Theorem mrcssvd 17249

Description: The Moore closure of a set is a subset of the base. Deduction form of mrcssv 17240. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mrcssvd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem mrcssvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrcssd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3	2	mrcssv 17240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑁‘𝐵) ⊆ 𝑋)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  Moorecmre 17208  mrClscmrc 17209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-mre 17212  df-mrc 17213

This theorem is referenced by:  mressmrcd  17253  mreexexlem2d  17271  mreacs  17284  acsmap2d  18188  gsumwspan  18400  cntzspan  19360  dprd2dlem1  19559  pgpfaclem2  19600  ismrcd2  40437