MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgacs 19041
Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgacs.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
nsgacs (𝐺 ∈ Grp β†’ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))

Proof of Theorem nsgacs
Dummy variables 𝑠 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgacs.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
21subgss 19006 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
3 velpw 4607 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑠 βŠ† 𝐡)
42, 3sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
5 eleq2w 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑠 β†’ (((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧 ↔ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
65raleqbi1dv 3333 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
76ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑠 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
87elrab3 3684 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
94, 8syl 17 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
109bicomd 222 . . . . 5 (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠 ↔ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}))
1110pm5.32i 575 . . . 4 ((𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}))
12 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
13 eqid 2732 . . . . 5 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
141, 12, 13isnsg3 19039 . . . 4 (𝑠 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑠))
15 elin 3964 . . . 4 (𝑠 ∈ ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}))
1611, 14, 153bitr4i 302 . . 3 (𝑠 ∈ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ↔ 𝑠 ∈ ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}))
1716eqriv 2729 . 2 (NrmSGrpβ€˜πΊ) = ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧})
181fvexi 6905 . . . 4 𝐡 ∈ V
19 mreacs 17601 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
2018, 19mp1i 13 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
211subgacs 19040 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
22 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
231, 12grpcl 18826 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
24233expb 1120 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
25 simprl 769 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
261, 13grpsubcl 18902 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝐡)
2722, 24, 25, 26syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝐡)
2827ralrimivva 3200 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝐡)
29 acsfn1c 17605 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ∈ (ACSβ€˜π΅))
3018, 28, 29sylancr 587 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ∈ (ACSβ€˜π΅))
31 mreincl 17542 . . 3 (((ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡) ∧ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧} ∈ (ACSβ€˜π΅)) β†’ ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
3220, 21, 30, 31syl3anc 1371 . 2 (𝐺 ∈ Grp β†’ ((SubGrpβ€˜πΊ) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑧 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)(-gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
3317, 32eqeltrid 2837 1 (𝐺 ∈ Grp β†’ (NrmSGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Moorecmre 17525  ACScacs 17528  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  SubGrpcsubg 18999  NrmSGrpcnsg 19000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-nsg 19003
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator