MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssacs 19668
Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacs.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lssacs.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssacs (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem lssacs
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssacs.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 lssacs.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2lssss 19637 . . . . 5 (𝑎𝑆𝑎𝐵)
43a1i 11 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑎𝑆𝑎𝐵))
5 inss2 4203 . . . . . . . 8 ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}
6 ssrab2 4053 . . . . . . . 8 {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ⊆ 𝒫 𝐵
75, 6sstri 3973 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ 𝒫 𝐵
87sseli 3960 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
98elpwid 4549 . . . . 5 (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎𝐵)
109a1i 11 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎𝐵))
11 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13 eqid 2818 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
1411, 12, 1, 13, 2islss4 19663 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (𝑎𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
16 velpw 4543 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵𝑎𝐵)
17 eleq2w 2893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 𝑎 → ((𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
1817raleqbi1dv 3401 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
1918ralbidv 3194 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
2019elrab3 3678 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
2116, 20sylbir 236 . . . . . . . . 9 (𝑎𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
2221adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
2322anbi2d 628 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵) → ((𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑎 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
2415, 23bitr4d 283 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
25 elin 4166 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
2624, 25syl6bbr 290 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎𝐵) → (𝑎𝑆𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
2726ex 413 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → (𝑎𝐵 → (𝑎𝑆𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))))
284, 10, 27pm5.21ndd 381 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑎𝑆𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
2928eqrdv 2816 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
301fvexi 6677 . . . 4 𝐵 ∈ V
31 mreacs 16917 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
3230, 31mp1i 13 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
33 lmodgrp 19570 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
341subgacs 18251 . . . 4 (𝑊 ∈ Grp → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
3533, 34syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
361, 11, 13, 12lmodvscl 19580 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
37363expb 1112 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
3837ralrimivva 3188 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝐵 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
39 acsfn1c 16921 . . . 4 ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝐵 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
4030, 38, 39sylancr 587 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
41 mreincl 16858 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
4232, 35, 40, 41syl3anc 1363 . 2 (𝑊 ∈ LMod → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦𝑏 (𝑥( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
4329, 42eqeltrd 2910 1 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {crab 3139  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  Moorecmre 16841  ACScacs 16844  Grpcgrp 18041  SubGrpcsubg 18211  LModclmod 19563  LSubSpclss 19632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lss 19633
This theorem is referenced by:  lssacsex  19845  lidlacs  19922
  Copyright terms: Public domain W3C validator