MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubss Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lubss 18466
Description: Subset law for least upper bounds. (chsupss 30595 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lublem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lublem.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lubss ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) ≀ (π‘ˆβ€˜π‘‡))
Proof of Theorem lubss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
2 sstr2 3990 . . . . 5 (𝑆 βŠ† 𝑇 β†’ (𝑇 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡))
32impcom 409 . . . 4 ((𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
433adant1 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
5 lublem.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 lublem.u . . . . 5 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
75, 6clatlubcl 18456 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‡) ∈ 𝐡)
873adant3 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘‡) ∈ 𝐡)
91, 4, 83jca 1129 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (π‘ˆβ€˜π‘‡) ∈ 𝐡))
10 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
11 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑇 βŠ† 𝐡)
12 ssel2 3978 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑇)
13123ad2antl3 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ∈ 𝑇)
14 lublem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
155, 14, 6lubub 18464 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) β†’ 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘‡))
1610, 11, 13, 15syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘‡))
1716ralrimiva 3147 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘‡))
185, 14, 6lubl 18465 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ (π‘ˆβ€˜π‘‡) ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 𝑦 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘‡) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) ≀ (π‘ˆβ€˜π‘‡)))
199, 17, 18sylc 65 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑇) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘†) ≀ (π‘ˆβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  lubclub 18262  CLatccla 18451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-lub 18299  df-glb 18300  df-clat 18452
This theorem is referenced by:  lubel  18467  atlatmstc  38189  atlatle  38190  pmaple  38632  paddunN  38798  poml4N  38824
  Copyright terms: Public domain W3C validator