MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmmod 18804
Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmmod.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmmod (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) = ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))

Proof of Theorem lsmmod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 simpl2 1189 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 inss1 4191 . . . . 5 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇
43a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
5 lsmmod.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
65lsmless2 18789 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ (𝑆 𝑇))
71, 2, 4, 6syl3anc 1368 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ (𝑆 𝑇))
8 simpr 488 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑆𝑈)
9 inss2 4192 . . . . 5 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈
109a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈)
11 subgrcl 18287 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1312subgacs 18316 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
14 acsmre 16926 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
151, 11, 13, 144syl 19 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
16 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 mreincl 16873 . . . . . 6 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1815, 2, 16, 17syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
195lsmlub 18793 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ 𝑈))
201, 18, 16, 19syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → ((𝑆𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ 𝑈))
218, 10, 20mpbi2and 711 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ 𝑈)
227, 21ssind 4195 . 2 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
23 elin 3936 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ∧ 𝑥𝑈))
24 eqid 2824 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
2524, 5lsmelval 18777 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ↔ ∃𝑦𝑆𝑧𝑇 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
261, 2, 25syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ↔ ∃𝑦𝑆𝑧𝑇 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
271adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2818adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29 simprll 778 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦𝑆)
30 simprlr 779 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧𝑇)
3127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp)
3216adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3312subgss 18283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
358adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆𝑈)
3635, 29sseldd 3955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦𝑈)
3734, 36sseldd 3955 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
38 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝐺) = (0g𝐺)
39 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4012, 24, 38, 39grplinv 18155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
4131, 37, 40syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
4241oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑧))
4339subginvcl 18291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑦𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
4432, 36, 43syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
4534, 44sseldd 3955 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
46 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4712subgss 18283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
4948, 30sseldd 3955 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
5012, 24grpass 18115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
5131, 45, 37, 49, 50syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
5212, 24, 38grplid 18136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑧) = 𝑧)
5331, 49, 52syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑧) = 𝑧)
5442, 51, 533eqtr3d 2867 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = 𝑧)
55 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)
5624subgcl 18292 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
5732, 44, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
5854, 57eqeltrrd 2917 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧𝑈)
5930, 58elind 4157 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑇𝑈))
6024, 5lsmelvali 18778 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ (𝑇𝑈))) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))
6127, 28, 29, 59, 60syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))
6261expr 460 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑇)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
63 eleq1 2903 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝑈 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈))
64 eleq1 2903 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
6563, 64imbi12d 348 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → ((𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))) ↔ ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6662, 65syl5ibrcom 250 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑇)) → (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6766rexlimdvva 3287 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (∃𝑦𝑆𝑧𝑇 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6826, 67sylbid 243 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6968impd 414 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → ((𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
7023, 69syl5bi 245 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑥 ∈ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
7170ssrdv 3960 . 2 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) ⊆ (𝑆 (𝑇𝑈)))
7222, 71eqssd 3971 1 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) = ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3134  cin 3919  wss 3920  cfv 6344  (class class class)co 7150  Basecbs 16486  +gcplusg 16568  0gc0g 16716  Moorecmre 16856  ACScacs 16859  Grpcgrp 18106  invgcminusg 18107  SubGrpcsubg 18276  LSSumclsm 18762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11700  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-subg 18279  df-lsm 18764
This theorem is referenced by:  lsmmod2  18805  lcvexchlem2  36277  dihmeetlem9N  38557
  Copyright terms: Public domain W3C validator