MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgacs 19192
Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
subgacs (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subgacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
21issubg3 19175 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
3 subgacs.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
43submss 18835 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑠𝐵)
54adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠𝐵)
6 velpw 4610 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
75, 6sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
8 eleq2w 2823 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 → (((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
98raleqbi1dv 3336 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
109elrab3 3696 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
117, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
1211pm5.32da 579 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
132, 12bitr4d 282 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
14 elin 3979 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
1513, 14bitr4di 289 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
1615eqrdv 2733 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) = ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
173fvexi 6921 . . . 4 𝐵 ∈ V
18 mreacs 17703 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
1917, 18mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
20 grpmnd 18971 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
213submacs 18853 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
2220, 21syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
233, 1grpinvcl 19018 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
2423ralrimiva 3144 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥𝐵 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
25 acsfn1 17706 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
2617, 24, 25sylancr 587 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
27 mreincl 17644 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
2819, 22, 26, 27syl3anc 1370 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
2916, 28eqeltrd 2839 1 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605  cfv 6563  Basecbs 17245  Moorecmre 17627  ACScacs 17630  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  SubGrpcsubg 19151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154
This theorem is referenced by:  nsgacs  19193  cycsubg2  19241  cycsubg2cl  19242  odf1o1  19605  lsmmod  19708  dmdprdd  20034  dprdfeq0  20057  dprdspan  20062  dprdres  20063  dprdss  20064  dprdz  20065  subgdmdprd  20069  subgdprd  20070  dprdsn  20071  dprd2dlem1  20076  dprd2da  20077  dmdprdsplit2lem  20080  ablfac1b  20105  pgpfac1lem1  20109  pgpfac1lem2  20110  pgpfac1lem3a  20111  pgpfac1lem3  20112  pgpfac1lem4  20113  pgpfac1lem5  20114  pgpfaclem1  20116  pgpfaclem2  20117  subrgacs  20818  lssacs  20983  proot1mul  43183  proot1hash  43184
  Copyright terms: Public domain W3C validator