MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubeu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubeu 18413
Description: Unique existence proper of a member of the domain of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubval.l = (le‘𝐾)
lubval.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubval.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
lubval.k (𝜑𝐾𝑉)
lubeleu.s (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lubeu (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 𝜓)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝑦,𝐾,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧)   (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lubeu
StepHypRef Expression
1 lubeleu.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
2 lubval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 lubval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
4 lubval.u . . . 4 𝑈 = (lub‘𝐾)
5 lubval.p . . . 4 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
6 lubval.k . . . 4 (𝜑𝐾𝑉)
72, 3, 4, 5, 6lubeldm 18411 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)))
81, 7mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
98simprd 495 1 (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  ∃!wreu 3376  wss 3963   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  lubclub 18367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-lub 18404
This theorem is referenced by:  lubval  18414  lubcl  18415  lubprop  18416  joineu  18440
  Copyright terms: Public domain W3C validator