Theorem lsmmod 19604

Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmmod.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmmod	⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))

Proof of Theorem lsmmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		inss1 4189	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇)
5		lsmmod.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
6	5	lsmless2 19590	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
7	1, 2, 4, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ⊆ 𝑈)
9		inss2 4190	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈)
11		subgrcl 19061	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	12	subgacs 19090	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
14		acsmre 17575	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
15	1, 11, 13, 14	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
16		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		mreincl 17518	. . . . . 6 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	15, 2, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
19	5	lsmlub 19593	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈))
20	1, 18, 16, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈))
21	8, 10, 20	mpbi2and 712	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
22	7, 21	ssind 4193	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
23		elin 3917	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
24		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
25	24, 5	lsmelval 19578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
26	1, 2, 25	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
27	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29		simprll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
30		simprlr 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑇)
31	27, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp)
32	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
33	12	subgss 19057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
35	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ⊆ 𝑈)
36	35, 29	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
37	34, 36	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
38		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
39		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
40	12, 24, 38, 39	grplinv 18919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
41	31, 37, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
42	41	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧))
43	39	subginvcl 19065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
44	32, 36, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
45	34, 44	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
46		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
47	12	subgss 19057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
49	48, 30	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
50	12, 24	grpass 18872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
51	31, 45, 37, 49, 50	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
52	12, 24, 38	grplid 18897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧) = 𝑧)
53	31, 49, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧) = 𝑧)
54	42, 51, 53	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = 𝑧)
55		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)
56	24	subgcl 19066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
57	32, 44, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
58	54, 57	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
59	30, 58	elind 4152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))
60	24, 5	lsmelvali 19579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
61	27, 28, 29, 59, 60	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
62	61	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
63		eleq1 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈))
64		eleq1 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
65	63, 64	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))) ↔ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
66	62, 65	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
67	66	rexlimdvva 3193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
68	26, 67	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
69	68	impd 410	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
70	23, 69	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
71	70	ssrdv 3939	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) ⊆ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
72	22, 71	eqssd 3951	1 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359  Moorecmre 17501  ACScacs 17504  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  SubGrpcsubg 19050  LSSumclsm 19563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19053  df-lsm 19565

This theorem is referenced by:  lsmmod2  19605  lcvexchlem2  39291  dihmeetlem9N  41571