Theorem lubss 18547

Description: Subset law for least upper bounds. (chsupss 31547 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lublem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubss	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝑈‘𝑆) ≤ (𝑈‘𝑇))

Proof of Theorem lubss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
2		sstr2 3945	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (𝑇 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵))
3	2	impcom 411	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	3	3adant1 1144	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5		lublem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		lublem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
7	5, 6	clatlubcl 18537	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3 1146	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
9	1, 4, 8	3jca 1142	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵))
10		simpl1 1206	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
11		simpl2 1207	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
12		ssel2 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑇)
13	12	3ad2antl3 1202	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑇)
14		lublem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15	5, 14, 6	lubub 18545	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇))
16	10, 11, 13, 15	syl3anc 1392	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇))
17	16	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇))
18	5, 14, 6	lubl 18546	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇) → (𝑈‘𝑆) ≤ (𝑈‘𝑇)))
19	9, 17, 18	sylc 65	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝑈‘𝑆) ≤ (𝑈‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∀wral 3078   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  Basecbs 17247  lecple 17295  lubclub 18343  CLatccla 18532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-lub 18378  df-glb 18379  df-clat 18533

This theorem is referenced by:  lubel  18548  atlatmstc  39948  atlatle  39949  pmaple  40390  paddunN  40556  poml4N  40582