MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrcssd 17667
Description: Moore closure preserves subset ordering. Deduction form of mrcss 17659. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssd.3 (𝜑𝑈𝑉)
mrcssd.4 (𝜑𝑉𝑋)
Assertion
Ref Expression
mrcssd (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁𝑉))

Proof of Theorem mrcssd
StepHypRef Expression
1 mrcssd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mrcssd.3 . 2 (𝜑𝑈𝑉)
3 mrcssd.4 . 2 (𝜑𝑉𝑋)
4 mrcssd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
54mrcss 17659 . 2 ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝑋) → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁𝑉))
61, 2, 3, 5syl3anc 1373 1 (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  Moorecmre 17625  mrClscmrc 17626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-mre 17629  df-mrc 17630
This theorem is referenced by:  mressmrcd  17670  mrieqv2d  17682  mrissmrid  17684  mreexexlem2d  17688  isacs3lem  18587  isacs4lem  18589  acsfiindd  18598  acsmapd  18599  acsmap2d  18600  dprdres  20048  dprdss  20049  dprd2dlem1  20061  dprd2da  20062  dmdprdsplit2lem  20065
  Copyright terms: Public domain W3C validator