MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubcl 18415
Description: The least upper bound function value belongs to the base set. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubcl.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubcl.k (𝜑𝐾𝑉)
lubcl.s (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lubcl (𝜑 → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lubcl
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2735 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 lubcl.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 biid 261 . . 3 ((∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
5 lubcl.k . . 3 (𝜑𝐾𝑉)
6 lubcl.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
71, 2, 3, 5, 6lubelss 18412 . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 7lubval 18414 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
91, 2, 3, 4, 5, 6lubeu 18413 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
10 riotacl 7405 . . 3 (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ∈ 𝐵)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ∈ 𝐵)
128, 11eqeltrd 2839 1 (𝜑 → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  ∃!wreu 3376   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cfv 6563  crio 7387  Basecbs 17245  lecple 17305  lubclub 18367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-lub 18404
This theorem is referenced by:  lubprop  18416  joincl  18436  clatlem  18560  op1cl  39167
  Copyright terms: Public domain W3C validator