Theorem mrelatglb 18651

Description: Greatest lower bounds in a Moore space are realized by intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) See mrelatglbALT 49925 for an alternate proof.

Hypotheses

Ref	Expression
mreclat.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mrelatglb	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝐺‘𝑈) = ∩ 𝑈)

Proof of Theorem mrelatglb

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. 2 ⊢ (le‘𝐼) = (le‘𝐼)
2		mreclat.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
3	2	ipobas 18622	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
4	3	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐶 = (Base‘𝐼))
5		mrelatglb.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐺 = (glb‘𝐼))
7	2	ipopos 18627	. . 3 ⊢ 𝐼 ∈ Poset
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐼 ∈ Poset)
9		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ⊆ 𝐶)
10		mreintcl 17682	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∩ 𝑈 ∈ 𝐶)
11		intss1 4923	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → ∩ 𝑈 ⊆ 𝑥)
12	11	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∩ 𝑈 ⊆ 𝑥)
13		simpl1 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
14	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∩ 𝑈 ∈ 𝐶)
15	9	sselda 3931	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐶)
16	2, 1	ipole 18625	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∩ 𝑈 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (∩ 𝑈(le‘𝐼)𝑥 ↔ ∩ 𝑈 ⊆ 𝑥))
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∩ 𝑈(le‘𝐼)𝑥 ↔ ∩ 𝑈 ⊆ 𝑥))
18	12, 17	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ∩ 𝑈(le‘𝐼)𝑥)
19		simpll1 1231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
20		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑦 ∈ 𝐶)
21		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑈 ⊆ 𝐶)
22	21	sselda 3931	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝐶)
23	2, 1	ipole 18625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
24	19, 20, 22, 23	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥 ↔ 𝑦 ⊆ 𝑥))
25	24	biimpd 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝑦(le‘𝐼)𝑥 → 𝑦 ⊆ 𝑥))
26	25	ralimdva 3174	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥 → ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ⊆ 𝑥))
27	26	3impia 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ⊆ 𝑥)
28		ssint 4924	. . . 4 ⊢ (𝑦 ⊆ ∩ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦 ⊆ 𝑥)
29	27, 28	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦 ⊆ ∩ 𝑈)
30		simp11 1222	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
31		simp2 1155	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐶)
32	10	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → ∩ 𝑈 ∈ 𝐶)
33	2, 1	ipole 18625	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∩ 𝑈 ∈ 𝐶) → (𝑦(le‘𝐼)∩ 𝑈 ↔ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑈))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → (𝑦(le‘𝐼)∩ 𝑈 ↔ 𝑦 ⊆ ∩ 𝑈))
35	29, 34	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 𝑦(le‘𝐼)𝑥) → 𝑦(le‘𝐼)∩ 𝑈)
36	1, 4, 6, 8, 9, 10, 18, 35	posglbdg 18504	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝐺‘𝑈) = ∩ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∩ cint 4907   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  Basecbs 17304  lecple 17352  Moorecmre 17669  Posetcpo 18398  glbcglb 18401  toInccipo 18618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13565  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ocomp 17366  df-mre 17673  df-odu 18378  df-proset 18385  df-poset 18404  df-lub 18435  df-glb 18436  df-ipo 18619

This theorem is used by:  mreclatBAD  18654