Theorem lsmmod 19717

Description: The modular law holds for subgroup sum. Similar to part of Theorem 16.9 of [MaedaMaeda] p. 70. (Contributed by NM, 2-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmmod.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
lsmmod	⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))

Proof of Theorem lsmmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		simpl2 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		inss1 4258	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇)
5		lsmmod.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
6	5	lsmless2 19703	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑇) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
7	1, 2, 4, 6	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ (𝑆 ⊕ 𝑇))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑆 ⊆ 𝑈)
9		inss2 4259	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈)
11		subgrcl 19171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
12		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
13	12	subgacs 19201	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
14		acsmre 17710	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
15	1, 11, 13, 14	4syl 19	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
16		simpl3 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
17		mreincl 17657	. . . . . 6 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
18	15, 2, 16, 17	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
19	5	lsmlub 19706	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈))
20	1, 18, 16, 19	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑆 ⊆ 𝑈 ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈))
21	8, 10, 20	mpbi2and 711	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ 𝑈)
22	7, 21	ssind 4262	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ⊆ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))
23		elin 3992	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) ↔ (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈))
24		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
25	24, 5	lsmelval 19691	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
26	1, 2, 25	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
27	1	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
28	18	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺))
29		simprll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
30		simprlr 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑇)
31	27, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp)
32	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
33	12	subgss 19167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
35	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑆 ⊆ 𝑈)
36	35, 29	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
37	34, 36	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
38		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
39		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
40	12, 24, 38, 39	grplinv 19029	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
41	31, 37, 40	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦) = (0g‘𝐺))
42	41	oveq1d 7463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧))
43	39	subginvcl 19175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
44	32, 36, 43	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈)
45	34, 44	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
46		simpll2 1213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
47	12	subgss 19167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺))
49	48, 30	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))
50	12, 24	grpass 18982	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺))) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
51	31, 45, 37, 49, 50	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)(+g‘𝐺)𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)))
52	12, 24, 38	grplid 19007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐺)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧) = 𝑧)
53	31, 49, 52	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → ((0g‘𝐺)(+g‘𝐺)𝑧) = 𝑧)
54	42, 51, 53	3eqtr3d 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) = 𝑧)
55		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)
56	24	subgcl 19176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑦) ∈ 𝑈 ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
57	32, 44, 55, 56	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑦)(+g‘𝐺)(𝑦(+g‘𝐺)𝑧)) ∈ 𝑈)
58	54, 57	eqeltrrd 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
59	30, 58	elind 4223	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))
60	24, 5	lsmelvali 19692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ (𝑇 ∩ 𝑈))) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
61	27, 28, 29, 59, 60	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇) ∧ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈)) → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
62	61	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
63		eleq1 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈))
64		eleq1 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
65	63, 64	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))) ↔ ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ 𝑈 → (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
66	62, 65	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑇)) → (𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
67	66	rexlimdvva 3219	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (∃𝑦 ∈ 𝑆 ∃𝑧 ∈ 𝑇 𝑥 = (𝑦(+g‘𝐺)𝑧) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
68	26, 67	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))))
69	68	impd 410	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
70	23, 69	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑥 ∈ ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) → 𝑥 ∈ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈))))
71	70	ssrdv 4014	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) ⊆ (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)))
72	22, 71	eqssd 4026	1 ⊢ (((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑈) → (𝑆 ⊕ (𝑇 ∩ 𝑈)) = ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3076   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  Moorecmre 17640  ACScacs 17643  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  SubGrpcsubg 19160  LSSumclsm 19676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-0g 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-lsm 19678

This theorem is referenced by:  lsmmod2  19718  lcvexchlem2  38991  dihmeetlem9N  41272