Theorem subgacs 19179

Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgacs	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subgacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
2	1	issubg3 19162	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
3		subgacs.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	submss 18822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
5	4	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
6		velpw 4605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
8		eleq2w 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
9	8	raleqbi1dv 3338	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
10	9	elrab3 3693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
11	7, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
12	11	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
13	2, 12	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
14		elin 3967	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
15	13, 14	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
16	15	eqrdv 2735	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) = ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
17	3	fvexi 6920	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
18		mreacs 17701	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
19	17, 18	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
20		grpmnd 18958	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
21	3	submacs 18840	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23	3, 1	grpinvcl 19005	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
24	23	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
25		acsfn1 17704	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
26	17, 24, 25	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
27		mreincl 17642	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
28	19, 22, 26, 27	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
29	16, 28	eqeltrd 2841	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  𝒫 cpw 4600  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  Moorecmre 17625  ACScacs 17628  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141

This theorem is referenced by:  nsgacs  19180  cycsubg2  19228  cycsubg2cl  19229  odf1o1  19590  lsmmod  19693  dmdprdd  20019  dprdfeq0  20042  dprdspan  20047  dprdres  20048  dprdss  20049  dprdz  20050  subgdmdprd  20054  subgdprd  20055  dprdsn  20056  dprd2dlem1  20061  dprd2da  20062  dmdprdsplit2lem  20065  ablfac1b  20090  pgpfac1lem1  20094  pgpfac1lem2  20095  pgpfac1lem3a  20096  pgpfac1lem3  20097  pgpfac1lem4  20098  pgpfac1lem5  20099  pgpfaclem1  20101  pgpfaclem2  20102  subrgacs  20801  lssacs  20965  proot1mul  43206  proot1hash  43207