MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubval 18309
Description: Value of the least upper bound function of a poset. Out-of-domain arguments (those not satisfying 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) are allowed for convenience, evaluating to the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 9-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lubval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lubval.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
lubval.p (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
lubval.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
lubval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
Assertion
Ref Expression
lubval (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑧,𝐡   π‘₯,𝑦,𝐾,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧)   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝐡(𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lubval
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 lubval.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 lubval.u . . . . 5 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
4 biid 261 . . . . 5 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
5 lubval.k . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
65adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 4, 6lubfval 18303 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))}))
87fveq1d 6894 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))})β€˜π‘†))
9 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ)
10 lubval.p . . . . . 6 (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
111, 2, 3, 10, 6, 9lubeu 18308 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)
12 raleq 3323 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯))
13 raleq 3323 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧))
1413imbi1d 342 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
1514ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
1612, 15anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
1716, 10bitr4di 289 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ πœ“))
1817reubidv 3395 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
199, 11, 18elabd 3672 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ 𝑆 ∈ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))})
2019fvresd 6912 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ (((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))})β€˜π‘†) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))β€˜π‘†))
21 lubval.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2221adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
231fvexi 6906 . . . . . 6 𝐡 ∈ V
2423elpw2 5346 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑆 βŠ† 𝐡)
2522, 24sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
2617riotabidv 7367 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
27 eqid 2733 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
28 riotaex 7369 . . . . 5 (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) ∈ V
2926, 27, 28fvmpt 6999 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))β€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
3025, 29syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))β€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
318, 20, 303eqtrd 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
32 ndmfv 6927 . . . 4 (Β¬ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = βˆ…)
3332adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = βˆ…)
341, 2, 3, 10, 5lubeldm 18306 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ dom π‘ˆ ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)))
3534biimprd 247 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) β†’ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ))
3621, 35mpand 694 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“ β†’ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ))
3736con3dimp 410 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)
38 riotaund 7405 . . . 4 (Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“ β†’ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) = βˆ…)
3937, 38syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) = βˆ…)
4033, 39eqtr4d 2776 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
4131, 40pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  βˆƒ!wreu 3375   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  Basecbs 17144  lecple 17204  lubclub 18262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-lub 18299
This theorem is referenced by:  lubcl  18310  lubprop  18311  lubid  18315  joinval2  18334  poslubd  18366  lubun  18468  toslub  32143  lub0N  38059  glbconN  38247  glbconNOLD  38248
  Copyright terms: Public domain W3C validator