Theorem mrcssd 17572

Description: Moore closure preserves subset ordering. Deduction form of mrcss 17564. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssd.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
mrcssd.4	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mrcssd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘𝑉))

Proof of Theorem mrcssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrcssd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
3		mrcssd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑋)
4		mrcssd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5	4	mrcss 17564	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑋) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘𝑉))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6542  Moorecmre 17530  mrClscmrc 17531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-mre 17534  df-mrc 17535

This theorem is referenced by:  mressmrcd  17575  mrieqv2d  17587  mrissmrid  17589  mreexexlem2d  17593  isacs3lem  18499  isacs4lem  18501  acsfiindd  18510  acsmapd  18511  acsmap2d  18512  dprdres  19939  dprdss  19940  dprd2dlem1  19952  dprd2da  19953  dmdprdsplit2lem  19956