MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrcssd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrcssd 16894
Description: Moore closure preserves subset ordering. Deduction form of mrcss 16886. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mrcssd.1 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssd.3 (𝜑𝑈𝑉)
mrcssd.4 (𝜑𝑉𝑋)
Assertion
Ref Expression
mrcssd (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁𝑉))

Proof of Theorem mrcssd
StepHypRef Expression
1 mrcssd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2 mrcssd.3 . 2 (𝜑𝑈𝑉)
3 mrcssd.4 . 2 (𝜑𝑉𝑋)
4 mrcssd.2 . . 3 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
54mrcss 16886 . 2 ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝑉𝑉𝑋) → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁𝑉))
61, 2, 3, 5syl3anc 1367 1 (𝜑 → (𝑁𝑈) ⊆ (𝑁𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2110  wss 3935  cfv 6354  Moorecmre 16852  mrClscmrc 16853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-fv 6362  df-mre 16856  df-mrc 16857
This theorem is referenced by:  mressmrcd  16897  mrieqv2d  16909  mrissmrid  16911  mreexexlem2d  16915  isacs3lem  17775  isacs4lem  17777  acsfiindd  17786  acsmapd  17787  acsmap2d  17788  dprdres  19149  dprdss  19150  dprd2dlem1  19162  dprd2da  19163  dmdprdsplit2lem  19166
  Copyright terms: Public domain W3C validator