Theorem subrgacs 20700

Description: Closure property of subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgacs	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subrgacs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	issubrg3 20551	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))))
3		elin 3960	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))))
4	2, 3	bitr4di 288	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))))
5	4	eqrdv 2723	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) = ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))))
6		subrgacs.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	6	fvexi 6910	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
8		mreacs 17641	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
9	7, 8	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
10		ringgrp 20190	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
11	6	subgacs 19124	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
13	1	ringmgp 20191	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
14	1, 6	mgpbas 20092	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
15	14	submacs 18787	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵))
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵))
17		mreincl 17582	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ (ACS‘𝐵))
18	9, 12, 16, 17	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ (ACS‘𝐵))
19	5, 18	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ∩ cin 3943  𝒫 cpw 4604  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  Moorecmre 17565  ACScacs 17568  Mndcmnd 18697  SubMndcsubmnd 18742  Grpcgrp 18898  SubGrpcsubg 19083  mulGrpcmgp 20086  Ringcrg 20185  SubRingcsubrg 20518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-0g 17426  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19086  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-subrng 20495  df-subrg 20520

This theorem is referenced by:  sdrgacs  20701