Theorem mrcssd 17807

Description: Moore closure preserves subset ordering. Deduction form of mrcss 17799. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrcssd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
mrcssd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
mrcssd.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
mrcssd.4	⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
mrcssd	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘𝑉))

Proof of Theorem mrcssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mrcssd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
2		mrcssd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑉)
3		mrcssd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ⊆ 𝑋)
4		mrcssd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5	4	mrcss 17799	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑉 ⊆ 𝑋) → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘𝑉))
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑈) ⊆ (𝑁‘𝑉))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  ‘cfv 6543  Moorecmre 17761  mrClscmrc 17762

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-mre 17765  df-mrc 17766

This theorem is used by:  mressmrcd  17810  mrieqv2d  17822  mrissmrid  17824  mreexexlem2d  17828  isacs3lem  18725  isacs4lem  18727  acsfiindd  18736  acsmapd  18737  acsmap2d  18738  dprdres  20253  dprdss  20254  dprd2dlem1  20266  dprd2da  20267  dmdprdsplit2lem  20270