Theorem subgacs 19100

Description: Subgroups are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
subgacs	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subgacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
2	1	issubg3 19083	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
3		subgacs.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	submss 18743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
5	4	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
6		velpw 4571	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
7	5, 6	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
8		eleq2w 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
9	8	raleqbi1dv 3313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
10	9	elrab3 3663	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
11	7, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → (𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠))
12	11	pm5.32da 579	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑠)))
13	2, 12	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
14		elin 3933	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ↔ (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
15	13, 14	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦})))
16	15	eqrdv 2728	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) = ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}))
17	3	fvexi 6875	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
18		mreacs 17626	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
19	17, 18	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
20		grpmnd 18879	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
21	3	submacs 18761	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
23	3, 1	grpinvcl 18926	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
24	23	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵)
25		acsfn1 17629	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
26	17, 24, 25	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵))
27		mreincl 17567	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
28	19, 22, 26, 27	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((SubMnd‘𝐺) ∩ {𝑦 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑦 ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ 𝑦}) ∈ (ACS‘𝐵))
29	16, 28	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {crab 3408  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  Moorecmre 17550  ACScacs 17553  Mndcmnd 18668  SubMndcsubmnd 18716  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  SubGrpcsubg 19059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062

This theorem is referenced by:  nsgacs  19101  cycsubg2  19149  cycsubg2cl  19150  odf1o1  19509  lsmmod  19612  dmdprdd  19938  dprdfeq0  19961  dprdspan  19966  dprdres  19967  dprdss  19968  dprdz  19969  subgdmdprd  19973  subgdprd  19974  dprdsn  19975  dprd2dlem1  19980  dprd2da  19981  dmdprdsplit2lem  19984  ablfac1b  20009  pgpfac1lem1  20013  pgpfac1lem2  20014  pgpfac1lem3a  20015  pgpfac1lem3  20016  pgpfac1lem4  20017  pgpfac1lem5  20018  pgpfaclem1  20020  pgpfaclem2  20021  subrgacs  20716  lssacs  20880  proot1mul  43190  proot1hash  43191