Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgacs 18394
 Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nsgacs (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem nsgacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgacs.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐺)
21subgss 18360 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠𝐵)
3 velpw 4502 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
42, 3sylibr 237 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
5 eleq2w 2835 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑠 → (((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
65raleqbi1dv 3321 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
76ralbidv 3126 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
87elrab3 3605 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
109bicomd 226 . . . . 5 (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
1110pm5.32i 578 . . . 4 ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
12 eqid 2758 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
13 eqid 2758 . . . . 5 (-g𝐺) = (-g𝐺)
141, 12, 13isnsg3 18392 . . . 4 (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝑠 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
15 elin 3876 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
1611, 14, 153bitr4i 306 . . 3 (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
1716eqriv 2755 . 2 (NrmSGrp‘𝐺) = ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧})
181fvexi 6677 . . . 4 𝐵 ∈ V
19 mreacs 17000 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
2018, 19mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
211subgacs 18393 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
22 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
231, 12grpcl 18190 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24233expb 1117 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
25 simprl 770 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
261, 13grpsubcl 18259 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
2722, 24, 25, 26syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
2827ralrimivva 3120 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
29 acsfn1c 17004 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
3018, 28, 29sylancr 590 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
31 mreincl 16941 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
3220, 21, 30, 31syl3anc 1368 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝐵𝑦𝑧 ((𝑥(+g𝐺)𝑦)(-g𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
3317, 32eqeltrid 2856 1 (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  {crab 3074  Vcvv 3409   ∩ cin 3859   ⊆ wss 3860  𝒫 cpw 4497  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16554  +gcplusg 16636  Moorecmre 16924  ACScacs 16927  Grpcgrp 18182  -gcsg 18184  SubGrpcsubg 18353  NrmSGrpcnsg 18354 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-0g 16786  df-mre 16928  df-mrc 16929  df-acs 16931  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-submnd 18036  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-subg 18356  df-nsg 18357 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator