Theorem submacs 18761

Description: Submonoids are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
submacs	⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem submacs

Dummy variables 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submacs.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4	1, 2, 3	issubm 18737	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
5		velpw 4571	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑠 ⊆ 𝐵)
6	5	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
7		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)))
8	6, 7	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)) ↔ (𝑠 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))
9	4, 8	bitr4di 289	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝑠 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))))
10	9	eqabdv 2862	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))})
11		df-rab 3409	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} = {𝑠 ∣ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠))}
12	10, 11	eqtr4di 2783	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)})
13		inrab 4282	. . 3 ⊢ ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)}
14	1	fvexi 6875	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
15		mreacs 17626	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
17	1, 2	mndidcl 18683	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
18		acsfn0 17628	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
19	14, 17, 18	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
20	1, 3	mndcl 18676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
21	20	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
22	21	ralrimivva 3181	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
23		acsfn2 17631	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
24	14, 22, 23	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵))
25		mreincl 17567	. . . 4 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠} ∈ (ACS‘𝐵)) → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
26	16, 19, 24, 25	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → ({𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ (0g‘𝐺) ∈ 𝑠} ∩ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠}) ∈ (ACS‘𝐵))
27	13, 26	eqeltrrid 2834	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑠 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑠 ∀𝑦 ∈ 𝑠 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑠)} ∈ (ACS‘𝐵))
28	12, 27	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (SubMnd‘𝐺) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {cab 2708  ∀wral 3045  {crab 3408  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Moorecmre 17550  ACScacs 17553  Mndcmnd 18668  SubMndcsubmnd 18716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-om 7846  df-1o 8437  df-2o 8438  df-en 8922  df-fin 8925  df-0g 17411  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718

This theorem is referenced by:  mndind  18762  gsumwspan  18780  subgacs  19100  symggen  19407  cntzspan  19781  gsumzsplit  19864  gsumzoppg  19881  gsumpt  19899  subrgacs  20716