MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  submacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem submacs 18853
Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
submacs.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
submacs (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submacs
Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 submacs.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2735 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 eqid 2735 . . . . . 6 (+g𝐺) = (+g𝐺)
41, 2, 3issubm 18829 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
5 velpw 4610 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑠𝐵)
65anbi1i 624 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
7 3anass 1094 . . . . . 6 ((𝑠𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
86, 7bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
94, 8bitr4di 289 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))))
109eqabdv 2873 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))})
11 df-rab 3434 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))}
1210, 11eqtr4di 2793 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
13 inrab 4322 . . 3 ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
141fvexi 6921 . . . . 5 𝐵 ∈ V
15 mreacs 17703 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
171, 2mndidcl 18775 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → (0g𝐺) ∈ 𝐵)
18 acsfn0 17705 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
1914, 17, 18sylancr 587 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
201, 3mndcl 18768 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
21203expb 1119 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
2221ralrimivva 3200 . . . . 5 (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
23 acsfn2 17708 . . . . 5 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
2414, 22, 23sylancr 587 . . . 4 (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
25 mreincl 17644 . . . 4 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵)) → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
2616, 19, 24, 25syl3anc 1370 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
2713, 26eqeltrrid 2844 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥𝑠𝑦𝑠 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} ∈ (ACS‘𝐵))
2812, 27eqeltrd 2839 1 (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  𝒫 cpw 4605  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486  Moorecmre 17627  ACScacs 17630  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985  df-fin 8988  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810
This theorem is referenced by:  mndind  18854  gsumwspan  18872  subgacs  19192  symggen  19503  cntzspan  19877  gsumzsplit  19960  gsumzoppg  19977  gsumpt  19995  subrgacs  20818
  Copyright terms: Public domain W3C validator