MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzspan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzspan 19790
Description: If the generators commute, the generated monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzspan.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
cntzspan.k 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
cntzspan.h 𝐻 = (𝐺s (𝐾𝑆))
Assertion
Ref Expression
cntzspan ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem cntzspan
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21submacs 18770 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
32adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
43acsmred 17627 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
5 simpr 484 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
6 cntzspan.z . . . . . . . 8 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
71, 6cntzssv 19270 . . . . . . 7 (𝑍𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
85, 7sstrdi 3990 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
91, 6cntzsubm 19280 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
108, 9syldan 590 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
11 cntzspan.k . . . . . 6 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
1211mrcsscl 17591 . . . . 5 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍𝑆))
134, 5, 10, 12syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍𝑆))
144, 11mrcssvd 17594 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐾𝑆) ⊆ (Base‘𝐺))
151, 6cntzrec 19278 . . . . 5 (((𝐾𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝐾𝑆) ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆))))
1614, 8, 15syl2anc 583 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → ((𝐾𝑆) ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆))))
1713, 16mpbid 231 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆)))
181, 6cntzsubm 19280 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐾𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝐾𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺))
1914, 18syldan 590 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝑍‘(𝐾𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺))
2011mrcsscl 17591 . . 3 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆)) ∧ (𝑍‘(𝐾𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆)))
214, 17, 19, 20syl3anc 1369 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆)))
2211mrccl 17582 . . . 4 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
234, 8, 22syl2anc 583 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐾𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
24 cntzspan.h . . . 4 𝐻 = (𝐺s (𝐾𝑆))
2524, 6submcmn2 19785 . . 3 ((𝐾𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆))))
2623, 25syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆))))
2721, 26mpbird 257 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝐻 ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3944  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  s cress 17200  Moorecmre 17553  mrClscmrc 17554  ACScacs 17556  Mndcmnd 18685  SubMndcsubmnd 18730  Cntzccntz 19257  CMndccmn 19726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-cntz 19259  df-cmn 19728
This theorem is referenced by:  gsumzsplit  19873  gsumzoppg  19890  gsumpt  19908
  Copyright terms: Public domain W3C validator