Theorem mrelatglbALT 50441

Description: Greatest lower bounds in a Moore space are realized by intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Proof shortened by Zhi Wang, 29-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mreclatGOOD.i	⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
mrelatglbALT.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
mrelatglbALT	⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝐺‘𝑈) = ∩ 𝑈)

Proof of Theorem mrelatglbALT

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mreclatGOOD.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (toInc‘𝐶)
2		simp1 1154	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
3		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑈 ⊆ 𝐶)
4		mrelatglbALT.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐼)
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐺 = (glb‘𝐼))
6		mreintcl 17815	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∩ 𝑈 ∈ 𝐶)
7		unimax 4910	. . . 4 ⊢ (∩ 𝑈 ∈ 𝐶 → ∪ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑈} = ∩ 𝑈)
8	7	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (∩ 𝑈 ∈ 𝐶 → ∩ 𝑈 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑈})
9	6, 8	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∩ 𝑈 = ∪ {𝑥 ∈ 𝐶 ∣ 𝑥 ⊆ ∩ 𝑈})
10	1, 2, 3, 5, 9, 6	ipoglb 50436	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝑈 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝐺‘𝑈) = ∩ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ∪ cuni 4872  ∩ cint 4912  ‘cfv 6566  Moorecmre 17802  glbcglb 18534  toInccipo 18751

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ocomp 17494  df-mre 17806  df-odu 18511  df-proset 18518  df-poset 18537  df-lub 18568  df-glb 18569  df-ipo 18752

This theorem is used by: (None)