Theorem mrcssvd 17696

Description: The Moore closure of a set is a subset of the base. Deduction form of mrcssv 17687. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mrcssvd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ⊆ 𝑋)

Proof of Theorem mrcssvd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrcssd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
3	2	mrcssv 17687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) → (𝑁‘𝐵) ⊆ 𝑋)
4	1, 3	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐵) ⊆ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6540  Moorecmre 17651  mrClscmrc 17652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-mre 17655  df-mrc 17656

This theorem is used by:  mressmrcd  17700  mreexexlem2d  17718  mreacs  17731  acsmap2d  18628  gsumwspan  18928  cntzspan  19937  dprd2dlem1  20136  pgpfaclem2  20177  ismrcd2  43463