MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubss 17727
Description: Subset law for least upper bounds. (chsupss 29129 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l = (le‘𝐾)
lublem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubss ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇))

Proof of Theorem lubss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
2 sstr2 3925 . . . . 5 (𝑆𝑇 → (𝑇𝐵𝑆𝐵))
32impcom 411 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
433adant1 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
5 lublem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 lublem.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
75, 6clatlubcl 17718 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
873adant3 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
91, 4, 83jca 1125 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵))
10 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
11 simpl2 1189 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑇𝐵)
12 ssel2 3913 . . . . 5 ((𝑆𝑇𝑦𝑆) → 𝑦𝑇)
13123ad2antl3 1184 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑇)
14 lublem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
155, 14, 6lubub 17725 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑦𝑇) → 𝑦 (𝑈𝑇))
1610, 11, 13, 15syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 (𝑈𝑇))
1716ralrimiva 3152 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → ∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑇))
185, 14, 6lubl 17726 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
199, 17, 18sylc 65 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wss 3884   class class class wbr 5033  cfv 6328  Basecbs 16479  lecple 16568  lubclub 17548  CLatccla 17713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-lub 17580  df-glb 17581  df-clat 17714
This theorem is referenced by:  lubel  17728  atlatmstc  36614  atlatle  36615  pmaple  37056  paddunN  37222  poml4N  37248
  Copyright terms: Public domain W3C validator