Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subrgacs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subrgacs 19501
 Description: Closure property of subrings. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgacs.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
subrgacs (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))

Proof of Theorem subrgacs
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . . . 5 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
21issubrg3 19485 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))))
3 elin 4172 . . . 4 (𝑥 ∈ ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ↔ (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))))
42, 3syl6bbr 290 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)))))
54eqrdv 2823 . 2 (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) = ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))))
6 subrgacs.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
76fvexi 6680 . . . 4 𝐵 ∈ V
8 mreacs 16921 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
97, 8mp1i 13 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵))
10 ringgrp 19224 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
116subgacs 18245 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp → (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
1210, 11syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
131ringmgp 19225 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
141, 6mgpbas 19167 . . . . 5 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1514submacs 17976 . . . 4 ((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd → (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵))
1613, 15syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵))
17 mreincl 16862 . . 3 (((ACS‘𝐵) ∈ (Moore‘𝒫 𝐵) ∧ (SubGrp‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵) ∧ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅)) ∈ (ACS‘𝐵)) → ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ (ACS‘𝐵))
189, 12, 16, 17syl3anc 1365 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ((SubGrp‘𝑅) ∩ (SubMnd‘(mulGrp‘𝑅))) ∈ (ACS‘𝐵))
195, 18eqeltrd 2917 1 (𝑅 ∈ Ring → (SubRing‘𝑅) ∈ (ACS‘𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  Vcvv 3499   ∩ cin 3938  𝒫 cpw 4541  ‘cfv 6351  Basecbs 16475  Moorecmre 16845  ACScacs 16848  Mndcmnd 17902  SubMndcsubmnd 17945  Grpcgrp 18035  SubGrpcsubg 18205  mulGrpcmgp 19161  Ringcrg 19219  SubRingcsubrg 19453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-0g 16707  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-subg 18208  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-subrg 19455 This theorem is referenced by:  sdrgacs  19502
 Copyright terms: Public domain W3C validator