Theorem mrcssvd 17675

Description: The Moore closure of a set is a subset of the base. Deduction form of mrcssv 17666. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mrcssvd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem mrcssvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrcssd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3	2	mrcssv 17666	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑁‘𝐵) ⊆ 𝑋)
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ⊆ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6533  Moorecmre 17630  mrClscmrc 17631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-mre 17634  df-mrc 17635

This theorem is referenced by:  mressmrcd  17679  mreexexlem2d  17697  mreacs  17710  acsmap2d  18607  gsumwspan  18901  cntzspan  19910  dprd2dlem1  20109  pgpfaclem2  20150  ismrcd2  43315