Theorem subrgacs 20777

Description: Closure property of subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subrgacs.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrgacs	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subrgacs

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	issubrg3 20577	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))))
3		elin 3905	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))))
4	2, 3	bitr4di 289	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))))
5	4	eqrdv 2734	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) = ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))))
6		subrgacs.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	6	fvexi 6854	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
8		mreacs 17624	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
9	7, 8	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
10		ringgrp 20219	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
11	6	subgacs 19136	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
13	1	ringmgp 20220	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
14	1, 6	mgpbas 20126	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
15	14	submacs 18795	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵))
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵))
17		mreincl 17561	. . 3 ⊢ (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ (ACS‘𝐵))
18	9, 12, 16, 17	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ (ACS‘𝐵))
19	5, 18	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∩ cin 3888  𝒫 cpw 4541  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  Moorecmre 17544  ACScacs 17547  Mndcmnd 18702  SubMndcsubmnd 18750  Grpcgrp 18909  SubGrpcsubg 19096  mulGrpcmgp 20121  Ringcrg 20214  SubRingcsubrg 20546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-subg 19099  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-subrng 20523  df-subrg 20547

This theorem is referenced by:  sdrgacs  20778