11910  nn0sub  11935  elnn0z  11982  xlemul1a  12669  modfzo0difsn  13306  om2uzlti  13313  om2uzlt2i  13314  sqlecan  13567  discr  13597  facdiv  13643  facwordi  13645  resqrex  14602  sqrt2irr  15594  lcmf  15967  ge2nprmge4  16035  efgsfo  18857  efgred  18866  itg2mulc  24351  itgabs  24438  dgrlt  24863  sinq12ge0  25101  sineq0  25116  cxpge0  25274  cxplea  25287  cxple2  25288  cxple2a  25290  cxpcn3lem  25336  cxpcn3  25337  cxpaddlelem  25340  cxpaddle  25341  ang180lem3  25397  atanlogaddlem  25499  rlimcnp2  25552  jensen  25574  amgm  25576  htthlem  28700  hiidge0  28881  staddi  30029  stadd3i  30031  poimirlem28  35082  itgaddnclem2  35113  itgabsnc  35123  pellfund14gap  39823  sineq0ALT  41638  icccncfext  42524  ltnltne  43851  iccpartnel  43950  odz2prm2pw  44075  evenltle  44230  gbowge7  44276  bgoldbtbndlem1  44318  elfzolborelfzop1  44923
  Copyright terms: Public domain W3C validator