Theorem nsgacs 19059

Description: Normal subgroups form an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nsgacs	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem nsgacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgacs.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2	1	subgss 19024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ⊆ 𝐵)
3		velpw 4558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
4	2, 3	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
5		eleq2w 2812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
6	5	raleqbi1dv 3302	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
7	6	ralbidv 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑠 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
8	7	elrab3 3651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
9	4, 8	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
10	9	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠 ↔ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
11	10	pm5.32i 574	. . . 4 ⊢ ((𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
12		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
14	1, 12, 13	isnsg3 19057	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑠 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑠))
15		elin 3921	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ↔ (𝑠 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑠 ∈ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
16	11, 14, 15	3bitr4i 303	. . 3 ⊢ (𝑠 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ 𝑠 ∈ ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}))
17	16	eqriv 2726	. 2 ⊢ (NrmSGrp‘𝐺) = ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧})
18	1	fvexi 6840	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
19		mreacs 17582	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
20	18, 19	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
21	1	subgacs 19058	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
22		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
23	1, 12	grpcl 18838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
24	23	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
25		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
26	1, 13	grpsubcl 18917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
27	22, 24, 25, 26	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
28	27	ralrimivva 3172	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵)
29		acsfn1c 17586	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝐵) → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
30	18, 28, 29	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵))
31		mreincl 17519	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
32	20, 21, 30, 31	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((SubGrp‘𝐺) ∩ {𝑧 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝑧 ((𝑥(+g‘𝐺)𝑦)(-g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑧}) ∈ (ACS‘𝐵))
33	17, 32	eqeltrid 2832	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (NrmSGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3396  Vcvv 3438   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  Moorecmre 17502  ACScacs 17505  Grpcgrp 18830  -_gcsg 18832  SubGrpcsubg 19017  NrmSGrpcnsg 19018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-nsg 19021

This theorem is referenced by: (None)