Theorem ltrncnvleN 40576

Description: Less-than or equal property of lattice translation converse. (Contributed by NM, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnle.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnle.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrncnvleN	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem ltrncnvleN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1199	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
2		ltrnle.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ltrnle.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrnlaut 40569	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6	5	3adant3 1133	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7		simp3 1139	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
8		ltrnle.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
9		ltrnle.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10	8, 9, 3	lautcnvle 40535	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))
11	1, 6, 7, 10	syl21anc 838	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (◡𝐹‘𝑋) ≤ (◡𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ^◡ccnv 5630  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  lecple 17227  LHypclh 40430  LAutclaut 40431  LTrncltrn 40547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775  df-laut 40435  df-ldil 40550  df-ltrn 40551

This theorem is referenced by: (None)