Theorem lssacs 20144

Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lssacs.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssacs	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem lssacs

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssacs.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		lssacs.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20113	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ⊆ 𝐵))
5		inss2 4160	. . . . . . . 8 ⊢ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}
6		ssrab2 4009	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ⊆ 𝒫 𝐵
7	5, 6	sstri 3926	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ 𝒫 𝐵
8	7	sseli 3913	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
9	8	elpwid 4541	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ⊆ 𝐵))
11		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	11, 12, 1, 13, 2	islss4 20139	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
16		velpw 4535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐵)
17		eleq2w 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
18	17	raleqbi1dv 3331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
19	18	ralbidv 3120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
20	19	elrab3 3618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
21	16, 20	sylbir 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
23	22	anbi2d 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
24	15, 23	bitr4d 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
25		elin 3899	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
26	24, 25	bitr4di 288	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
27	26	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))))
28	4, 10, 27	pm5.21ndd 380	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
29	28	eqrdv 2736	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
30	1	fvexi 6770	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
31		mreacs 17284	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
32	30, 31	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
33		lmodgrp 20045	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
34	1	subgacs 18704	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
36	1, 11, 13, 12	lmodvscl 20055	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
37	36	3expb 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
38	37	ralrimivva 3114	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
39		acsfn1c 17288	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
40	30, 38, 39	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
41		mreincl 17225	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
42	32, 35, 40, 41	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
43	29, 42	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {crab 3067  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  Moorecmre 17208  ACScacs 17211  Grpcgrp 18492  SubGrpcsubg 18664  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lss 20109

This theorem is referenced by:  lssacsex  20321  lidlacs  20405