MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubval 18253
Description: Value of the least upper bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) are allowed for convenience, evaluating to the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lubval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lubval.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
lubval.p (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
lubval.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
lubval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
lubval (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐡   π‘₯,𝑦,𝐾,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧)   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐡(𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lubval
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 lubval.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 lubval.u . . . . 5 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
4 biid 261 . . . . 5 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
5 lubval.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
65adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 4, 6lubfval 18247 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))}))
87fveq1d 6848 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))})β€˜π‘†))
9 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ)
10 lubval.p . . . . . 6 (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
111, 2, 3, 10, 6, 9lubeu 18252 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)
12 raleq 3308 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯))
13 raleq 3308 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧))
1413imbi1d 342 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
1514ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
1612, 15anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
1716, 10bitr4di 289 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ πœ“))
1817reubidv 3370 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
199, 11, 18elabd 3637 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ 𝑆 ∈ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))})
2019fvresd 6866 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))})β€˜π‘†) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))β€˜π‘†))
21 lubval.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2221adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
231fvexi 6860 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
2423elpw2 5306 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2522, 24sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
2617riotabidv 7319 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
27 eqid 2733 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
28 riotaex 7321 . . . . 5 (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6952 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))β€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
3025, 29syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))β€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
318, 20, 303eqtrd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
32 ndmfv 6881 . . . 4 (Β¬ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = βˆ…)
3332adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = βˆ…)
341, 2, 3, 10, 5lubeldm 18250 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ dom π‘ˆ ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)))
3534biimprd 248 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) β†’ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ))
3621, 35mpand 694 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“ β†’ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ))
3736con3dimp 410 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)
38 riotaund 7357 . . . 4 (Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“ β†’ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) = βˆ…)
3937, 38syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) = βˆ…)
4033, 39eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
4131, 40pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3061  βˆƒ!wreu 3350   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  β„©crio 7316  Basecbs 17091  lecple 17148  lubclub 18206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-lub 18243
This theorem is referenced by:  lubcl  18254  lubprop  18255  lubid  18259  joinval2  18278  poslubd  18310  lubun  18412  toslub  31889  lub0N  37701  glbconN  37889  glbconNOLD  37890
  Copyright terms: Public domain W3C validator