Theorem lubcl 18372

Description: The least upper bound function value belongs to the base set. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubcl.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
lubcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lubcl	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lubcl

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		lubcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		biid 261	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
5		lubcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
6		lubcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
7	1, 2, 3, 5, 6	lubelss 18369	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	lubval 18371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	lubeu 18370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
10		riotacl 7384	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ∈ 𝐵)
12	8, 11	eqeltrd 2835	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃!wreu 3362   class class class wbr 5124  dom cdm 5659  ‘cfv 6536  ℩crio 7366  Basecbs 17233  lecple 17283  lubclub 18326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-lub 18361

This theorem is referenced by:  lubprop  18373  joincl  18393  clatlem  18517  op1cl  39208