Theorem subrgacs 20068

Description: Closure property of subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgacs	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subrgacs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	issubrg3 20052	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))))
3		elin 3903	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))))
4	2, 3	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))))
5	4	eqrdv 2736	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) = ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))))
6		subrgacs.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	6	fvexi 6788	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
8		mreacs 17367	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
9	7, 8	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
10		ringgrp 19788	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
11	6	subgacs 18789	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
13	1	ringmgp 19789	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
14	1, 6	mgpbas 19726	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
15	14	submacs 18465	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵))
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵))
17		mreincl 17308	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ (ACS‘𝐵))
18	9, 12, 16, 17	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ (ACS‘𝐵))
19	5, 18	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ∩ cin 3886  𝒫 cpw 4533  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  Moorecmre 17291  ACScacs 17294  Mndcmnd 18385  SubMndcsubmnd 18429  Grpcgrp 18577  SubGrpcsubg 18749  mulGrpcmgp 19720  Ringcrg 19783  SubRingcsubrg 20020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022

This theorem is referenced by:  sdrgacs  20069