Theorem lsmmod 19612

Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmmod.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmmod	⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))

Proof of Theorem lsmmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		inss1 4203	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇)
5		lsmmod.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
6	5	lsmless2 19598	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
7	1, 2, 4, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ⊆ 𝑈)
9		inss2 4204	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈)
11		subgrcl 19070	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	12	subgacs 19100	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
14		acsmre 17620	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
15	1, 11, 13, 14	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
16		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		mreincl 17567	. . . . . 6 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	15, 2, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
19	5	lsmlub 19601	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈))
20	1, 18, 16, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈))
21	8, 10, 20	mpbi2and 712	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
22	7, 21	ssind 4207	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
23		elin 3933	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
24		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
25	24, 5	lsmelval 19586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
26	1, 2, 25	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
27	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29		simprll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
30		simprlr 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑇)
31	27, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp)
32	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
33	12	subgss 19066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
35	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ⊆ 𝑈)
36	35, 29	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
37	34, 36	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
38		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
39		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
40	12, 24, 38, 39	grplinv 18928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
41	31, 37, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
42	41	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧))
43	39	subginvcl 19074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
44	32, 36, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
45	34, 44	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
46		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
47	12	subgss 19066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
49	48, 30	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
50	12, 24	grpass 18881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
51	31, 45, 37, 49, 50	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
52	12, 24, 38	grplid 18906	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧) = 𝑧)
53	31, 49, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧) = 𝑧)
54	42, 51, 53	3eqtr3d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = 𝑧)
55		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)
56	24	subgcl 19075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
57	32, 44, 55, 56	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
58	54, 57	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
59	30, 58	elind 4166	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))
60	24, 5	lsmelvali 19587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
61	27, 28, 29, 59, 60	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
62	61	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
63		eleq1 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈))
64		eleq1 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
65	63, 64	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))) ↔ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
66	62, 65	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
67	66	rexlimdvva 3195	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
68	26, 67	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
69	68	impd 410	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
70	23, 69	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
71	70	ssrdv 3955	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) ⊆ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
72	22, 71	eqssd 3967	1 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Moorecmre 17550  ACScacs 17553  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  SubGrpcsubg 19059  LSSumclsm 19571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-lsm 19573

This theorem is referenced by:  lsmmod2  19613  lcvexchlem2  39035  dihmeetlem9N  41316