MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmmod 18472
Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmmod.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmmod (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) = ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))

Proof of Theorem lsmmod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1199 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 simpl2 1201 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 inss1 4053 . . . . 5 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇
43a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
5 lsmmod.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
65lsmless2 18459 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ (𝑆 𝑇))
71, 2, 4, 6syl3anc 1439 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ (𝑆 𝑇))
8 simpr 479 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑆𝑈)
9 inss2 4054 . . . . 5 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈
109a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈)
11 subgrcl 17983 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1312subgacs 18013 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
14 acsmre 16698 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
151, 11, 13, 144syl 19 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
16 simpl3 1203 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 mreincl 16645 . . . . . 6 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1815, 2, 16, 17syl3anc 1439 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
195lsmlub 18462 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ 𝑈))
201, 18, 16, 19syl3anc 1439 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → ((𝑆𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ 𝑈))
218, 10, 20mpbi2and 702 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ 𝑈)
227, 21ssind 4057 . 2 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
23 elin 4019 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ∧ 𝑥𝑈))
24 eqid 2778 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
2524, 5lsmelval 18448 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ↔ ∃𝑦𝑆𝑧𝑇 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
261, 2, 25syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ↔ ∃𝑦𝑆𝑧𝑇 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
271adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2818adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29 simprll 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦𝑆)
30 simprlr 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧𝑇)
3127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp)
3216adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3312subgss 17979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
358adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆𝑈)
3635, 29sseldd 3822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦𝑈)
3734, 36sseldd 3822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
38 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝐺) = (0g𝐺)
39 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4012, 24, 38, 39grplinv 17855 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
4131, 37, 40syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
4241oveq1d 6937 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑧))
4339subginvcl 17987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑦𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
4432, 36, 43syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
4534, 44sseldd 3822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
46 simpll2 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4712subgss 17979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
4948, 30sseldd 3822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
5012, 24grpass 17818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
5131, 45, 37, 49, 50syl13anc 1440 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
5212, 24, 38grplid 17839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑧) = 𝑧)
5331, 49, 52syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑧) = 𝑧)
5442, 51, 533eqtr3d 2822 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = 𝑧)
55 simprr 763 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)
5624subgcl 17988 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
5732, 44, 55, 56syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
5854, 57eqeltrrd 2860 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧𝑈)
5930, 58elind 4021 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑇𝑈))
6024, 5lsmelvali 18449 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ (𝑇𝑈))) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))
6127, 28, 29, 59, 60syl22anc 829 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))
6261expr 450 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑇)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
63 eleq1 2847 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝑈 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈))
64 eleq1 2847 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
6563, 64imbi12d 336 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → ((𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))) ↔ ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6662, 65syl5ibrcom 239 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑇)) → (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6766rexlimdvva 3221 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (∃𝑦𝑆𝑧𝑇 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6826, 67sylbid 232 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6968impd 400 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → ((𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
7023, 69syl5bi 234 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑥 ∈ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
7170ssrdv 3827 . 2 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) ⊆ (𝑆 (𝑇𝑈)))
7222, 71eqssd 3838 1 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) = ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wrex 3091  cin 3791  wss 3792  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  0gc0g 16486  Moorecmre 16628  ACScacs 16631  Grpcgrp 17809  invgcminusg 17810  SubGrpcsubg 17972  LSSumclsm 18433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-subg 17975  df-lsm 18435
This theorem is referenced by:  lsmmod2  18473  lcvexchlem2  35191  dihmeetlem9N  37471
  Copyright terms: Public domain W3C validator