Theorem mrcssd 17636

Description: Moore closure preserves subset ordering. Deduction form of mrcss 17628. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssd.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
mrcssd.4	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mrcssd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘𝑉))

Proof of Theorem mrcssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrcssd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
3		mrcssd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑋)
4		mrcssd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5	4	mrcss 17628	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑋) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘𝑉))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  ‘cfv 6531  Moorecmre 17594  mrClscmrc 17595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-mre 17598  df-mrc 17599

This theorem is referenced by:  mressmrcd  17639  mrieqv2d  17651  mrissmrid  17653  mreexexlem2d  17657  isacs3lem  18552  isacs4lem  18554  acsfiindd  18563  acsmapd  18564  acsmap2d  18565  dprdres  20011  dprdss  20012  dprd2dlem1  20024  dprd2da  20025  dmdprdsplit2lem  20028