Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mclsssvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mclsssvlem 34622
Description: Lemma for mclsssv 34624. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
mclsval.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mclsval.c 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
mclsval.1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
mclsval.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
mclsval.h 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
mclsval.a 𝐴 = (mAxβ€˜π‘‡)
mclsval.s 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
mclsval.v 𝑉 = (mVarsβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mclsssvlem (πœ‘ β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝐸)
Distinct variable groups:   π‘š,𝑐,π‘œ,𝑝,𝑠,𝐸   π‘₯,𝑐,𝐻,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠   𝑦,𝑐,𝐡,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯   𝐢,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯   𝐴,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠   𝑆,𝑐,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑉,𝑐,π‘₯   𝐾,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐢(𝑦,𝑐)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝,𝑐)   𝑆(π‘š,π‘œ,𝑝)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐻(𝑦)   𝑉(𝑦,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem mclsssvlem
StepHypRef Expression
1 mclsval.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
2 mclsval.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
3 eqid 2732 . . . . . . 7 (mVRβ€˜π‘‡) = (mVRβ€˜π‘‡)
4 mclsval.e . . . . . . 7 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
5 mclsval.h . . . . . . 7 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
63, 4, 5mvhf 34618 . . . . . 6 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐻:(mVRβ€˜π‘‡)⟢𝐸)
72, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:(mVRβ€˜π‘‡)⟢𝐸)
87frnd 6725 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† 𝐸)
91, 8unssd 4186 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸)
10 mclsval.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
1110, 4msubf 34592 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑠:𝐸⟢𝐸)
12 mclsval.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = (mAxβ€˜π‘‡)
13 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (mStatβ€˜π‘‡) = (mStatβ€˜π‘‡)
1412, 13maxsta 34614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐴 βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
152, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
16 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (mPreStβ€˜π‘‡) = (mPreStβ€˜π‘‡)
1716, 13mstapst 34607 . . . . . . . . . . . 12 (mStatβ€˜π‘‡) βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡)
1815, 17sstrdi 3994 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡))
1918sselda 3982 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡))
20 mclsval.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
2120, 4, 16elmpst 34596 . . . . . . . . . . 11 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) ↔ ((π‘š βŠ† 𝐷 ∧ β—‘π‘š = π‘š) ∧ (π‘œ βŠ† 𝐸 ∧ π‘œ ∈ Fin) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
2221simp3bi 1147 . . . . . . . . . 10 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
2319, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
24 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . 9 ((𝑠:𝐸⟢𝐸 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)
2511, 23, 24syl2anr 597 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑆) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)
2625a1d 25 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑆) β†’ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))
2726ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))
2827ex 413 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
2928alrimiv 1930 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
3029alrimivv 1931 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
314fvexi 6905 . . . 4 𝐸 ∈ V
32 sseq2 4008 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ↔ (𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸))
33 sseq2 4008 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ↔ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸))
3433anbi1d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐸 β†’ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) ↔ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾))))
35 eleq2 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐 ↔ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))
3634, 35imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) ↔ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
3736ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐸 β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) ↔ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
3837imbi2d 340 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
3938albidv 1923 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐸 β†’ (βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
40392albidv 1926 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 β†’ (βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
4132, 40anbi12d 631 . . . 4 (𝑐 = 𝐸 β†’ (((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))) ↔ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))))
4231, 41elab 3668 . . 3 (𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} ↔ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
439, 30, 42sylanbrc 583 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))})
44 intss1 4967 . 2 (𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝐸)
4543, 44syl 17 1 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396  βˆ€wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2709  βˆ€wral 3061   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βŸ¨cotp 4636  βˆ© cint 4950   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  Fincfn 8941  mVRcmvar 34521  mAxcmax 34525  mExcmex 34527  mDVcmdv 34528  mVarscmvrs 34529  mSubstcmsub 34531  mVHcmvh 34532  mPreStcmpst 34533  mStatcmsta 34535  mFScmfs 34536  mClscmcls 34537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-frmd 18732  df-mrex 34546  df-mex 34547  df-mrsub 34550  df-msub 34551  df-mvh 34552  df-mpst 34553  df-msr 34554  df-msta 34555  df-mfs 34556
This theorem is referenced by:  mclsval  34623  mclsssv  34624
  Copyright terms: Public domain W3C validator