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Theorem mclsind 34847
Description: Induction theorem for closure: any other set 𝑄 closed under the axioms and the hypotheses contains all the elements of the closure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
mclsval.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mclsval.c 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
mclsval.1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
mclsval.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
mclsax.a 𝐴 = (mAxβ€˜π‘‡)
mclsax.l 𝐿 = (mSubstβ€˜π‘‡)
mclsax.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mclsax.h 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
mclsax.w π‘Š = (mVarsβ€˜π‘‡)
mclsind.4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑄)
mclsind.5 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘£) ∈ 𝑄)
mclsind.6 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑄)
Assertion
Ref Expression
mclsind (πœ‘ β†’ (𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑄)
Distinct variable groups:   π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝐸   π‘₯,π‘š,𝐻,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣   𝑦,π‘š,𝐡,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,π‘₯   𝐢,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,π‘₯   π‘š,𝐿,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦   𝐴,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠   𝑇,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦   πœ‘,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,π‘₯,𝑦   𝑄,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣   𝑣,𝑉,π‘₯   π‘š,π‘Š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯   π‘š,𝐾,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑣)   𝐢(𝑦)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑣,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝)   𝑄(π‘₯,𝑦)   𝑇(𝑣)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐻(𝑦)   𝐿(𝑣)   𝑉(𝑦,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝)   π‘Š(𝑦,𝑣)

Proof of Theorem mclsind
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mclsval.d . . 3 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
2 mclsval.e . . 3 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
3 mclsval.c . . 3 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
4 mclsval.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
5 mclsval.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
6 mclsval.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
7 mclsax.h . . 3 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
8 mclsax.a . . 3 𝐴 = (mAxβ€˜π‘‡)
9 mclsax.l . . 3 𝐿 = (mSubstβ€˜π‘‡)
10 mclsax.w . . 3 π‘Š = (mVarsβ€˜π‘‡)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10mclsval 34840 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐾𝐢𝐡) = ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))})
12 mclsind.4 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝑄)
136, 12ssind 4232 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄))
14 mclsax.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
1514, 2, 7mvhf 34835 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
164, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
1716ffnd 6718 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
1816ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘£) ∈ 𝐸)
19 mclsind.5 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘£) ∈ 𝑄)
2018, 19elind 4194 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘£) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄))
2120ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘£) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄))
22 ffnfv 7120 . . . . . . . 8 (𝐻:π‘‰βŸΆ(𝐸 ∩ 𝑄) ↔ (𝐻 Fn 𝑉 ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘£) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄)))
2317, 21, 22sylanbrc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆ(𝐸 ∩ 𝑄))
2423frnd 6725 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄))
2513, 24unssd 4186 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄))
26 id 22 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) β†’ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄))
27 inss2 4229 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∩ 𝑄) βŠ† 𝑄
2826, 27sstrdi 3994 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) β†’ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄)
294adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄)) β†’ 𝑇 ∈ mFS)
30 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (mRExβ€˜π‘‡) = (mRExβ€˜π‘‡)
3114, 30, 9, 2msubff 34807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐿:((mRExβ€˜π‘‡) ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸))
32 frn 6724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿:((mRExβ€˜π‘‡) ↑pm 𝑉)⟢(𝐸 ↑m 𝐸) β†’ ran 𝐿 βŠ† (𝐸 ↑m 𝐸))
3329, 31, 323syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄)) β†’ ran 𝐿 βŠ† (𝐸 ↑m 𝐸))
34 simpr2 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄)) β†’ 𝑠 ∈ ran 𝐿)
3533, 34sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐸 ↑m 𝐸))
36 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ (𝐸 ↑m 𝐸) β†’ 𝑠:𝐸⟢𝐸)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄)) β†’ 𝑠:𝐸⟢𝐸)
38 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (mStatβ€˜π‘‡) = (mStatβ€˜π‘‡)
398, 38maxsta 34831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐴 βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
4029, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄)) β†’ 𝐴 βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
41 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (mPreStβ€˜π‘‡) = (mPreStβ€˜π‘‡)
4241, 38mstapst 34824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (mStatβ€˜π‘‡) βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡)
4340, 42sstrdi 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄)) β†’ 𝐴 βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡))
44 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄)) β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴)
4543, 44sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄)) β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡))
461, 2, 41elmpst 34813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) ↔ ((π‘š βŠ† 𝐷 ∧ β—‘π‘š = π‘š) ∧ (π‘œ βŠ† 𝐸 ∧ π‘œ ∈ Fin) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
4746simp3bi 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
4937, 48ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)
50493adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)
51 mclsind.6 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑄)
5250, 51elind 4194 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄))
53523exp 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄) β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄))))
54533expd 1353 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ (𝑠 ∈ ran 𝐿 β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄 β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄))))))
5554imp31 418 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿) β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑄 β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄))))
5628, 55syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿) β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) β†’ (βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄))))
5756impd 411 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿) β†’ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄)))
5857ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄)))
5958ex 413 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄))))
6059alrimiv 1930 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄))))
6160alrimivv 1931 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄))))
622fvexi 6905 . . . . . . 7 𝐸 ∈ V
6362inex1 5317 . . . . . 6 (𝐸 ∩ 𝑄) ∈ V
64 sseq2 4008 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝐸 ∩ 𝑄) β†’ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ↔ (𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄)))
65 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = (𝐸 ∩ 𝑄) β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ↔ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄)))
6665anbi1d 630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝐸 ∩ 𝑄) β†’ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) ↔ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾))))
67 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = (𝐸 ∩ 𝑄) β†’ ((π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐 ↔ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄)))
6866, 67imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = (𝐸 ∩ 𝑄) β†’ ((((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) ↔ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄))))
6968ralbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = (𝐸 ∩ 𝑄) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) ↔ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄))))
7069imbi2d 340 . . . . . . . . 9 (𝑐 = (𝐸 ∩ 𝑄) β†’ ((βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄)))))
7170albidv 1923 . . . . . . . 8 (𝑐 = (𝐸 ∩ 𝑄) β†’ (βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄)))))
72712albidv 1926 . . . . . . 7 (𝑐 = (𝐸 ∩ 𝑄) β†’ (βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄)))))
7364, 72anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑐 = (𝐸 ∩ 𝑄) β†’ (((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))) ↔ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄))))))
7463, 73elab 3668 . . . . 5 ((𝐸 ∩ 𝑄) ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} ↔ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄) ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (𝐸 ∩ 𝑄)))))
7525, 61, 74sylanbrc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐸 ∩ 𝑄) ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))})
76 intss1 4967 . . . 4 ((𝐸 ∩ 𝑄) ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄))
7775, 76syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† (𝐸 ∩ 𝑄))
7877, 27sstrdi 3994 . 2 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝐿(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝑄)
7911, 78eqsstrd 4020 1 (πœ‘ β†’ (𝐾𝐢𝐡) βŠ† 𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βŸ¨cotp 4636  βˆ© cint 4950   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822   ↑pm cpm 8823  Fincfn 8941  mVRcmvar 34738  mAxcmax 34742  mRExcmrex 34743  mExcmex 34744  mDVcmdv 34745  mVarscmvrs 34746  mSubstcmsub 34748  mVHcmvh 34749  mPreStcmpst 34750  mStatcmsta 34752  mFScmfs 34753  mClscmcls 34754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-word 14469  df-concat 14525  df-s1 14550  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-frmd 18766  df-mrex 34763  df-mex 34764  df-mrsub 34767  df-msub 34768  df-mvh 34769  df-mpst 34770  df-msr 34771  df-msta 34772  df-mfs 34773  df-mcls 34774
This theorem is referenced by:  mclspps  34861
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