Theorem ltrnle 40853

Description: Less-than or equal property of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnle.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrnle.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnle.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnle	⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem ltrnle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1214	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
2		ltrnle.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
4		ltrnle.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5	2, 3, 4	ltrnlaut 40847	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
6	5	3adant3 1148	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7		simp3l 1218	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simp3r 1219	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		ltrnle.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		ltrnle.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	9, 10, 3	lautle 40808	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌)))
12	1, 6, 7, 8, 11	syl22anc 851	1 ⊢ (((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝐹‘𝑋) ≤ (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  Basecbs 17272  lecple 17320  LHypclh 40708  LAutclaut 40709  LTrncltrn 40825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8829  df-laut 40713  df-ldil 40828  df-ltrn 40829

This theorem is referenced by:  ltrnel  40863  ltrncnvel  40866  cdlemc2  40916  cdlemg17h  41392