Theorem mrelatglb 18630

Description: Greatest lower bounds in a Moore space are realized by intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) See mrelatglbALT 48668 for an alternate proof.

Hypotheses

Ref	Expression
mreclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mrelatglb	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝐺‘𝑈) = ∩ 𝑈)

Proof of Theorem mrelatglb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		mreclat.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
3	2	ipobas 18601	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
4	3	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
5		mrelatglb.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐺 = (glb‘𝐼))
7	2	ipopos 18606	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐼 ∈ Poset)
9		simp2 1137	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ⊆ 𝐶)
10		mreintcl 17653	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∩ 𝑈 ∈ 𝐶)
11		intss1 4987	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → ∩ 𝑈 ⊆ 𝑥)
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∩ 𝑈 ⊆ 𝑥)
13		simpl1 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
14	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∩ 𝑈 ∈ 𝐶)
15	9	sselda 4008	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐶)
16	2, 1	ipole 18604	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∩ 𝑈 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (∩ 𝑈(le‘𝐼)𝑥 ↔ ∩ 𝑈 ⊆ 𝑥))
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∩ 𝑈(le‘𝐼)𝑥 ↔ ∩ 𝑈 ⊆ 𝑥))
18	12, 17	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∩ 𝑈(le‘𝐼)𝑥)
19		simpll1 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
20		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝐶)
21		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑈 ⊆ 𝐶)
22	21	sselda 4008	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐶)
23	2, 1	ipole 18604	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
24	19, 20, 22, 23	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
25	24	biimpd 229	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
26	25	ralimdva 3173	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ⊆ 𝑥))
27	26	3impia 1117	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ⊆ 𝑥)
28		ssint 4988	. . . 4 ⊢ (𝑦 ⊆ ∩ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ⊆ 𝑥)
29	27, 28	sylibr 234	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦 ⊆ ∩ 𝑈)
30		simp11 1203	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
31		simp2 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐶)
32	10	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → ∩ 𝑈 ∈ 𝐶)
33	2, 1	ipole 18604	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∩ 𝑈 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)∩ 𝑈 ↔ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑈))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → (𝑦(le‘𝐼)∩ 𝑈 ↔ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑈))
35	29, 34	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦(le‘𝐼)∩ 𝑈)
36	1, 4, 6, 8, 9, 10, 18, 35	posglbdg 18485	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝐺‘𝑈) = ∩ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ∩ cint 4970   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  Moorecmre 17640  Posetcpo 18377  glbcglb 18380  toInccipo 18597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ocomp 17332  df-mre 17644  df-odu 18357  df-proset 18365  df-poset 18383  df-lub 18416  df-glb 18417  df-ipo 18598

This theorem is referenced by:  mreclatBAD  18633