Theorem nsgacs 19224

Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nsgacs	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem nsgacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgacs.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
3		velpw 4569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
5		eleq2w 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
6	5	raleqbi1dv 3339	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
7	6	ralbidv 3194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
8	7	elrab3 3660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
9	4, 8	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
10	9	bicomd 226	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠 ↔ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
11	10	pm5.32i 584	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
12		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
14	1, 12, 13	isnsg3 19222	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
15		elin 3929	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
16	11, 14, 15	3bitr4i 306	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
17	16	eqriv 2766	. 2 ⊢ (NrmSGrp‘𝐺) = ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧})
18	1	fvexi 6893	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
19		mreacs 17710	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
20	18, 19	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
21	1	subgacs 19223	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
22		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
23	1, 12	grpcl 19004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24	23	3expb 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
25		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	1, 13	grpsubcl 19082	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
27	22, 24, 25, 26	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
28	27	ralrimivva 3214	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
29		acsfn1c 17714	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
30	18, 28, 29	sylancr 598	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
31		mreincl 17647	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
32	20, 21, 30, 31	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
33	17, 32	eqeltrid 2873	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423  Vcvv 3463   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4564  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  Moorecmre 17630  ACScacs 17633  Grpcgrp 18996  -_gcsg 18998  SubGrpcsubg 19182  NrmSGrpcnsg 19183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-nsg 19186

This theorem is referenced by: (None)