Theorem lubss 18474

Description: Subset law for least upper bounds. (chsupss 31435 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lublem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubss	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝑈‘𝑆) ≤ (𝑈‘𝑇))

Proof of Theorem lubss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1143	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
2		sstr2 3924	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝑇 → (𝑇 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵))
3	2	impcom 409	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	3	3adant1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
5		lublem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		lublem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
7	5, 6	clatlubcl 18464	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3 1139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
9	1, 4, 8	3jca 1135	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵))
10		simpl1 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
11		simpl2 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
12		ssel2 3912	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑇)
13	12	3ad2antl3 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑇)
14		lublem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
15	5, 14, 6	lubub 18472	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇))
16	10, 11, 13, 15	syl3anc 1380	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇))
17	16	ralrimiva 3133	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇))
18	5, 14, 6	lubl 18473	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ (𝑈‘𝑇) → (𝑈‘𝑆) ≤ (𝑈‘𝑇)))
19	9, 17, 18	sylc 65	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑇) → (𝑈‘𝑆) ≤ (𝑈‘𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055   ⊆ wss 3885   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  Basecbs 17174  lecple 17222  lubclub 18270  CLatccla 18459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-lub 18305  df-glb 18306  df-clat 18460

This theorem is referenced by:  lubel  18475  atlatmstc  39826  atlatle  39827  pmaple  40268  paddunN  40434  poml4N  40460