Theorem lsmmod 19894

Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmmod.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmmod	⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))

Proof of Theorem lsmmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		inss1 4133	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇)
5		lsmmod.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
6	5	lsmless2 19880	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
7	1, 2, 4, 6	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
8		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ⊆ 𝑈)
9		inss2 4134	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈)
11		subgrcl 19346	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	12	subgacs 19376	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
14		acsmre 17831	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
15	1, 11, 13, 14	4syl 20	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
16		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		mreincl 17774	. . . . . 6 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	15, 2, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
19	5	lsmlub 19883	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈))
20	1, 18, 16, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈))
21	8, 10, 20	mpbi2and 725	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
22	7, 21	ssind 4137	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
23		elin 4093	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
24		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
25	24, 5	lsmelval 19868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
26	1, 2, 25	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
27	1	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28	18	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29		simprll 791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
30		simprlr 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑇)
31	27, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp)
32	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
33	12	subgss 19342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
35	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ⊆ 𝑈)
36	35, 29	sseldd 3909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
37	34, 36	sseldd 3909	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
38		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
39		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
40	12, 24, 38, 39	grplinv 19205	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
41	31, 37, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
42	41	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧))
43	39	subginvcl 19350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
44	32, 36, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
45	34, 44	sseldd 3909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
46		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
47	12	subgss 19342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
49	48, 30	sseldd 3909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
50	12, 24	grpass 19158	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
51	31, 45, 37, 49, 50	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
52	12, 24, 38	grplid 19183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧) = 𝑧)
53	31, 49, 52	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧) = 𝑧)
54	42, 51, 53	3eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = 𝑧)
55		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)
56	24	subgcl 19351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
57	32, 44, 55, 56	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
58	54, 57	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
59	30, 58	elind 4097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))
60	24, 5	lsmelvali 19869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
61	27, 28, 29, 59, 60	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
62	61	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
63		eleq1 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈))
64		eleq1 2848	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
65	63, 64	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))) ↔ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
66	62, 65	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
67	66	rexlimdvva 3219	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
68	26, 67	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
69	68	impd 416	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
70	23, 69	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
71	70	ssrdv 3914	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) ⊆ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
72	22, 71	eqssd 3925	1 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  0_gc0g 17615  Moorecmre 17757  ACScacs 17760  Grpcgrp 19149  inv_gcminusg 19150  SubGrpcsubg 19335  LSSumclsm 19853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-0g 17617  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-subg 19338  df-lsm 19855

This theorem is used by:  lsmmod2  19895  lcvexchlem2  40185  dihmeetlem9N  42465