MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssacs 20812
Description: Submodules are an algebraic closure system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssacs.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
lssacs.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lssacs (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ (ACSβ€˜π΅))

Proof of Theorem lssacs
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lssacs.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lssacs.s . . . . . 6 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssss 20781 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝑆 β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
43a1i 11 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡))
5 inss2 4224 . . . . . . . 8 ((SubGrpβ€˜π‘Š) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏}) βŠ† {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏}
6 ssrab2 4072 . . . . . . . 8 {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏} βŠ† 𝒫 𝐡
75, 6sstri 3986 . . . . . . 7 ((SubGrpβ€˜π‘Š) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏}) βŠ† 𝒫 𝐡
87sseli 3973 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ((SubGrpβ€˜π‘Š) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏}) β†’ π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡)
98elpwid 4606 . . . . 5 (π‘Ž ∈ ((SubGrpβ€˜π‘Š) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏}) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡)
109a1i 11 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Ž ∈ ((SubGrpβ€˜π‘Š) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏}) β†’ π‘Ž βŠ† 𝐡))
11 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
12 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
13 eqid 2726 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
1411, 12, 1, 13, 2islss4 20807 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ↔ (π‘Ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ π‘Ž (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘Ž)))
1514adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ↔ (π‘Ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ π‘Ž (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘Ž)))
16 velpw 4602 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡 ↔ π‘Ž βŠ† 𝐡)
17 eleq2w 2811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = π‘Ž β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘Ž))
1817raleqbi1dv 3327 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = π‘Ž β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘Ž (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘Ž))
1918ralbidv 3171 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = π‘Ž β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ π‘Ž (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘Ž))
2019elrab3 3679 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (π‘Ž ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ π‘Ž (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘Ž))
2116, 20sylbir 234 . . . . . . . . 9 (π‘Ž βŠ† 𝐡 β†’ (π‘Ž ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ π‘Ž (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘Ž))
2221adantl 481 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ π‘Ž (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘Ž))
2322anbi2d 628 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž βŠ† 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (π‘Ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ π‘Ž (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ π‘Ž)))
2415, 23bitr4d 282 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ↔ (π‘Ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏})))
25 elin 3959 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ ((SubGrpβ€˜π‘Š) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏}) ↔ (π‘Ž ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ π‘Ž ∈ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏}))
2624, 25bitr4di 289 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Ž βŠ† 𝐡) β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ↔ π‘Ž ∈ ((SubGrpβ€˜π‘Š) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏})))
2726ex 412 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Ž βŠ† 𝐡 β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ↔ π‘Ž ∈ ((SubGrpβ€˜π‘Š) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏}))))
284, 10, 27pm5.21ndd 379 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘Ž ∈ 𝑆 ↔ π‘Ž ∈ ((SubGrpβ€˜π‘Š) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏})))
2928eqrdv 2724 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 = ((SubGrpβ€˜π‘Š) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏}))
301fvexi 6898 . . . 4 𝐡 ∈ V
31 mreacs 17609 . . . 4 (𝐡 ∈ V β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
3230, 31mp1i 13 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡))
33 lmodgrp 20711 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
341subgacs 19086 . . . 4 (π‘Š ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∈ (ACSβ€˜π΅))
3533, 34syl 17 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∈ (ACSβ€˜π΅))
361, 11, 13, 12lmodvscl 20722 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡)
37363expb 1117 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡)
3837ralrimivva 3194 . . . 4 (π‘Š ∈ LMod β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡)
39 acsfn1c 17613 . . . 4 ((𝐡 ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡) β†’ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACSβ€˜π΅))
4030, 38, 39sylancr 586 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACSβ€˜π΅))
41 mreincl 17550 . . 3 (((ACSβ€˜π΅) ∈ (Mooreβ€˜π’« 𝐡) ∧ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∈ (ACSβ€˜π΅) ∧ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏} ∈ (ACSβ€˜π΅)) β†’ ((SubGrpβ€˜π‘Š) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
4232, 35, 40, 41syl3anc 1368 . 2 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((SubGrpβ€˜π‘Š) ∩ {𝑏 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))βˆ€π‘¦ ∈ 𝑏 (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝑏}) ∈ (ACSβ€˜π΅))
4329, 42eqeltrd 2827 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ (ACSβ€˜π΅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  Moorecmre 17533  ACScacs 17536  Grpcgrp 18861  SubGrpcsubg 19045  LModclmod 20704  LSubSpclss 20776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-lmod 20706  df-lss 20777
This theorem is referenced by:  lssacsex  20993  lidlacs  21091
  Copyright terms: Public domain W3C validator