Theorem 2leaddle2 48573

Description: If two real numbers are less than a third real number, the sum of the real numbers is less than twice the third real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
2leaddle2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶)))

Proof of Theorem 2leaddle2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 11310	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
3		readdcl 11310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ)
4	3	anidms 577	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ)
6		2re 12444	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
7		remulcl 11312	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
8	6, 7	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 · 𝐶) ∈ ℝ)
10	2, 5, 9	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ))
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ))
12		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
13	12	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
14		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ)
15	14, 14	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
16	15	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
17	13, 16	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)))
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)))
19		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶))
20		lt2add 11828	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶)))
21	18, 19, 20	sylc 66	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶))
22		recn 11317	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
23	22	2timesd 12616	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (2 · 𝐶) = (𝐶 + 𝐶))
24	8	leidd 11909	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (2 · 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
25	23, 24	eqbrtrrd 5132	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
26	25	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
27	26	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶))
28	21, 27	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶) ∧ (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶)))
29		ltletr 11429	. . 3 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℝ) → (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐶) ∧ (𝐶 + 𝐶) ≤ (2 · 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶)))
30	11, 28, 29	sylc 66	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶))
31	30	ex 418	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐶) → (𝐴 + 𝐵) < (2 · 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   ≤ cle 11371  2c2 12424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-2 12432

This theorem is used by: (None)