Theorem cntzspan 19771

Description: If the generators commute, the generated monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzspan.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
cntzspan.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
cntzspan.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s (𝐾‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
cntzspan	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem cntzspan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	submacs 18750	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
4	3	acsmred 17577	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆))
6		cntzspan.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
7	1, 6	cntzssv 19255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑍‘𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
8	5, 7	sstrdi 3944	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
9	1, 6	cntzsubm 19265	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
10	8, 9	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
11		cntzspan.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
12	11	mrcsscl 17541	. . . . 5 ⊢ (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆) ∧ (𝑍‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑆))
13	4, 5, 10, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑆))
14	4, 11	mrcssvd 17544	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝐾‘𝑆) ⊆ (Base‘𝐺))
15	1, 6	cntzrec 19263	. . . . 5 ⊢ (((𝐾‘𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆))))
16	14, 8, 15	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → ((𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆))))
17	13, 16	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆)))
18	1, 6	cntzsubm 19265	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐾‘𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝐾‘𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺))
19	14, 18	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝑍‘(𝐾‘𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺))
20	11	mrcsscl 17541	. . 3 ⊢ (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆)) ∧ (𝑍‘(𝐾‘𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆)))
21	4, 17, 19, 20	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆)))
22	11	mrccl 17532	. . . 4 ⊢ (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
23	4, 8, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝐾‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
24		cntzspan.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s (𝐾‘𝑆))
25	24, 6	submcmn2 19766	. . 3 ⊢ ((𝐾‘𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆))))
26	23, 25	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐾‘𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾‘𝑆))))
27	21, 26	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑆)) → 𝐻 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134   ↾_s cress 17155  Moorecmre 17499  mrClscmrc 17500  ACScacs 17502  Mndcmnd 18657  SubMndcsubmnd 18705  Cntzccntz 19242  CMndccmn 19707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-cntz 19244  df-cmn 19709

This theorem is referenced by:  gsumzsplit  19854  gsumzoppg  19871  gsumpt  19889