MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgacs 17837
Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
subgacs (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subgacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
21issubg3 17820 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
3 subgacs.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
43submss 17558 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑠𝐵)
54adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠𝐵)
6 selpw 4304 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
75, 6sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
8 eleq2w 2834 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 → (((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
98raleqbi1dv 3295 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
109elrab3 3516 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
117, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
1211pm5.32da 568 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
132, 12bitr4d 271 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
14 elin 3947 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
1513, 14syl6bbr 278 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
1615eqrdv 2769 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) = ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
17 fvex 6342 . . . . 5 (Base‘𝐺) ∈ V
183, 17eqeltri 2846 . . . 4 𝐵 ∈ V
19 mreacs 16526 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
2018, 19mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
21 grpmnd 17637 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
223submacs 17573 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
2321, 22syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
243, 1grpinvcl 17675 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
2524ralrimiva 3115 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥𝐵 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
26 acsfn1 16529 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
2718, 25, 26sylancr 575 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
28 mreincl 16467 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
2920, 23, 27, 28syl3anc 1476 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
3016, 29eqeltrd 2850 1 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  𝒫 cpw 4297  cfv 6031  Basecbs 16064  Moorecmre 16450  ACScacs 16453  Mndcmnd 17502  SubMndcsubmnd 17542  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  SubGrpcsubg 17796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799
This theorem is referenced by:  nsgacs  17838  cycsubg2  17839  cycsubg2cl  17840  odf1o1  18194  lsmmod  18295  dmdprdd  18606  dprdfeq0  18629  dprdspan  18634  dprdres  18635  dprdss  18636  dprdz  18637  subgdmdprd  18641  subgdprd  18642  dprdsn  18643  dprd2dlem1  18648  dprd2da  18649  dmdprdsplit2lem  18652  ablfac1b  18677  pgpfac1lem1  18681  pgpfac1lem2  18682  pgpfac1lem3a  18683  pgpfac1lem3  18684  pgpfac1lem4  18685  pgpfac1lem5  18686  pgpfaclem1  18688  pgpfaclem2  18689  lssacs  19180  subrgacs  38296  proot1mul  38303  proot1hash  38304
  Copyright terms: Public domain W3C validator