Theorem lubcl 18253

Description: The least upper bound function value belongs to the base set. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubcl.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
lubcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lubcl	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lubcl

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		lubcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		biid 261	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
5		lubcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
6		lubcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
7	1, 2, 3, 5, 6	lubelss 18250	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	lubval 18252	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	lubeu 18251	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
10		riotacl 7315	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ∈ 𝐵)
12	8, 11	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045  ∃!wreu 3342   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ‘cfv 6477  ℩crio 7297  Basecbs 17112  lecple 17160  lubclub 18207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-lub 18242

This theorem is referenced by:  lubprop  18254  joincl  18274  clatlem  18400  op1cl  39203