Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnm 39830
Description: Lattice translation of a meet. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnm.m = (meet‘𝐾)
ltrnm.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnm.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnm (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem ltrnm
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 39062 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 ltrnm.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 eqid 2726 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
5 ltrnm.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5ltrnlaut 39822 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
763adant3 1129 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
8 simp3l 1198 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
9 simp3r 1199 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
10 ltrnm.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
11 ltrnm.m . . 3 = (meet‘𝐾)
1210, 11, 4lautm 39793 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
132, 7, 8, 9, 12syl13anc 1369 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  meetcmee 18337  Latclat 18456  HLchlt 39048  LHypclh 39683  LAutclaut 39684  LTrncltrn 39800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8857  df-proset 18320  df-poset 18338  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-lat 18457  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-laut 39688  df-ldil 39803  df-ltrn 39804
This theorem is referenced by:  cdlemd2  39898  cdlemg17  40376
  Copyright terms: Public domain W3C validator