Theorem lsmmod 19808

Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmmod.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmmod	⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))

Proof of Theorem lsmmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		inss1 4185	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇)
5		lsmmod.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
6	5	lsmless2 19794	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
7	1, 2, 4, 6	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
8		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ⊆ 𝑈)
9		inss2 4186	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈)
11		subgrcl 19260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	12	subgacs 19290	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
14		acsmre 17746	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
15	1, 11, 13, 14	4syl 20	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
16		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		mreincl 17689	. . . . . 6 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	15, 2, 16, 17	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
19	5	lsmlub 19797	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈))
20	1, 18, 16, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈))
21	8, 10, 20	mpbi2and 725	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
22	7, 21	ssind 4189	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
23		elin 3918	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
24		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
25	24, 5	lsmelval 19782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
26	1, 2, 25	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
27	1	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28	18	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29		simprll 791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
30		simprlr 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑇)
31	27, 11	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp)
32	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
33	12	subgss 19256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
34	32, 33	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
35	8	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ⊆ 𝑈)
36	35, 29	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
37	34, 36	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
38		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
39		eqid 2762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
40	12, 24, 38, 39	grplinv 19119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
41	31, 37, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
42	41	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧))
43	39	subginvcl 19264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
44	32, 36, 43	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
45	34, 44	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
46		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
47	12	subgss 19256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
48	46, 47	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
49	48, 30	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
50	12, 24	grpass 19072	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
51	31, 45, 37, 49, 50	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
52	12, 24, 38	grplid 19097	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧) = 𝑧)
53	31, 49, 52	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧) = 𝑧)
54	42, 51, 53	3eqtr3d 2805	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = 𝑧)
55		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)
56	24	subgcl 19265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
57	32, 44, 55, 56	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
58	54, 57	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
59	30, 58	elind 4149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))
60	24, 5	lsmelvali 19783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
61	27, 28, 29, 59, 60	syl22anc 852	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
62	61	expr 462	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
63		eleq1 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈))
64		eleq1 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
65	63, 64	imbi12d 347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))) ↔ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
66	62, 65	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
67	66	rexlimdvva 3221	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
68	26, 67	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
69	68	impd 416	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
70	23, 69	biimtrid 245	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
71	70	ssrdv 3940	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) ⊆ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
72	22, 71	eqssd 3951	1 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3088   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  0_gc0g 17530  Moorecmre 17672  ACScacs 17675  Grpcgrp 19063  inv_gcminusg 19064  SubGrpcsubg 19249  LSSumclsm 19767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-subg 19252  df-lsm 19769

This theorem is used by:  lsmmod2  19809  lcvexchlem2  39916  dihmeetlem9N  42196