Theorem submacs 18795

Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
submacs	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submacs.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	issubm 18771	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
5		velpw 4546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
6	5	anbi1i 625	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
7		3anass 1095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
8	6, 7	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
9	4, 8	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))))
10	9	eqabdv 2869	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))})
11		df-rab 3390	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))}
12	10, 11	eqtr4di 2789	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
13		inrab 4256	. . 3 ⊢ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
14	1	fvexi 6854	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		mreacs 17624	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
17	1, 2	mndidcl 18717	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
18		acsfn0 17626	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
19	14, 17, 18	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
20	1, 3	mndcl 18710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
21	20	3expb 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
22	21	ralrimivva 3180	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
23		acsfn2 17629	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
24	14, 22, 23	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
25		mreincl 17561	. . . 4 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵)) → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
26	16, 19, 24, 25	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
27	13, 26	eqeltrrid 2841	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} ∈ (ACS‘𝐵))
28	12, 27	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2714  ∀wral 3051  {crab 3389  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  0_gc0g 17402  Moorecmre 17544  ACScacs 17547  Mndcmnd 18702  SubMndcsubmnd 18750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-om 7818  df-1o 8405  df-2o 8406  df-en 8894  df-fin 8897  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752

This theorem is referenced by:  mndind  18796  gsumwspan  18814  subgacs  19136  symggen  19445  cntzspan  19819  gsumzsplit  19902  gsumzoppg  19919  gsumpt  19937  subrgacs  20777