Theorem lubcl 18271

Description: The least upper bound function value belongs to the base set. (Contributed by NM, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubcl.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
lubcl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lubcl	⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem lubcl

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		lubcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		biid 261	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
5		lubcl.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
6		lubcl.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
7	1, 2, 3, 5, 6	lubelss 18268	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	lubval 18270	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6	lubeu 18269	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
10		riotacl 7329	. . 3 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) ∈ 𝐵)
12	8, 11	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  ∃!wreu 3346   class class class wbr 5095  dom cdm 5621  ‘cfv 6489  ℩crio 7311  Basecbs 17130  lecple 17178  lubclub 18225

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-lub 18260

This theorem is referenced by:  lubprop  18272  joincl  18292  clatlem  18418  op1cl  39294