MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submacs 18642
Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submacs.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
submacs (𝐺 ∈ Mnd β†’ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))

Proof of Theorem submacs
Dummy variables 𝑠 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submacs.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
41, 2, 3issubm 18619 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (𝑠 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠)))
5 velpw 4566 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↔ 𝑠 βŠ† 𝐡)
65anbi1i 625 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠)))
7 3anass 1096 . . . . . 6 ((𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠)))
86, 7bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠 βŠ† 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠))
94, 8bitr4di 289 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (𝑠 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠))))
109abbi2dv 2868 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (SubMndβ€˜πΊ) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠))})
11 df-rab 3407 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠)} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠))}
1210, 11eqtr4di 2791 . 2 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (SubMndβ€˜πΊ) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠)})
13 inrab 4267 . . 3 ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠)}
141fvexi 6857 . . . . 5 𝐡 ∈ V
15 mreacs 17543 . . . . 5 (𝐡 ∈ V β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
171, 2mndidcl 18576 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡)
18 acsfn0 17545 . . . . 5 ((𝐡 ∈ V ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐡) β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠} ∈ (ACSβ€˜π΅))
1914, 17, 18sylancr 588 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠} ∈ (ACSβ€˜π΅))
201, 3mndcl 18569 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
21203expb 1121 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
2221ralrimivva 3194 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡)
23 acsfn2 17548 . . . . 5 ((𝐡 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACSβ€˜π΅))
2414, 22, 23sylancr 588 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACSβ€˜π΅))
25 mreincl 17484 . . . 4 (((ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠} ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACSβ€˜π΅)) β†’ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
2616, 19, 24, 25syl3anc 1372 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
2713, 26eqeltrrid 2839 . 2 (𝐺 ∈ Mnd β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝑠 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑠 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ 𝑠)} ∈ (ACSβ€˜π΅))
2812, 27eqeltrd 2834 1 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (SubMndβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  +gcplusg 17138  0gc0g 17326  Moorecmre 17467  ACScacs 17470  Mndcmnd 18561  SubMndcsubmnd 18605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-om 7804  df-1o 8413  df-en 8887  df-fin 8890  df-0g 17328  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607
This theorem is referenced by:  mndind  18643  gsumwspan  18661  subgacs  18968  symggen  19257  cntzspan  19627  gsumzsplit  19709  gsumzoppg  19726  gsumpt  19744  subrgacs  20281
  Copyright terms: Public domain W3C validator