MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submacs 18840
Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
submacs (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submacs.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
41, 2, 3issubm 18816 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
5 velpw 4605 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
65anbi1i 624 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
7 3anass 1095 . . . . . 6 ((𝑠𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
86, 7bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
94, 8bitr4di 289 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))))
109eqabdv 2875 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))})
11 df-rab 3437 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))}
1210, 11eqtr4di 2795 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
13 inrab 4316 . . 3 ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
141fvexi 6920 . . . . 5 𝐵 ∈ V
15 mreacs 17701 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
171, 2mndidcl 18762 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
18 acsfn0 17703 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
1914, 17, 18sylancr 587 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
201, 3mndcl 18755 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
21203expb 1121 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
2221ralrimivva 3202 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
23 acsfn2 17706 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
2414, 22, 23sylancr 587 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
25 mreincl 17642 . . . 4 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵)) → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
2616, 19, 24, 25syl3anc 1373 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
2713, 26eqeltrrid 2846 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} ∈ (ACS‘𝐵))
2812, 27eqeltrd 2841 1 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Moorecmre 17625  ACScacs 17628  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-1o 8506  df-2o 8507  df-en 8986  df-fin 8989  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797
This theorem is referenced by:  mndind  18841  gsumwspan  18859  subgacs  19179  symggen  19488  cntzspan  19862  gsumzsplit  19945  gsumzoppg  19962  gsumpt  19980  subrgacs  20801
  Copyright terms: Public domain W3C validator