Theorem 2leaddle2 47422

Description: If two real numbers are less than a third real number, the sum of the real numbers is less than twice the third real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2leaddle2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶)))

Proof of Theorem 2leaddle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 11096	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
3		readdcl 11096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ)
6		2re 12206	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		remulcl 11098	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
8	6, 7	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
10	2, 5, 9	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ))
12		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
13	12	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
14		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ)
15	14, 14	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
17	13, 16	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)))
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶))
20		lt2add 11609	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶)))
21	18, 19, 20	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶))
22		recn 11103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
23	22	2timesd 12371	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (2 · 𝐶) = (𝐶 + 𝐶))
24	8	leidd 11690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (2 · 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
25	23, 24	eqbrtrrd 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
26	25	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
28	21, 27	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶) ∧ (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶)))
29		ltletr 11212	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶) ∧ (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶)))
30	11, 28, 29	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶))
31	30	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  (class class class)co 7352  ℝcr 11012   + caddc 11016   · cmul 11018   < clt 11153   ≤ cle 11154  2c2 12187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-2 12195

This theorem is referenced by: (None)