MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreiincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreiincl 17581
Description: A nonempty indexed intersection of closed sets is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
mreiincl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → 𝑦𝐼 𝑆𝐶)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   𝑦,𝐶
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem mreiincl
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiin2g 5037 . . 3 (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 𝑦𝐼 𝑆 = {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆})
213ad2ant3 1132 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → 𝑦𝐼 𝑆 = {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆})
3 simp1 1133 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
4 uniiunlem 4082 . . . . 5 (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 ↔ {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ⊆ 𝐶))
54ibi 266 . . . 4 (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ⊆ 𝐶)
653ad2ant3 1132 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ⊆ 𝐶)
7 n0 4348 . . . . . 6 (𝐼 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐼)
8 nfra1 3277 . . . . . . . 8 𝑦𝑦𝐼 𝑆𝐶
9 nfre1 3278 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆
109nfab 2904 . . . . . . . . 9 𝑦{𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆}
11 nfcv 2898 . . . . . . . . 9 𝑦
1210, 11nfne 3039 . . . . . . . 8 𝑦{𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅
138, 12nfim 1891 . . . . . . 7 𝑦(∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅)
14 rsp 3240 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → (𝑦𝐼𝑆𝐶))
1514com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐼 → (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶𝑆𝐶))
16 elisset 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐶 → ∃𝑠 𝑠 = 𝑆)
17 rspe 3242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐼 ∧ ∃𝑠 𝑠 = 𝑆) → ∃𝑦𝐼𝑠 𝑠 = 𝑆)
1817ex 411 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐼 → (∃𝑠 𝑠 = 𝑆 → ∃𝑦𝐼𝑠 𝑠 = 𝑆))
1916, 18syl5 34 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐼 → (𝑆𝐶 → ∃𝑦𝐼𝑠 𝑠 = 𝑆))
20 rexcom4 3281 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦𝐼𝑠 𝑠 = 𝑆 ↔ ∃𝑠𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆)
2119, 20imbitrdi 250 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐼 → (𝑆𝐶 → ∃𝑠𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆))
2215, 21syld 47 . . . . . . . 8 (𝑦𝐼 → (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → ∃𝑠𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆))
23 abn0 4382 . . . . . . . 8 ({𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅ ↔ ∃𝑠𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆)
2422, 23imbitrrdi 251 . . . . . . 7 (𝑦𝐼 → (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅))
2513, 24exlimi 2205 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦𝐼 → (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅))
267, 25sylbi 216 . . . . 5 (𝐼 ≠ ∅ → (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅))
2726imp 405 . . . 4 ((𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅)
28273adant1 1127 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅)
29 mreintcl 17580 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ⊆ 𝐶 ∧ {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅) → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ∈ 𝐶)
303, 6, 28, 29syl3anc 1368 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ∈ 𝐶)
312, 30eqeltrd 2828 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → 𝑦𝐼 𝑆𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  {cab 2704  wne 2936  wral 3057  wrex 3066  wss 3947  c0 4324   cint 4951   ciin 4999  cfv 6551  Moorecmre 17567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fv 6559  df-mre 17571
This theorem is referenced by:  mreriincl  17583  mretopd  23014
  Copyright terms: Public domain W3C validator