MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmmod 19668
Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmmod.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lsmmod (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) = ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))

Proof of Theorem lsmmod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2 simpl2 1189 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 inss1 4229 . . . . 5 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇
43a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇)
5 lsmmod.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
65lsmless2 19654 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ (𝑆 𝑇))
71, 2, 4, 6syl3anc 1368 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ (𝑆 𝑇))
8 simpr 483 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑆𝑈)
9 inss2 4230 . . . . 5 (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈
109a1i 11 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈)
11 subgrcl 19120 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
1312subgacs 19150 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
14 acsmre 17660 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
151, 11, 13, 144syl 19 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
16 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17 mreincl 17607 . . . . . 6 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1815, 2, 16, 17syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
195lsmlub 19657 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ 𝑈))
201, 18, 16, 19syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → ((𝑆𝑈 ∧ (𝑇𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ 𝑈))
218, 10, 20mpbi2and 710 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ 𝑈)
227, 21ssind 4233 . 2 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) ⊆ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
23 elin 3962 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ∧ 𝑥𝑈))
24 eqid 2725 . . . . . . . 8 (+g𝐺) = (+g𝐺)
2524, 5lsmelval 19642 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ↔ ∃𝑦𝑆𝑧𝑇 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
261, 2, 25syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ↔ ∃𝑦𝑆𝑧𝑇 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧)))
271adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2818adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29 simprll 777 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦𝑆)
30 simprlr 778 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧𝑇)
3127, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp)
3216adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3312subgss 19116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
358adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆𝑈)
3635, 29sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦𝑈)
3734, 36sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
38 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝐺) = (0g𝐺)
39 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (invg𝐺) = (invg𝐺)
4012, 24, 38, 39grplinv 18979 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
4131, 37, 40syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦) = (0g𝐺))
4241oveq1d 7438 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑧))
4339subginvcl 19124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑦𝑈) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
4432, 36, 43syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
4534, 44sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
46 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4712subgss 19116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
4948, 30sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
5012, 24grpass 18932 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
5131, 45, 37, 49, 50syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)𝑦)(+g𝐺)𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)))
5212, 24, 38grplid 18957 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑧) = 𝑧)
5331, 49, 52syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((0g𝐺)(+g𝐺)𝑧) = 𝑧)
5442, 51, 533eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) = 𝑧)
55 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)
5624subgcl 19125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
5732, 44, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg𝐺)‘𝑦)(+g𝐺)(𝑦(+g𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
5854, 57eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧𝑈)
5930, 58elind 4194 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑇𝑈))
6024, 5lsmelvali 19643 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑦𝑆𝑧 ∈ (𝑇𝑈))) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))
6127, 28, 29, 59, 60syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ ((𝑦𝑆𝑧𝑇) ∧ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))
6261expr 455 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑇)) → ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
63 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝑈 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈))
64 eleq1 2813 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)) ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
6563, 64imbi12d 343 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → ((𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))) ↔ ((𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6662, 65syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) ∧ (𝑦𝑆𝑧𝑇)) → (𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6766rexlimdvva 3201 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (∃𝑦𝑆𝑧𝑇 𝑥 = (𝑦(+g𝐺)𝑧) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6826, 67sylbid 239 . . . . 5 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈)))))
6968impd 409 . . . 4 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → ((𝑥 ∈ (𝑆 𝑇) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
7023, 69biimtrid 241 . . 3 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑥 ∈ ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 (𝑇𝑈))))
7170ssrdv 3984 . 2 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) ⊆ (𝑆 (𝑇𝑈)))
7222, 71eqssd 3996 1 (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆𝑈) → (𝑆 (𝑇𝑈)) = ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059  cin 3945  wss 3946  cfv 6553  (class class class)co 7423  Basecbs 17208  +gcplusg 17261  0gc0g 17449  Moorecmre 17590  ACScacs 17593  Grpcgrp 18923  invgcminusg 18924  SubGrpcsubg 19109  LSSumclsm 19627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12260  df-2 12322  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-subg 19112  df-lsm 19629
This theorem is referenced by:  lsmmod2  19669  lcvexchlem2  38681  dihmeetlem9N  40962
  Copyright terms: Public domain W3C validator