Theorem ltrncnvleN 40718

Description: Less-than or equal property of lattice translation converse. (Contributed by NM, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnle.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnle.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncnvleN	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem ltrncnvleN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1210	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
2		ltrnle.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ltrnle.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrnlaut 40711	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6	5	3adant3 1144	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7		simp3 1150	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
8		ltrnle.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		ltrnle.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10	8, 9, 3	lautcnvle 40677	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))
11	1, 6, 7, 10	syl21anc 848	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ^◡ccnv 5644  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  lecple 17276  LHypclh 40572  LAutclaut 40573  LTrncltrn 40689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-map 8805  df-laut 40577  df-ldil 40692  df-ltrn 40693

This theorem is referenced by: (None)