MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mrelatglb Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mrelatglb 18518
Description: Greatest lower bounds in a Moore space are realized by intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) See mrelatglbALT 47709 for an alternate proof.
Hypotheses
Ref Expression
mreclat.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
mrelatglb.g 𝐺 = (glbβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
mrelatglb ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ (πΊβ€˜π‘ˆ) = ∩ π‘ˆ)
Proof of Theorem mrelatglb
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . 2 (leβ€˜πΌ) = (leβ€˜πΌ)
2 mreclat.i . . . 4 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
32ipobas 18489 . . 3 (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 = (Baseβ€˜πΌ))
433ad2ant1 1132 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ 𝐢 = (Baseβ€˜πΌ))
5 mrelatglb.g . . 3 𝐺 = (glbβ€˜πΌ)
65a1i 11 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 = (glbβ€˜πΌ))
72ipopos 18494 . . 3 𝐼 ∈ Poset
87a1i 11 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ 𝐼 ∈ Poset)
9 simp2 1136 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐢)
10 mreintcl 17544 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘ˆ ∈ 𝐢)
11 intss1 4967 . . . 4 (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ ∩ π‘ˆ βŠ† π‘₯)
1211adantl 481 . . 3 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ∩ π‘ˆ βŠ† π‘₯)
13 simpl1 1190 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
1410adantr 480 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ∩ π‘ˆ ∈ 𝐢)
159sselda 3982 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
162, 1ipole 18492 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ ∩ π‘ˆ ∈ 𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (∩ π‘ˆ(leβ€˜πΌ)π‘₯ ↔ ∩ π‘ˆ βŠ† π‘₯))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1370 . . 3 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (∩ π‘ˆ(leβ€˜πΌ)π‘₯ ↔ ∩ π‘ˆ βŠ† π‘₯))
1812, 17mpbird 257 . 2 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ∩ π‘ˆ(leβ€˜πΌ)π‘₯)
19 simpll1 1211 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
20 simplr 766 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
21 simpl2 1191 . . . . . . . . 9 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐢)
2221sselda 3982 . . . . . . . 8 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝐢)
232, 1ipole 18492 . . . . . . . 8 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ π‘₯ ∈ 𝐢) β†’ (𝑦(leβ€˜πΌ)π‘₯ ↔ 𝑦 βŠ† π‘₯))
2419, 20, 22, 23syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦(leβ€˜πΌ)π‘₯ ↔ 𝑦 βŠ† π‘₯))
2524biimpd 228 . . . . . 6 ((((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑦(leβ€˜πΌ)π‘₯ β†’ 𝑦 βŠ† π‘₯))
2625ralimdva 3166 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ 𝑦(leβ€˜πΌ)π‘₯ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ 𝑦 βŠ† π‘₯))
27263impia 1116 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ 𝑦(leβ€˜πΌ)π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ 𝑦 βŠ† π‘₯)
28 ssint 4968 . . . 4 (𝑦 βŠ† ∩ π‘ˆ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ 𝑦 βŠ† π‘₯)
2927, 28sylibr 233 . . 3 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ 𝑦(leβ€˜πΌ)π‘₯) β†’ 𝑦 βŠ† ∩ π‘ˆ)
30 simp11 1202 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ 𝑦(leβ€˜πΌ)π‘₯) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
31 simp2 1136 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ 𝑦(leβ€˜πΌ)π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ 𝐢)
32103ad2ant1 1132 . . . 4 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ 𝑦(leβ€˜πΌ)π‘₯) β†’ ∩ π‘ˆ ∈ 𝐢)
332, 1ipole 18492 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ ∩ π‘ˆ ∈ 𝐢) β†’ (𝑦(leβ€˜πΌ)∩ π‘ˆ ↔ 𝑦 βŠ† ∩ π‘ˆ))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1370 . . 3 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ 𝑦(leβ€˜πΌ)π‘₯) β†’ (𝑦(leβ€˜πΌ)∩ π‘ˆ ↔ 𝑦 βŠ† ∩ π‘ˆ))
3529, 34mpbird 257 . 2 (((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) ∧ 𝑦 ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ 𝑦(leβ€˜πΌ)π‘₯) β†’ 𝑦(leβ€˜πΌ)∩ π‘ˆ)
361, 4, 6, 8, 9, 10, 18, 35posglbdg 18373 1 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ (πΊβ€˜π‘ˆ) = ∩ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆ© cint 4950   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17149  lecple 17209  Moorecmre 17531  Posetcpo 18265  glbcglb 18268  toInccipo 18485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ocomp 17223  df-mre 17535  df-odu 18245  df-proset 18253  df-poset 18271  df-lub 18304  df-glb 18305  df-ipo 18486
This theorem is referenced by:  mreclatBAD  18521
  Copyright terms: Public domain W3C validator