Theorem lubl 18557

Description: The LUB of a complete lattice subset is the least bound. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lublem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubl	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦,𝑆   𝑦,𝑈   𝑦, ≤   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem lubl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lublem.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lublem.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lublem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4	1, 2, 3	lublem 18555	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑆) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧)))
5	4	simprd 495	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧))
6		breq2 5147	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 𝑦 ≤ 𝑋))
7	6	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋))
8		breq2 5147	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧 ↔ (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋))
9	7, 8	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋)))
10	9	rspccva 3621	. 2 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋))
11	5, 10	stoic3 1776	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  lubclub 18355  CLatccla 18543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-lub 18391  df-clat 18544

This theorem is referenced by:  lubss  18558  lubun  18560