Theorem submacs 18862

Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
submacs	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submacs.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	issubm 18838	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
5		velpw 4627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
6	5	anbi1i 623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
7		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
8	6, 7	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
9	4, 8	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))))
10	9	eqabdv 2878	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))})
11		df-rab 3444	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))}
12	10, 11	eqtr4di 2798	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
13		inrab 4335	. . 3 ⊢ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
14	1	fvexi 6934	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		mreacs 17716	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
17	1, 2	mndidcl 18787	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
18		acsfn0 17718	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
19	14, 17, 18	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
20	1, 3	mndcl 18780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
21	20	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
22	21	ralrimivva 3208	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
23		acsfn2 17721	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
24	14, 22, 23	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
25		mreincl 17657	. . . 4 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵)) → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
26	16, 19, 24, 25	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
27	13, 26	eqeltrrid 2849	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} ∈ (ACS‘𝐵))
28	12, 27	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∀wral 3067  {crab 3443  Vcvv 3488   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  Moorecmre 17640  ACScacs 17643  Mndcmnd 18772  SubMndcsubmnd 18817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-om 7904  df-1o 8522  df-2o 8523  df-en 9004  df-fin 9007  df-0g 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819

This theorem is referenced by:  mndind  18863  gsumwspan  18881  subgacs  19201  symggen  19512  cntzspan  19886  gsumzsplit  19969  gsumzoppg  19986  gsumpt  20004  subrgacs  20823