Theorem nsgacs 19078

Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nsgacs	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem nsgacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgacs.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
3		velpw 4556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
5		eleq2w 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
6	5	raleqbi1dv 3305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
7	6	ralbidv 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
8	7	elrab3 3644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
9	4, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
10	9	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠 ↔ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
11	10	pm5.32i 574	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
12		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
14	1, 12, 13	isnsg3 19076	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
15		elin 3914	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
16	11, 14, 15	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
17	16	eqriv 2730	. 2 ⊢ (NrmSGrp‘𝐺) = ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧})
18	1	fvexi 6844	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
19		mreacs 17568	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
20	18, 19	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
21	1	subgacs 19077	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
22		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
23	1, 12	grpcl 18858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24	23	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
25		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	1, 13	grpsubcl 18937	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
27	22, 24, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
28	27	ralrimivva 3176	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
29		acsfn1c 17572	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
30	18, 28, 29	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
31		mreincl 17505	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
32	20, 21, 30, 31	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
33	17, 32	eqeltrid 2837	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  {crab 3396  Vcvv 3437   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4551  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  +_gcplusg 17165  Moorecmre 17488  ACScacs 17491  Grpcgrp 18850  -_gcsg 18852  SubGrpcsubg 19037  NrmSGrpcnsg 19038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-0g 17349  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19040  df-nsg 19041

This theorem is referenced by: (None)