Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrnm 38141
Description: Lattice translation of a meet. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnm.m = (meet‘𝐾)
ltrnm.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnm.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ltrnm (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem ltrnm
StepHypRef Expression
1 simp1l 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 37374 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3 ltrnm.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 eqid 2740 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
5 ltrnm.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
63, 4, 5ltrnlaut 38133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
763adant3 1131 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
8 simp3l 1200 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
9 simp3r 1201 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
10 ltrnm.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
11 ltrnm.m . . 3 = (meet‘𝐾)
1210, 11, 4lautm 38104 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
132, 7, 8, 9, 12syl13anc 1371 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = ((𝐹𝑋) (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  meetcmee 18028  Latclat 18147  HLchlt 37360  LHypclh 37994  LAutclaut 37995  LTrncltrn 38111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-map 8600  df-proset 18011  df-poset 18029  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-lat 18148  df-atl 37308  df-cvlat 37332  df-hlat 37361  df-laut 37999  df-ldil 38114  df-ltrn 38115
This theorem is referenced by:  cdlemd2  38209  cdlemg17  38687
  Copyright terms: Public domain W3C validator