MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgacs 18970
Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
subgacs (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))

Proof of Theorem subgacs
Dummy variables 𝑠 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . . 6 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
21issubg3 18953 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑠 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
3 subgacs.b . . . . . . . . . 10 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
43submss 18627 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
54adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
6 velpw 4570 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑠 βŠ† 𝐡)
75, 6sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
8 eleq2w 2822 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 ↔ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
98raleqbi1dv 3310 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
109elrab3 3651 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
117, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMndβ€˜πΊ)) β†’ (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠))
1211pm5.32da 580 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ ((𝑠 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑠)))
132, 12bitr4d 282 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑠 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦})))
14 elin 3931 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubMndβ€˜πΊ) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦}))
1513, 14bitr4di 289 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ 𝑠 ∈ ((SubMndβ€˜πΊ) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦})))
1615eqrdv 2735 . 2 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) = ((SubMndβ€˜πΊ) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦}))
173fvexi 6861 . . . 4 𝐡 ∈ V
18 mreacs 17545 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
1917, 18mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
20 grpmnd 18762 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
213submacs 18644 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
2220, 21syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
233, 1grpinvcl 18805 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
2423ralrimiva 3144 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
25 acsfn1 17548 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅))
2617, 24, 25sylancr 588 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅))
27 mreincl 17486 . . 3 (((ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡) ∧ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦} ∈ (ACSβ€˜π΅)) β†’ ((SubMndβ€˜πΊ) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
2819, 22, 26, 27syl3anc 1372 . 2 (𝐺 ∈ Grp β†’ ((SubMndβ€˜πΊ) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑦 ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ 𝑦}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
2916, 28eqeltrd 2838 1 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  {crab 3410  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  Moorecmre 17469  ACScacs 17472  Mndcmnd 18563  SubMndcsubmnd 18607  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  SubGrpcsubg 18929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-subg 18932
This theorem is referenced by:  nsgacs  18971  cycsubg2  19010  cycsubg2cl  19011  odf1o1  19361  lsmmod  19464  dmdprdd  19785  dprdfeq0  19808  dprdspan  19813  dprdres  19814  dprdss  19815  dprdz  19816  subgdmdprd  19820  subgdprd  19821  dprdsn  19822  dprd2dlem1  19827  dprd2da  19828  dmdprdsplit2lem  19831  ablfac1b  19856  pgpfac1lem1  19860  pgpfac1lem2  19861  pgpfac1lem3a  19862  pgpfac1lem3  19863  pgpfac1lem4  19864  pgpfac1lem5  19865  pgpfaclem1  19867  pgpfaclem2  19868  subrgacs  20283  lssacs  20444  proot1mul  41555  proot1hash  41556
  Copyright terms: Public domain W3C validator