MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmmod 19694
Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmmod.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmmod (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) = ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))

Proof of Theorem lsmmod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 simpl2 1192 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 inss1 4236 . . . . 5 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇
43a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
5 lsmmod.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
65lsmless2 19680 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ (𝑆 𝑇))
71, 2, 4, 6syl3anc 1372 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ (𝑆 𝑇))
8 simpr 484 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑆𝑈)
9 inss2 4237 . . . . 5 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈
109a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈)
11 subgrcl 19150 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1312subgacs 19180 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
14 acsmre 17696 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
151, 11, 13, 144syl 19 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
16 simpl3 1193 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 mreincl 17643 . . . . . 6 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1815, 2, 16, 17syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
195lsmlub 19683 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ 𝑈))
201, 18, 16, 19syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → ((𝑆𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ 𝑈))
218, 10, 20mpbi2and 712 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ 𝑈)
227, 21ssind 4240 . 2 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
23 elin 3966 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ∧ 𝑥𝑈))
24 eqid 2736 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
2524, 5lsmelval 19668 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ↔ ∃𝑦𝑆𝑧𝑇 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
261, 2, 25syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ↔ ∃𝑦𝑆𝑧𝑇 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
271adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2818adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29 simprll 778 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦𝑆)
30 simprlr 779 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧𝑇)
3127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp)
3216adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3312subgss 19146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
358adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆𝑈)
3635, 29sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦𝑈)
3734, 36sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
38 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝐺) = (0g𝐺)
39 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4012, 24, 38, 39grplinv 19008 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
4131, 37, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
4241oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑧))
4339subginvcl 19154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑦𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
4432, 36, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
4534, 44sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
46 simpll2 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4712subgss 19146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
4948, 30sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
5012, 24grpass 18961 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
5131, 45, 37, 49, 50syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
5212, 24, 38grplid 18986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑧) = 𝑧)
5331, 49, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑧) = 𝑧)
5442, 51, 533eqtr3d 2784 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = 𝑧)
55 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)
5624subgcl 19155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
5732, 44, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
5854, 57eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧𝑈)
5930, 58elind 4199 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑇𝑈))
6024, 5lsmelvali 19669 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ (𝑇𝑈))) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))
6127, 28, 29, 59, 60syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))
6261expr 456 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑇)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
63 eleq1 2828 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝑈 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈))
64 eleq1 2828 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
6563, 64imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → ((𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))) ↔ ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6662, 65syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑇)) → (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6766rexlimdvva 3212 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (∃𝑦𝑆𝑧𝑇 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6826, 67sylbid 240 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6968impd 410 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → ((𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
7023, 69biimtrid 242 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑥 ∈ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
7170ssrdv 3988 . 2 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) ⊆ (𝑆 (𝑇𝑈)))
7222, 71eqssd 4000 1 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) = ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3069  cin 3949  wss 3950  cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +gcplusg 17298  0gc0g 17485  Moorecmre 17626  ACScacs 17629  Grpcgrp 18952  invgcminusg 18953  SubGrpcsubg 19139  LSSumclsm 19653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-subg 19142  df-lsm 19655
This theorem is referenced by:  lsmmod2  19695  lcvexchlem2  39037  dihmeetlem9N  41318
  Copyright terms: Public domain W3C validator