MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrelatglb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mrelatglb 17790
Description: Greatest lower bounds in a Moore space are realized by intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatglb.g 𝐺 = (glb‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
mrelatglb ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → (𝐺𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem mrelatglb
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2801 . 2 (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toInc‘𝐶)
32ipobas 17761 . . 3 (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
433ad2ant1 1130 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
5 mrelatglb.g . . 3 𝐺 = (glb‘𝐼)
65a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝐺 = (glb‘𝐼))
72ipopos 17766 . . 3 𝐼 ∈ Poset
87a1i 11 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝐼 ∈ Poset)
9 simp2 1134 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝑈𝐶)
10 mreintcl 16862 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → 𝑈𝐶)
11 intss1 4856 . . . 4 (𝑥𝑈 𝑈𝑥)
1211adantl 485 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈𝑥)
13 simpl1 1188 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
1410adantr 484 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈𝐶)
159sselda 3918 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
162, 1ipole 17764 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑥𝐶) → ( 𝑈(le‘𝐼)𝑥 𝑈𝑥))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → ( 𝑈(le‘𝐼)𝑥 𝑈𝑥))
1812, 17mpbird 260 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑈(le‘𝐼)𝑥)
19 simpll1 1209 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
20 simplr 768 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑦𝐶)
21 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) → 𝑈𝐶)
2221sselda 3918 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → 𝑥𝐶)
232, 1ipole 17764 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦𝐶𝑥𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥𝑦𝑥))
2419, 20, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥𝑦𝑥))
2524biimpd 232 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥𝑦𝑥))
2625ralimdva 3147 . . . . 5 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶) → (∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥 → ∀𝑥𝑈 𝑦𝑥))
27263impia 1114 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → ∀𝑥𝑈 𝑦𝑥)
28 ssint 4857 . . . 4 (𝑦 𝑈 ↔ ∀𝑥𝑈 𝑦𝑥)
2927, 28sylibr 237 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦 𝑈)
30 simp11 1200 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
31 simp2 1134 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦𝐶)
32103ad2ant1 1130 . . . 4 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑈𝐶)
332, 1ipole 17764 . . . 4 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦𝐶 𝑈𝐶) → (𝑦(le‘𝐼) 𝑈𝑦 𝑈))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1368 . . 3 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → (𝑦(le‘𝐼) 𝑈𝑦 𝑈))
3529, 34mpbird 260 . 2 (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦𝐶 ∧ ∀𝑥𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦(le‘𝐼) 𝑈)
361, 4, 6, 8, 9, 10, 18, 35posglbd 17756 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈𝐶𝑈 ≠ ∅) → (𝐺𝑈) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wss 3884  c0 4246   cint 4841   class class class wbr 5033  cfv 6328  Basecbs 16479  lecple 16568  Moorecmre 16849  Posetcpo 17546  glbcglb 17549  toInccipo 17757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ocomp 16582  df-mre 16853  df-proset 17534  df-poset 17552  df-lub 17580  df-glb 17581  df-odu 17735  df-ipo 17758
This theorem is referenced by:  mreclatBAD  17793
  Copyright terms: Public domain W3C validator