MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgacs 18789
Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
subgacs (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subgacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
21issubg3 18773 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
3 subgacs.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
43submss 18448 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑠𝐵)
54adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠𝐵)
6 velpw 4538 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
75, 6sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
8 eleq2w 2822 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑠 → (((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
98raleqbi1dv 3340 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
109elrab3 3625 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
117, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
1211pm5.32da 579 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝑠 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
132, 12bitr4d 281 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
14 elin 3903 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
1513, 14bitr4di 289 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
1615eqrdv 2736 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) = ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
173fvexi 6788 . . . 4 𝐵 ∈ V
18 mreacs 17367 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
1917, 18mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
20 grpmnd 18584 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
213submacs 18465 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
2220, 21syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
233, 1grpinvcl 18627 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵) → ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
2423ralrimiva 3103 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥𝐵 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
25 acsfn1 17370 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
2617, 24, 25sylancr 587 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
27 mreincl 17308 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
2819, 22, 26, 27syl3anc 1370 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑦 ((invg𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
2916, 28eqeltrd 2839 1 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432  cin 3886  wss 3887  𝒫 cpw 4533  cfv 6433  Basecbs 16912  Moorecmre 17291  ACScacs 17294  Mndcmnd 18385  SubMndcsubmnd 18429  Grpcgrp 18577  invgcminusg 18578  SubGrpcsubg 18749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752
This theorem is referenced by:  nsgacs  18790  cycsubg2  18829  cycsubg2cl  18830  odf1o1  19177  lsmmod  19281  dmdprdd  19602  dprdfeq0  19625  dprdspan  19630  dprdres  19631  dprdss  19632  dprdz  19633  subgdmdprd  19637  subgdprd  19638  dprdsn  19639  dprd2dlem1  19644  dprd2da  19645  dmdprdsplit2lem  19648  ablfac1b  19673  pgpfac1lem1  19677  pgpfac1lem2  19678  pgpfac1lem3a  19679  pgpfac1lem3  19680  pgpfac1lem4  19681  pgpfac1lem5  19682  pgpfaclem1  19684  pgpfaclem2  19685  subrgacs  20068  lssacs  20229  proot1mul  41024  proot1hash  41025
  Copyright terms: Public domain W3C validator