MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubprop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubprop 18173
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.) (Revised by NM, 7-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubprop.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lubprop.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lubprop.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
lubprop.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
lubprop.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
lubprop (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) ≀ 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐡   𝑦,𝑧,𝐾   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦, ≀   𝑦,π‘ˆ,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦,𝑧)   𝐡(𝑦)   ≀ (𝑧)   𝑉(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lubprop
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubprop.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 lubprop.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 lubprop.u . . . 4 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
4 biid 260 . . . 4 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
5 lubprop.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
6 lubprop.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ dom π‘ˆ)
71, 2, 3, 5, 6lubelss 18169 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
81, 2, 3, 4, 5, 7lubval 18171 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
98eqcomd 2742 . 2 (πœ‘ β†’ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))) = (π‘ˆβ€˜π‘†))
101, 3, 5, 6lubcl 18172 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) ∈ 𝐡)
111, 2, 3, 4, 5, 6lubeu 18170 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
12 breq2 5096 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘†) β†’ (𝑦 ≀ π‘₯ ↔ 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†)))
1312ralbidv 3170 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘†) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†)))
14 breq1 5095 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘†) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ (π‘ˆβ€˜π‘†) ≀ 𝑧))
1514imbi2d 340 . . . . . 6 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘†) β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) ≀ 𝑧)))
1615ralbidv 3170 . . . . 5 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘†) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) ≀ 𝑧)))
1713, 16anbi12d 631 . . . 4 (π‘₯ = (π‘ˆβ€˜π‘†) β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) ≀ 𝑧))))
1817riota2 7319 . . 3 (((π‘ˆβ€˜π‘†) ∈ 𝐡 ∧ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))) β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) ≀ 𝑧)) ↔ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))) = (π‘ˆβ€˜π‘†)))
1910, 11, 18syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) ≀ 𝑧)) ↔ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))) = (π‘ˆβ€˜π‘†)))
209, 19mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) ≀ 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3061  βˆƒ!wreu 3347   class class class wbr 5092  dom cdm 5620  β€˜cfv 6479  β„©crio 7292  Basecbs 17009  lecple 17066  lubclub 18124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-lub 18161
This theorem is referenced by:  luble  18174  lublem  18325
  Copyright terms: Public domain W3C validator