MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cntzspan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cntzspan 19862
Description: If the generators commute, the generated monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cntzspan.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
cntzspan.k 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
cntzspan.h 𝐻 = (𝐺s (𝐾𝑆))
Assertion
Ref Expression
cntzspan ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝐻 ∈ CMnd)

Proof of Theorem cntzspan
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
21submacs 18840 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
32adantr 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
43acsmred 17699 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
5 simpr 484 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆))
6 cntzspan.z . . . . . . . 8 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
71, 6cntzssv 19346 . . . . . . 7 (𝑍𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)
85, 7sstrdi 3996 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
91, 6cntzsubm 19356 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
108, 9syldan 591 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
11 cntzspan.k . . . . . 6 𝐾 = (mrCls‘(SubMnd‘𝐺))
1211mrcsscl 17663 . . . . 5 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆) ∧ (𝑍𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍𝑆))
134, 5, 10, 12syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍𝑆))
144, 11mrcssvd 17666 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐾𝑆) ⊆ (Base‘𝐺))
151, 6cntzrec 19354 . . . . 5 (((𝐾𝑆) ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((𝐾𝑆) ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆))))
1614, 8, 15syl2anc 584 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → ((𝐾𝑆) ⊆ (𝑍𝑆) ↔ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆))))
1713, 16mpbid 232 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆)))
181, 6cntzsubm 19356 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐾𝑆) ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑍‘(𝐾𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺))
1914, 18syldan 591 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝑍‘(𝐾𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺))
2011mrcsscl 17663 . . 3 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆)) ∧ (𝑍‘(𝐾𝑆)) ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆)))
214, 17, 19, 20syl3anc 1373 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆)))
2211mrccl 17654 . . . 4 (((SubMnd‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
234, 8, 22syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐾𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺))
24 cntzspan.h . . . 4 𝐻 = (𝐺s (𝐾𝑆))
2524, 6submcmn2 19857 . . 3 ((𝐾𝑆) ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆))))
2623, 25syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → (𝐻 ∈ CMnd ↔ (𝐾𝑆) ⊆ (𝑍‘(𝐾𝑆))))
2721, 26mpbird 257 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑆)) → 𝐻 ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  s cress 17274  Moorecmre 17625  mrClscmrc 17626  ACScacs 17628  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  Cntzccntz 19333  CMndccmn 19798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-cntz 19335  df-cmn 19800
This theorem is referenced by:  gsumzsplit  19945  gsumzoppg  19962  gsumpt  19980
  Copyright terms: Public domain W3C validator