MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mreiincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mreiincl 17639
Description: A nonempty indexed intersection of closed sets is closed. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
mreiincl ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → 𝑦𝐼 𝑆𝐶)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   𝑦,𝐶
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem mreiincl
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiin2g 5032 . . 3 (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 𝑦𝐼 𝑆 = {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆})
213ad2ant3 1136 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → 𝑦𝐼 𝑆 = {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆})
3 simp1 1137 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))
4 uniiunlem 4087 . . . . 5 (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 ↔ {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ⊆ 𝐶))
54ibi 267 . . . 4 (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ⊆ 𝐶)
653ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ⊆ 𝐶)
7 n0 4353 . . . . . 6 (𝐼 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐼)
8 nfra1 3284 . . . . . . . 8 𝑦𝑦𝐼 𝑆𝐶
9 nfre1 3285 . . . . . . . . . 10 𝑦𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆
109nfab 2911 . . . . . . . . 9 𝑦{𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆}
11 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑦
1210, 11nfne 3043 . . . . . . . 8 𝑦{𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅
138, 12nfim 1896 . . . . . . 7 𝑦(∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅)
14 rsp 3247 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → (𝑦𝐼𝑆𝐶))
1514com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐼 → (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶𝑆𝐶))
16 elisset 2823 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐶 → ∃𝑠 𝑠 = 𝑆)
17 rspe 3249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐼 ∧ ∃𝑠 𝑠 = 𝑆) → ∃𝑦𝐼𝑠 𝑠 = 𝑆)
1817ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐼 → (∃𝑠 𝑠 = 𝑆 → ∃𝑦𝐼𝑠 𝑠 = 𝑆))
1916, 18syl5 34 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐼 → (𝑆𝐶 → ∃𝑦𝐼𝑠 𝑠 = 𝑆))
20 rexcom4 3288 . . . . . . . . . 10 (∃𝑦𝐼𝑠 𝑠 = 𝑆 ↔ ∃𝑠𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆)
2119, 20imbitrdi 251 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐼 → (𝑆𝐶 → ∃𝑠𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆))
2215, 21syld 47 . . . . . . . 8 (𝑦𝐼 → (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → ∃𝑠𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆))
23 abn0 4385 . . . . . . . 8 ({𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅ ↔ ∃𝑠𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆)
2422, 23imbitrrdi 252 . . . . . . 7 (𝑦𝐼 → (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅))
2513, 24exlimi 2217 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦𝐼 → (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅))
267, 25sylbi 217 . . . . 5 (𝐼 ≠ ∅ → (∀𝑦𝐼 𝑆𝐶 → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅))
2726imp 406 . . . 4 ((𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅)
28273adant1 1131 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅)
29 mreintcl 17638 . . 3 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ⊆ 𝐶 ∧ {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ≠ ∅) → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ∈ 𝐶)
303, 6, 28, 29syl3anc 1373 . 2 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → {𝑠 ∣ ∃𝑦𝐼 𝑠 = 𝑆} ∈ 𝐶)
312, 30eqeltrd 2841 1 ((𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ 𝐼 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐼 𝑆𝐶) → 𝑦𝐼 𝑆𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  {cab 2714  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  c0 4333   cint 4946   ciin 4992  cfv 6561  Moorecmre 17625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-mre 17629
This theorem is referenced by:  mreriincl  17641  mretopd  23100
  Copyright terms: Public domain W3C validator