Theorem submacs 18732

Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
submacs	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submacs.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	issubm 18708	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
5		velpw 4555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
6	5	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
7		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
8	6, 7	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
9	4, 8	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))))
10	9	eqabdv 2864	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))})
11		df-rab 3396	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))}
12	10, 11	eqtr4di 2784	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
13		inrab 4266	. . 3 ⊢ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
14	1	fvexi 6836	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		mreacs 17561	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
17	1, 2	mndidcl 18654	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
18		acsfn0 17563	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
19	14, 17, 18	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
20	1, 3	mndcl 18647	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
21	20	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
22	21	ralrimivva 3175	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
23		acsfn2 17566	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
24	14, 22, 23	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
25		mreincl 17498	. . . 4 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵)) → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
26	16, 19, 24, 25	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
27	13, 26	eqeltrrid 2836	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} ∈ (ACS‘𝐵))
28	12, 27	eqeltrd 2831	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  𝒫 cpw 4550  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  0_gc0g 17340  Moorecmre 17481  ACScacs 17484  Mndcmnd 18639  SubMndcsubmnd 18687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-om 7797  df-1o 8385  df-2o 8386  df-en 8870  df-fin 8873  df-0g 17342  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-submnd 18689

This theorem is referenced by:  mndind  18733  gsumwspan  18751  subgacs  19071  symggen  19380  cntzspan  19754  gsumzsplit  19837  gsumzoppg  19854  gsumpt  19872  subrgacs  20713