Theorem lubss 18713

Description: Subset law for least upper bounds. (chsupss 31971 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lublem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubss	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝑈‘𝑆) ≤ (𝑈‘𝑇))

Proof of Theorem lubss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
2		sstr2 3920	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (𝑇 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵))
3	2	impcom 413	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	3	3adant1 1148	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5		lublem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		lublem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
7	5, 6	clatlubcl 18703	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
9	1, 4, 8	3jca 1146	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵))
10		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
11		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
12		ssel2 3908	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑇)
13	12	3ad2antl3 1206	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑇)
14		lublem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15	5, 14, 6	lubub 18711	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇))
16	10, 11, 13, 15	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇))
17	16	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇))
18	5, 14, 6	lubl 18712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇) → (𝑈‘𝑆) ≤ (𝑈‘𝑇)))
19	9, 17, 18	sylc 66	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝑈‘𝑆) ≤ (𝑈‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  Basecbs 17413  lecple 17461  lubclub 18509  CLatccla 18698

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-lub 18544  df-glb 18545  df-clat 18699

This theorem is used by:  lubel  18714  atlatmstc  40567  atlatle  40568  pmaple  41009  paddunN  41175  poml4N  41201