Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubl 17721
 Description: The LUB of a complete lattice subset is the least bound. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l = (le‘𝐾)
lublem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubl ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋 → (𝑈𝑆) 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦,𝑆   𝑦,𝑈   𝑦,   𝑦,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem lubl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lublem.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lublem.l . . . 4 = (le‘𝐾)
3 lublem.u . . . 4 𝑈 = (lub‘𝐾)
41, 2, 3lublem 17719 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑆) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧)))
54simprd 499 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧))
6 breq2 5046 . . . . 5 (𝑧 = 𝑋 → (𝑦 𝑧𝑦 𝑋))
76ralbidv 3187 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋))
8 breq2 5046 . . . 4 (𝑧 = 𝑋 → ((𝑈𝑆) 𝑧 ↔ (𝑈𝑆) 𝑋))
97, 8imbi12d 348 . . 3 (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧) ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋 → (𝑈𝑆) 𝑋)))
109rspccva 3597 . 2 ((∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧) ∧ 𝑋𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋 → (𝑈𝑆) 𝑋))
115, 10stoic3 1778 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑋 → (𝑈𝑆) 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  ∀wral 3130   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5042  ‘cfv 6334  Basecbs 16474  lecple 16563  lubclub 17543  CLatccla 17708 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-lub 17575  df-clat 17709 This theorem is referenced by:  lubss  17722  lubun  17724
 Copyright terms: Public domain W3C validator