Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mclsssvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mclsssvlem 34848
Description: Lemma for mclsssv 34850. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
mclsval.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mclsval.c 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
mclsval.1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
mclsval.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
mclsval.h 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
mclsval.a 𝐴 = (mAxβ€˜π‘‡)
mclsval.s 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
mclsval.v 𝑉 = (mVarsβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mclsssvlem (πœ‘ β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝐸)
Distinct variable groups:   π‘š,𝑐,π‘œ,𝑝,𝑠,𝐸   π‘₯,𝑐,𝐻,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠   𝑦,𝑐,𝐡,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯   𝐢,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯   𝐴,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠   𝑆,𝑐,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑉,𝑐,π‘₯   𝐾,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐢(𝑦,𝑐)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝,𝑐)   𝑆(π‘š,π‘œ,𝑝)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐻(𝑦)   𝑉(𝑦,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem mclsssvlem
StepHypRef Expression
1 mclsval.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
2 mclsval.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
3 eqid 2731 . . . . . . 7 (mVRβ€˜π‘‡) = (mVRβ€˜π‘‡)
4 mclsval.e . . . . . . 7 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
5 mclsval.h . . . . . . 7 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
63, 4, 5mvhf 34844 . . . . . 6 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐻:(mVRβ€˜π‘‡)⟢𝐸)
72, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:(mVRβ€˜π‘‡)⟢𝐸)
87frnd 6726 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† 𝐸)
91, 8unssd 4187 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸)
10 mclsval.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
1110, 4msubf 34818 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑠:𝐸⟢𝐸)
12 mclsval.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = (mAxβ€˜π‘‡)
13 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (mStatβ€˜π‘‡) = (mStatβ€˜π‘‡)
1412, 13maxsta 34840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐴 βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
152, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
16 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (mPreStβ€˜π‘‡) = (mPreStβ€˜π‘‡)
1716, 13mstapst 34833 . . . . . . . . . . . 12 (mStatβ€˜π‘‡) βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡)
1815, 17sstrdi 3995 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡))
1918sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡))
20 mclsval.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
2120, 4, 16elmpst 34822 . . . . . . . . . . 11 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) ↔ ((π‘š βŠ† 𝐷 ∧ β—‘π‘š = π‘š) ∧ (π‘œ βŠ† 𝐸 ∧ π‘œ ∈ Fin) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
2221simp3bi 1146 . . . . . . . . . 10 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
2319, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
24 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((𝑠:𝐸⟢𝐸 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)
2511, 23, 24syl2anr 596 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑆) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)
2625a1d 25 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑆) β†’ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))
2726ralrimiva 3145 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))
2827ex 412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
2928alrimiv 1929 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
3029alrimivv 1930 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
314fvexi 6906 . . . 4 𝐸 ∈ V
32 sseq2 4009 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ↔ (𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸))
33 sseq2 4009 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ↔ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸))
3433anbi1d 629 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐸 β†’ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) ↔ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾))))
35 eleq2 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐 ↔ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))
3634, 35imbi12d 343 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) ↔ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
3736ralbidv 3176 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐸 β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) ↔ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
3837imbi2d 339 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
3938albidv 1922 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐸 β†’ (βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
40392albidv 1925 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 β†’ (βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
4132, 40anbi12d 630 . . . 4 (𝑐 = 𝐸 β†’ (((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))) ↔ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))))
4231, 41elab 3669 . . 3 (𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} ↔ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
439, 30, 42sylanbrc 582 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))})
44 intss1 4968 . 2 (𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝐸)
4543, 44syl 17 1 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395  βˆ€wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  βˆ€wral 3060   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βŸ¨cotp 4637  βˆ© cint 4951   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Fincfn 8942  mVRcmvar 34747  mAxcmax 34751  mExcmex 34753  mDVcmdv 34754  mVarscmvrs 34755  mSubstcmsub 34757  mVHcmvh 34758  mPreStcmpst 34759  mStatcmsta 34761  mFScmfs 34762  mClscmcls 34763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-frmd 18767  df-mrex 34772  df-mex 34773  df-mrsub 34776  df-msub 34777  df-mvh 34778  df-mpst 34779  df-msr 34780  df-msta 34781  df-mfs 34782
This theorem is referenced by:  mclsval  34849  mclsssv  34850
  Copyright terms: Public domain W3C validator