Theorem lssacs 20962

Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lssacs.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssacs	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem lssacs

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssacs.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		lssacs.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20931	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ⊆ 𝐵))
5		inss2 4178	. . . . . . . 8 ⊢ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}
6		ssrab2 4020	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ⊆ 𝒫 𝐵
7	5, 6	sstri 3931	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ 𝒫 𝐵
8	7	sseli 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
9	8	elpwid 4550	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ⊆ 𝐵))
11		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	11, 12, 1, 13, 2	islss4 20957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
16		velpw 4546	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐵)
17		eleq2w 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
18	17	raleqbi1dv 3305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
19	18	ralbidv 3160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
20	19	elrab3 3635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
21	16, 20	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
23	22	anbi2d 631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
24	15, 23	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
25		elin 3905	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
26	24, 25	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
27	26	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))))
28	4, 10, 27	pm5.21ndd 379	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
29	28	eqrdv 2734	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
30	1	fvexi 6854	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
31		mreacs 17624	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
32	30, 31	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
33		lmodgrp 20862	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
34	1	subgacs 19136	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
36	1, 11, 13, 12	lmodvscl 20873	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
37	36	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
38	37	ralrimivva 3180	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
39		acsfn1c 17628	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
40	30, 38, 39	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
41		mreincl 17561	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
42	32, 35, 40, 41	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
43	29, 42	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {crab 3389  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  Moorecmre 17544  ACScacs 17547  Grpcgrp 18909  SubGrpcsubg 19096  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927

This theorem is referenced by:  lssacsex  21142  lidlacs  21232