MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubss 18571
Description: Subset law for least upper bounds. (chsupss 31371 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l = (le‘𝐾)
lublem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubss ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇))

Proof of Theorem lubss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
2 sstr2 4002 . . . . 5 (𝑆𝑇 → (𝑇𝐵𝑆𝐵))
32impcom 407 . . . 4 ((𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
433adant1 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → 𝑆𝐵)
5 lublem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 lublem.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
75, 6clatlubcl 18561 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
873adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑇) ∈ 𝐵)
91, 4, 83jca 1127 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵))
10 simpl1 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
11 simpl2 1191 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑇𝐵)
12 ssel2 3990 . . . . 5 ((𝑆𝑇𝑦𝑆) → 𝑦𝑇)
13123ad2antl3 1186 . . . 4 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝑇)
14 lublem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
155, 14, 6lubub 18569 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑦𝑇) → 𝑦 (𝑈𝑇))
1610, 11, 13, 15syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 (𝑈𝑇))
1716ralrimiva 3144 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → ∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑇))
185, 14, 6lubl 18570 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ (𝑈𝑇) ∈ 𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇)))
199, 17, 18sylc 65 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇𝐵𝑆𝑇) → (𝑈𝑆) (𝑈𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  lubclub 18367  CLatccla 18556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-clat 18557
This theorem is referenced by:  lubel  18572  atlatmstc  39301  atlatle  39302  pmaple  39744  paddunN  39910  poml4N  39936
  Copyright terms: Public domain W3C validator