Theorem subgacs 19185

Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgacs	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subgacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
2	1	issubg3 19169	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
3		subgacs.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	submss 18826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
5	4	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
6		velpw 4559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
7	5, 6	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
8		eleq2w 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
9	8	raleqbi1dv 3329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
10	9	elrab3 3651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
11	7, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
12	11	pm5.32da 587	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
13	2, 12	bitr4d 284	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
14		elin 3920	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
15	13, 14	bitr4di 291	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
16	15	eqrdv 2759	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) = ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
17	3	fvexi 6877	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
18		mreacs 17673	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
19	17, 18	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
20		grpmnd 18965	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
21	3	submacs 18844	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23	3, 1	grpinvcl 19012	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
24	23	ralrimiva 3153	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
25		acsfn1 17676	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
26	17, 24, 25	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
27		mreincl 17610	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
28	19, 22, 26, 27	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
29	16, 28	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {crab 3413  Vcvv 3453   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4554  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  Moorecmre 17593  ACScacs 17596  Mndcmnd 18751  SubMndcsubmnd 18799  Grpcgrp 18958  inv_gcminusg 18959  SubGrpcsubg 19145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-subg 19148

This theorem is referenced by:  nsgacs  19186  cycsubg2  19234  cycsubg2cl  19235  odf1o1  19595  lsmmod  19698  dmdprdd  20024  dprdfeq0  20047  dprdspan  20052  dprdres  20053  dprdss  20054  dprdz  20055  subgdmdprd  20059  subgdprd  20060  dprdsn  20061  dprd2dlem1  20066  dprd2da  20067  dmdprdsplit2lem  20070  ablfac1b  20095  pgpfac1lem1  20099  pgpfac1lem2  20100  pgpfac1lem3a  20101  pgpfac1lem3  20102  pgpfac1lem4  20103  pgpfac1lem5  20104  pgpfaclem1  20106  pgpfaclem2  20107  subrgacs  20829  lssacs  21014  proot1mul  43735  proot1hash  43736