MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgacs 18972
Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
nsgacs (𝐺 ∈ Grp β†’ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))

Proof of Theorem nsgacs
Dummy variables 𝑠 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgacs.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
21subgss 18937 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
3 velpw 4569 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑠 βŠ† 𝐡)
42, 3sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
5 eleq2w 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑠 β†’ (((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧 ↔ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
65raleqbi1dv 3306 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
76ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
87elrab3 3650 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
109bicomd 222 . . . . 5 (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠 ↔ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}))
1110pm5.32i 576 . . . 4 ((𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}))
12 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
13 eqid 2733 . . . . 5 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
141, 12, 13isnsg3 18970 . . . 4 (𝑠 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
15 elin 3930 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}))
1611, 14, 153bitr4i 303 . . 3 (𝑠 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ↔ 𝑠 ∈ ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}))
1716eqriv 2730 . 2 (NrmSGrpβ€˜πΊ) = ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧})
181fvexi 6860 . . . 4 𝐡 ∈ V
19 mreacs 17546 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
2018, 19mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
211subgacs 18971 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
22 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
231, 12grpcl 18764 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
24233expb 1121 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
25 simprl 770 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
261, 13grpsubcl 18835 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝐡)
2722, 24, 25, 26syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝐡)
2827ralrimivva 3194 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝐡)
29 acsfn1c 17550 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ∈ (ACSβ€˜π΅))
3018, 28, 29sylancr 588 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ∈ (ACSβ€˜π΅))
31 mreincl 17487 . . 3 (((ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡) ∧ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ∈ (ACSβ€˜π΅)) β†’ ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
3220, 21, 30, 31syl3anc 1372 . 2 (𝐺 ∈ Grp β†’ ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
3317, 32eqeltrid 2838 1 (𝐺 ∈ Grp β†’ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  Moorecmre 17470  ACScacs 17473  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  SubGrpcsubg 18930  NrmSGrpcnsg 18931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-nsg 18934
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator