Theorem mrcssd 17718

Description: Moore closure preserves subset ordering. Deduction form of mrcss 17710. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssd.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
mrcssd.4	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mrcssd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘𝑉))

Proof of Theorem mrcssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrcssd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
3		mrcssd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑋)
4		mrcssd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5	4	mrcss 17710	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑋) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘𝑉))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  Moorecmre 17672  mrClscmrc 17673

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-mre 17676  df-mrc 17677

This theorem is used by:  mressmrcd  17721  mrieqv2d  17733  mrissmrid  17735  mreexexlem2d  17739  isacs3lem  18636  isacs4lem  18638  acsfiindd  18647  acsmapd  18648  acsmap2d  18649  dprdres  20163  dprdss  20164  dprd2dlem1  20176  dprd2da  20177  dmdprdsplit2lem  20180