Theorem lubl 18686

Description: The LUB of a complete lattice subset is the least bound. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lublem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubl	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦,𝑆   𝑦,𝑈   𝑦, ≤   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem lubl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lublem.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lublem.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lublem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4	1, 2, 3	lublem 18684	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑆) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧)))
5	4	simprd 501	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧))
6		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 𝑦 ≤ 𝑋))
7	6	ralbidv 3185	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋))
8		breq2 5106	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧 ↔ (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋))
9	7, 8	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋)))
10	9	rspccva 3575	. 2 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋))
11	5, 10	stoic3 1808	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lecple 17435  lubclub 18483  CLatccla 18672

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-lub 18518  df-clat 18673

This theorem is used by:  lubss  18687  lubun  18689