Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrelatglbALT Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mrelatglbALT 47809
Description: Greatest lower bounds in a Moore space are realized by intersections. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.) (Proof shortened by Zhi Wang, 29-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mreclatGOOD.i 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
mrelatglbALT.g 𝐺 = (glbβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
mrelatglbALT ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ (πΊβ€˜π‘ˆ) = ∩ π‘ˆ)
Proof of Theorem mrelatglbALT
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mreclatGOOD.i . 2 𝐼 = (toIncβ€˜πΆ)
2 simp1 1133 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
3 simp2 1134 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐢)
4 mrelatglbALT.g . . 3 𝐺 = (glbβ€˜πΌ)
54a1i 11 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ 𝐺 = (glbβ€˜πΌ))
6 mreintcl 17538 . . 3 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘ˆ ∈ 𝐢)
7 unimax 4938 . . . 4 (∩ π‘ˆ ∈ 𝐢 β†’ βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐢 ∣ π‘₯ βŠ† ∩ π‘ˆ} = ∩ π‘ˆ)
87eqcomd 2730 . . 3 (∩ π‘ˆ ∈ 𝐢 β†’ ∩ π‘ˆ = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐢 ∣ π‘₯ βŠ† ∩ π‘ˆ})
96, 8syl 17 . 2 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ ∩ π‘ˆ = βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐢 ∣ π‘₯ βŠ† ∩ π‘ˆ})
101, 2, 3, 5, 9, 6ipoglb 47804 1 ((𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ βŠ† 𝐢 ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ (πΊβ€˜π‘ˆ) = ∩ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  {crab 3424   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4314  βˆͺ cuni 4899  βˆ© cint 4940  β€˜cfv 6533  Moorecmre 17525  glbcglb 18265  toInccipo 18482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ocomp 17217  df-mre 17529  df-odu 18242  df-proset 18250  df-poset 18268  df-lub 18301  df-glb 18302  df-ipo 18483
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator