MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrcssd 17669
Description: Moore closure preserves subset ordering. Deduction form of mrcss 17661. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssd.3 (𝜑𝑈𝑉)
mrcssd.4 (𝜑𝑉𝑋)
Assertion
Ref Expression
mrcssd (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁𝑉))

Proof of Theorem mrcssd
StepHypRef Expression
1 mrcssd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mrcssd.3 . 2 (𝜑𝑈𝑉)
3 mrcssd.4 . 2 (𝜑𝑉𝑋)
4 mrcssd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
54mrcss 17661 . 2 ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝑋) → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁𝑉))
61, 2, 3, 5syl3anc 1370 1 (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  cfv 6563  Moorecmre 17627  mrClscmrc 17628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-mre 17631  df-mrc 17632
This theorem is referenced by:  mressmrcd  17672  mrieqv2d  17684  mrissmrid  17686  mreexexlem2d  17690  isacs3lem  18600  isacs4lem  18602  acsfiindd  18611  acsmapd  18612  acsmap2d  18613  dprdres  20063  dprdss  20064  dprd2dlem1  20076  dprd2da  20077  dmdprdsplit2lem  20080
  Copyright terms: Public domain W3C validator