Theorem subgacs 19183

Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgacs	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subgacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
2	1	issubg3 19167	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
3		subgacs.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	submss 18824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
5	4	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
6		velpw 4559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
7	5, 6	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
8		eleq2w 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
9	8	raleqbi1dv 3329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
10	9	elrab3 3651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
11	7, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
12	11	pm5.32da 587	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
13	2, 12	bitr4d 284	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
14		elin 3920	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
15	13, 14	bitr4di 291	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
16	15	eqrdv 2759	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) = ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
17	3	fvexi 6875	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
18		mreacs 17671	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
19	17, 18	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
20		grpmnd 18963	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
21	3	submacs 18842	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23	3, 1	grpinvcl 19010	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
24	23	ralrimiva 3153	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
25		acsfn1 17674	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
26	17, 24, 25	sylancr 596	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
27		mreincl 17608	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
28	19, 22, 26, 27	syl3anc 1389	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
29	16, 28	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {crab 3413  Vcvv 3453   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  𝒫 cpw 4554  ‘cfv 6515  Basecbs 17226  Moorecmre 17591  ACScacs 17594  Mndcmnd 18749  SubMndcsubmnd 18797  Grpcgrp 18956  inv_gcminusg 18957  SubGrpcsubg 19143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11213  df-mnf 11214  df-xr 11215  df-ltxr 11216  df-le 11217  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12206  df-2 12275  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17248  df-plusg 17280  df-0g 17451  df-mre 17595  df-mrc 17596  df-acs 17598  df-mgm 18655  df-sgrp 18734  df-mnd 18750  df-submnd 18799  df-grp 18959  df-minusg 18960  df-subg 19146

This theorem is referenced by:  nsgacs  19184  cycsubg2  19232  cycsubg2cl  19233  odf1o1  19593  lsmmod  19696  dmdprdd  20022  dprdfeq0  20045  dprdspan  20050  dprdres  20051  dprdss  20052  dprdz  20053  subgdmdprd  20057  subgdprd  20058  dprdsn  20059  dprd2dlem1  20064  dprd2da  20065  dmdprdsplit2lem  20068  ablfac1b  20093  pgpfac1lem1  20097  pgpfac1lem2  20098  pgpfac1lem3a  20099  pgpfac1lem3  20100  pgpfac1lem4  20101  pgpfac1lem5  20102  pgpfaclem1  20104  pgpfaclem2  20105  subrgacs  20827  lssacs  21012  proot1mul  43724  proot1hash  43725