Theorem lubss 18231

Description: Subset law for least upper bounds. (chsupss 29704 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lublem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubss	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝑈‘𝑆) ≤ (𝑈‘𝑇))

Proof of Theorem lubss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
2		sstr2 3928	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (𝑇 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵))
3	2	impcom 408	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	3	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5		lublem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		lublem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
7	5, 6	clatlubcl 18221	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
9	1, 4, 8	3jca 1127	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵))
10		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
11		simpl2 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
12		ssel2 3916	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑇)
13	12	3ad2antl3 1186	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑇)
14		lublem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15	5, 14, 6	lubub 18229	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇))
16	10, 11, 13, 15	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇))
17	16	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇))
18	5, 14, 6	lubl 18230	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇) → (𝑈‘𝑆) ≤ (𝑈‘𝑇)))
19	9, 17, 18	sylc 65	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝑈‘𝑆) ≤ (𝑈‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  lecple 16969  lubclub 18027  CLatccla 18216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-lub 18064  df-glb 18065  df-clat 18217

This theorem is referenced by:  lubel  18232  atlatmstc  37333  atlatle  37334  pmaple  37775  paddunN  37941  poml4N  37967