Theorem lssacs 20909

Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lssacs.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lssacs	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem lssacs

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssacs.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		lssacs.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssss 20878	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ⊆ 𝐵)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 → 𝑎 ⊆ 𝐵))
5		inss2 4211	. . . . . . . 8 ⊢ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}
6		ssrab2 4053	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ⊆ 𝒫 𝐵
7	5, 6	sstri 3966	. . . . . . 7 ⊢ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ⊆ 𝒫 𝐵
8	7	sseli 3952	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝐵)
9	8	elpwid 4582	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ⊆ 𝐵)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) → 𝑎 ⊆ 𝐵))
11		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
12		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14	11, 12, 1, 13, 2	islss4 20904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
15	14	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
16		velpw 4578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑎 ⊆ 𝐵)
17		eleq2w 2817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
18	17	raleqbi1dv 3315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
19	18	ralbidv 3161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
20	19	elrab3 3670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
21	16, 20	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
22	21	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎))
23	22	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ((𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑎 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑎)))
24	15, 23	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
25		elin 3940	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑎 ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
26	24, 25	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
27	26	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ⊆ 𝐵 → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))))
28	4, 10, 27	pm5.21ndd 379	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏})))
29	28	eqrdv 2732	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 = ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}))
30	1	fvexi 6886	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
31		mreacs 17655	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
32	30, 31	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
33		lmodgrp 20809	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
34	1	subgacs 19129	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
35	33, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵))
36	1, 11, 13, 12	lmodvscl 20820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
37	36	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
38	37	ralrimivva 3185	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
39		acsfn1c 17659	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵) → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
40	30, 38, 39	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵))
41		mreincl 17596	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝑊) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
42	32, 35, 40, 41	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((SubGrp‘𝑊) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∀𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ 𝑏 (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACS‘𝐵))
43	29, 42	eqeltrd 2833	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  {crab 3413  Vcvv 3457   ∩ cin 3923   ⊆ wss 3924  𝒫 cpw 4573  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  Basecbs 17213  Scalarcsca 17259   ·_𝑠 cvsca 17260  Moorecmre 17579  ACScacs 17582  Grpcgrp 18901  SubGrpcsubg 19088  LModclmod 20802  LSubSpclss 20873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-0g 17440  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-acs 17586  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-subg 19091  df-mgp 20086  df-ur 20127  df-ring 20180  df-lmod 20804  df-lss 20874

This theorem is referenced by:  lssacsex  21090  lidlacs  21180