MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubcl 18402
Description: The least upper bound function value belongs to the base set. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubcl.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubcl.k (𝜑𝐾𝑉)
lubcl.s (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lubcl (𝜑 → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lubcl
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2737 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 lubcl.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 biid 261 . . 3 ((∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
5 lubcl.k . . 3 (𝜑𝐾𝑉)
6 lubcl.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈)
71, 2, 3, 5, 6lubelss 18399 . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 7lubval 18401 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑆) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
91, 2, 3, 4, 5, 6lubeu 18400 . . 3 (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
10 riotacl 7405 . . 3 (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ∈ 𝐵)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ∈ 𝐵)
128, 11eqeltrd 2841 1 (𝜑 → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  ∃!wreu 3378   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cfv 6561  crio 7387  Basecbs 17247  lecple 17304  lubclub 18355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-lub 18391
This theorem is referenced by:  lubprop  18403  joincl  18423  clatlem  18547  op1cl  39186
  Copyright terms: Public domain W3C validator