Theorem ltrnm 39830

Description: Lattice translation of a meet. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrnm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrnm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
ltrnm.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrnm.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrnm	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem ltrnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1194	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 39062	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		ltrnm.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
5		ltrnm.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	3, 4, 5	ltrnlaut 39822	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
7	6	3adant3 1129	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (LAut‘𝐾))
8		simp3l 1198	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		simp3r 1199	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10		ltrnm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
11		ltrnm.m	. . 3 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
12	10, 11, 4	lautm 39793	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ (LAut‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
13	2, 7, 8, 9, 12	syl13anc 1369	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  meetcmee 18337  Latclat 18456  HLchlt 39048  LHypclh 39683  LAutclaut 39684  LTrncltrn 39800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8857  df-proset 18320  df-poset 18338  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-lat 18457  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-laut 39688  df-ldil 39803  df-ltrn 39804

This theorem is referenced by:  cdlemd2  39898  cdlemg17  40376