Theorem lssacs 20888

Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lssacs.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssacs	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem lssacs

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssacs.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		lssacs.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20857	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ⊆ 𝐵))
5		inss2 4191	. . . . . . . 8 ⊢ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}
6		ssrab2 4033	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ⊆ 𝒫 𝐵
7	5, 6	sstri 3947	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ 𝒫 𝐵
8	7	sseli 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
9	8	elpwid 4562	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ⊆ 𝐵))
11		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	11, 12, 1, 13, 2	islss4 20883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
16		velpw 4558	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐵)
17		eleq2w 2812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
18	17	raleqbi1dv 3302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
19	18	ralbidv 3152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
20	19	elrab3 3651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
21	16, 20	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
23	22	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
24	15, 23	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
25		elin 3921	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
26	24, 25	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
27	26	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))))
28	4, 10, 27	pm5.21ndd 379	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
29	28	eqrdv 2727	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
30	1	fvexi 6840	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
31		mreacs 17582	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
32	30, 31	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
33		lmodgrp 20788	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
34	1	subgacs 19058	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
36	1, 11, 13, 12	lmodvscl 20799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
37	36	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
38	37	ralrimivva 3172	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
39		acsfn1c 17586	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
40	30, 38, 39	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
41		mreincl 17519	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
42	32, 35, 40, 41	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
43	29, 42	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3396  Vcvv 3438   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  Moorecmre 17502  ACScacs 17505  Grpcgrp 18830  SubGrpcsubg 19017  LModclmod 20781  LSubSpclss 20852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-subg 19020  df-mgp 20044  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20783  df-lss 20853

This theorem is referenced by:  lssacsex  21069  lidlacs  21159