Theorem subgacs 19228

Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgacs	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subgacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
2	1	issubg3 19212	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
3		subgacs.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	submss 18868	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
5	4	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
6		velpw 4568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
7	5, 6	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
8		eleq2w 2847	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
9	8	raleqbi1dv 3333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
10	9	elrab3 3652	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
11	7, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
12	11	pm5.32da 589	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
13	2, 12	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
14		elin 3922	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
15	13, 14	bitr4di 292	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
16	15	eqrdv 2761	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) = ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
17	3	fvexi 6897	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
18		mreacs 17715	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
19	17, 18	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
20		grpmnd 19008	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
21	3	submacs 18887	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
22	20, 21	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23	3, 1	grpinvcl 19055	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
24	23	ralrimiva 3157	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
25		acsfn1 17718	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
26	17, 24, 25	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
27		mreincl 17652	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
28	19, 22, 26, 27	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
29	16, 28	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416  Vcvv 3455   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4563  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  Moorecmre 17635  ACScacs 17638  Mndcmnd 18793  SubMndcsubmnd 18841  Grpcgrp 19001  inv_gcminusg 19002  SubGrpcsubg 19187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-subg 19190

This theorem is referenced by:  nsgacs  19229  cycsubg2  19282  cycsubg2cl  19283  odf1o1  19643  lsmmod  19746  dmdprdd  20072  dprdfeq0  20095  dprdspan  20100  dprdres  20101  dprdss  20102  dprdz  20103  subgdmdprd  20107  subgdprd  20108  dprdsn  20109  dprd2dlem1  20114  dprd2da  20115  dmdprdsplit2lem  20118  ablfac1b  20143  pgpfac1lem1  20147  pgpfac1lem2  20148  pgpfac1lem3a  20149  pgpfac1lem3  20150  pgpfac1lem4  20151  pgpfac1lem5  20152  pgpfaclem1  20154  pgpfaclem2  20155  subrgacs  20884  lssacs  21069  proot1mul  43901  proot1hash  43902