Theorem 2leaddle2 47294

Description: If two real numbers are less than a third real number, the sum of the real numbers is less than twice the third real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2leaddle2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶)))

Proof of Theorem 2leaddle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 11217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
3		readdcl 11217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	anidms 566	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ)
6		2re 12319	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		remulcl 11219	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
8	6, 7	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
10	2, 5, 9	3jca 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ))
12		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
13	12	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
14		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ)
15	14, 14	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
16	15	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
17	13, 16	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)))
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶))
20		lt2add 11727	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶)))
21	18, 19, 20	sylc 65	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶))
22		recn 11224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
23	22	2timesd 12489	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (2 · 𝐶) = (𝐶 + 𝐶))
24	8	leidd 11808	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (2 · 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
25	23, 24	eqbrtrrd 5148	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
26	25	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
27	26	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
28	21, 27	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶) ∧ (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶)))
29		ltletr 11332	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶) ∧ (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶)))
30	11, 28, 29	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶))
31	30	ex 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275  2c2 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-2 12308

This theorem is referenced by: (None)