Theorem lssacs 20229

Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lssacs.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssacs	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem lssacs

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssacs.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		lssacs.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20198	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ⊆ 𝐵))
5		inss2 4163	. . . . . . . 8 ⊢ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}
6		ssrab2 4013	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ⊆ 𝒫 𝐵
7	5, 6	sstri 3930	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ 𝒫 𝐵
8	7	sseli 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
9	8	elpwid 4544	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ⊆ 𝐵))
11		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	11, 12, 1, 13, 2	islss4 20224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
16		velpw 4538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐵)
17		eleq2w 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
18	17	raleqbi1dv 3340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
19	18	ralbidv 3112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
20	19	elrab3 3625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
21	16, 20	sylbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
22	21	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
23	22	anbi2d 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
24	15, 23	bitr4d 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
25		elin 3903	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
26	24, 25	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
27	26	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))))
28	4, 10, 27	pm5.21ndd 381	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
29	28	eqrdv 2736	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
30	1	fvexi 6788	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
31		mreacs 17367	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
32	30, 31	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
33		lmodgrp 20130	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
34	1	subgacs 18789	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
36	1, 11, 13, 12	lmodvscl 20140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
37	36	3expb 1119	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
38	37	ralrimivva 3123	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
39		acsfn1c 17371	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
40	30, 38, 39	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
41		mreincl 17308	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
42	32, 35, 40, 41	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
43	29, 42	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  Moorecmre 17291  ACScacs 17294  Grpcgrp 18577  SubGrpcsubg 18749  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194

This theorem is referenced by:  lssacsex  20406  lidlacs  20492