Theorem lubl 18574

Description: The LUB of a complete lattice subset is the least bound. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lublem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubl	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐾   𝑦,𝑆   𝑦,𝑈   𝑦, ≤   𝑦,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem lubl

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lublem.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lublem.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lublem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4	1, 2, 3	lublem 18572	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑆) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧)))
5	4	simprd 500	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧))
6		breq2 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑦 ≤ 𝑧 ↔ 𝑦 ≤ 𝑋))
7	6	ralbidv 3187	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋))
8		breq2 5112	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧 ↔ (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋))
9	7, 8	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋)))
10	9	rspccva 3579	. 2 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑧) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋))
11	5, 10	stoic3 1805	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑋 → (𝑈‘𝑆) ≤ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  lecple 17323  lubclub 18371  CLatccla 18560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-lub 18406  df-clat 18561

This theorem is used by:  lubss  18575  lubun  18577