Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2leaddle2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2leaddle2 45683
Description: If two real numbers are less than a third real number, the sum of the real numbers is less than twice the third real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
2leaddle2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (2 ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem 2leaddle2
StepHypRef Expression
1 readdcl 11158 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
213adant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„)
3 readdcl 11158 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ + ๐ถ) โˆˆ โ„)
43anidms 567 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (๐ถ + ๐ถ) โˆˆ โ„)
543ad2ant3 1135 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ + ๐ถ) โˆˆ โ„)
6 2re 12251 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„
7 remulcl 11160 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
86, 7mpan 688 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
983ad2ant3 1135 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
102, 5, 93jca 1128 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„))
1110adantr 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„))
12 id 22 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
13123adant3 1132 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„))
14 id 22 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
1514, 14jca 512 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„))
16153ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„))
1713, 16jca 512 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)))
1817adantr 481 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)))
19 simpr 485 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ))
20 lt2add 11664 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ถ)))
2118, 19, 20sylc 65 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ถ))
22 recn 11165 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
23222timesd 12420 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (2 ยท ๐ถ) = (๐ถ + ๐ถ))
248leidd 11745 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (2 ยท ๐ถ) โ‰ค (2 ยท ๐ถ))
2523, 24eqbrtrrd 5149 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ (๐ถ + ๐ถ) โ‰ค (2 ยท ๐ถ))
26253ad2ant3 1135 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ + ๐ถ) โ‰ค (2 ยท ๐ถ))
2726adantr 481 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ถ + ๐ถ) โ‰ค (2 ยท ๐ถ))
2821, 27jca 512 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ถ) โˆง (๐ถ + ๐ถ) โ‰ค (2 ยท ๐ถ)))
29 ltletr 11271 . . 3 (((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ + ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐ถ) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ถ) โˆง (๐ถ + ๐ถ) โ‰ค (2 ยท ๐ถ)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (2 ยท ๐ถ)))
3011, 28, 29sylc 65 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โˆง (๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ)) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (2 ยท ๐ถ))
3130ex 413 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ถ) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (2 ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5125  (class class class)co 7377  โ„cr 11074   + caddc 11078   ยท cmul 11080   < clt 11213   โ‰ค cle 11214  2c2 12232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-po 5565  df-so 5566  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7380  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-2 12240
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator