MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgacs 19078
Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
nsgacs (𝐺 ∈ Grp β†’ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))

Proof of Theorem nsgacs
Dummy variables 𝑠 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgacs.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
21subgss 19043 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
3 velpw 4606 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑠 βŠ† 𝐡)
42, 3sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
5 eleq2w 2815 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑠 β†’ (((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧 ↔ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
65raleqbi1dv 3331 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
76ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
87elrab3 3683 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
109bicomd 222 . . . . 5 (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠 ↔ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}))
1110pm5.32i 573 . . . 4 ((𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}))
12 eqid 2730 . . . . 5 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
13 eqid 2730 . . . . 5 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
141, 12, 13isnsg3 19076 . . . 4 (𝑠 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
15 elin 3963 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}))
1611, 14, 153bitr4i 302 . . 3 (𝑠 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ↔ 𝑠 ∈ ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}))
1716eqriv 2727 . 2 (NrmSGrpβ€˜πΊ) = ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧})
181fvexi 6904 . . . 4 𝐡 ∈ V
19 mreacs 17606 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
2018, 19mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
211subgacs 19077 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
22 simpl 481 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
231, 12grpcl 18863 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
24233expb 1118 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
25 simprl 767 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
261, 13grpsubcl 18939 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝐡)
2722, 24, 25, 26syl3anc 1369 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝐡)
2827ralrimivva 3198 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝐡)
29 acsfn1c 17610 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ∈ (ACSβ€˜π΅))
3018, 28, 29sylancr 585 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ∈ (ACSβ€˜π΅))
31 mreincl 17547 . . 3 (((ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡) ∧ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ∈ (ACSβ€˜π΅)) β†’ ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
3220, 21, 30, 31syl3anc 1369 . 2 (𝐺 ∈ Grp β†’ ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
3317, 32eqeltrid 2835 1 (𝐺 ∈ Grp β†’ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  {crab 3430  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  Moorecmre 17530  ACScacs 17533  Grpcgrp 18855  -gcsg 18857  SubGrpcsubg 19036  NrmSGrpcnsg 19037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-nsg 19040
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator