Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mclsssvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mclsssvlem 33887
Description: Lemma for mclsssv 33889. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d 𝐷 = (mDV‘𝑇)
mclsval.e 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mclsval.c 𝐶 = (mCls‘𝑇)
mclsval.1 (𝜑𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2 (𝜑𝐾𝐷)
mclsval.3 (𝜑𝐵𝐸)
mclsval.h 𝐻 = (mVH‘𝑇)
mclsval.a 𝐴 = (mAx‘𝑇)
mclsval.s 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
mclsval.v 𝑉 = (mVars‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
mclsssvlem (𝜑 {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))} ⊆ 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑜,𝑝,𝑠,𝐸   𝑥,𝑐,𝐻,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠   𝑦,𝑐,𝐵,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑥   𝐶,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑥   𝐴,𝑐,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠   𝑆,𝑐,𝑠,𝑥,𝑦   𝑇,𝑐,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑥,𝑦   𝜑,𝑐,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑥,𝑦   𝑉,𝑐,𝑥   𝐾,𝑐,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑦,𝑐)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝,𝑐)   𝑆(𝑚,𝑜,𝑝)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑦)   𝑉(𝑦,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem mclsssvlem
StepHypRef Expression
1 mclsval.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝐸)
2 mclsval.1 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ mFS)
3 eqid 2737 . . . . . . 7 (mVR‘𝑇) = (mVR‘𝑇)
4 mclsval.e . . . . . . 7 𝐸 = (mEx‘𝑇)
5 mclsval.h . . . . . . 7 𝐻 = (mVH‘𝑇)
63, 4, 5mvhf 33883 . . . . . 6 (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:(mVR‘𝑇)⟶𝐸)
72, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐻:(mVR‘𝑇)⟶𝐸)
87frnd 6668 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐻𝐸)
91, 8unssd 4141 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝐸)
10 mclsval.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (mSubst‘𝑇)
1110, 4msubf 33857 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ran 𝑆𝑠:𝐸𝐸)
12 mclsval.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = (mAx‘𝑇)
13 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (mStat‘𝑇) = (mStat‘𝑇)
1412, 13maxsta 33879 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ mFS → 𝐴 ⊆ (mStat‘𝑇))
152, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ⊆ (mStat‘𝑇))
16 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (mPreSt‘𝑇) = (mPreSt‘𝑇)
1716, 13mstapst 33872 . . . . . . . . . . . 12 (mStat‘𝑇) ⊆ (mPreSt‘𝑇)
1815, 17sstrdi 3951 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ (mPreSt‘𝑇))
1918sselda 3939 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴) → ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mPreSt‘𝑇))
20 mclsval.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (mDV‘𝑇)
2120, 4, 16elmpst 33861 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mPreSt‘𝑇) ↔ ((𝑚𝐷𝑚 = 𝑚) ∧ (𝑜𝐸𝑜 ∈ Fin) ∧ 𝑝𝐸))
2221simp3bi 1147 . . . . . . . . . 10 (⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mPreSt‘𝑇) → 𝑝𝐸)
2319, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴) → 𝑝𝐸)
24 ffvelcdm 7024 . . . . . . . . 9 ((𝑠:𝐸𝐸𝑝𝐸) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)
2511, 23, 24syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑆) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)
2625a1d 25 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑆) → (((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))
2726ralrimiva 3141 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴) → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))
2827ex 414 . . . . 5 (𝜑 → (⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)))
2928alrimiv 1930 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)))
3029alrimivv 1931 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)))
314fvexi 6848 . . . 4 𝐸 ∈ V
32 sseq2 3965 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 → ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ↔ (𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝐸))
33 sseq2 3965 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐸 → ((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ↔ (𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸))
3433anbi1d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐸 → (((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) ↔ ((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾))))
35 eleq2 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐸 → ((𝑠𝑝) ∈ 𝑐 ↔ (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))
3634, 35imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐸 → ((((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐) ↔ (((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)))
3736ralbidv 3172 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐸 → (∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐) ↔ ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)))
3837imbi2d 341 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐸 → ((⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)) ↔ (⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))))
3938albidv 1923 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐸 → (∀𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)) ↔ ∀𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))))
40392albidv 1926 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 → (∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)) ↔ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))))
4132, 40anbi12d 632 . . . 4 (𝑐 = 𝐸 → (((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐))) ↔ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)))))
4231, 41elab 3625 . . 3 (𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))} ↔ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝐸 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸))))
439, 30, 42sylanbrc 584 . 2 (𝜑𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))})
44 intss1 4919 . 2 (𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))} → {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))} ⊆ 𝐸)
4543, 44syl 17 1 (𝜑 {𝑐 ∣ ((𝐵 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑚𝑜𝑝(⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ 𝐴 → ∀𝑠 ∈ ran 𝑆(((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ 𝑐 ∧ ∀𝑥𝑦(𝑥𝑚𝑦 → ((𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑥))) × (𝑉‘(𝑠‘(𝐻𝑦)))) ⊆ 𝐾)) → (𝑠𝑝) ∈ 𝑐)))} ⊆ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2714  wral 3062  cun 3903  wss 3905  cotp 4589   cint 4902   class class class wbr 5100   × cxp 5625  ccnv 5626  ran crn 5628  cima 5630  wf 6484  cfv 6488  Fincfn 8813  mVRcmvar 33786  mAxcmax 33790  mExcmex 33792  mDVcmdv 33793  mVarscmvrs 33794  mSubstcmsub 33796  mVHcmvh 33797  mPreStcmpst 33798  mStatcmsta 33800  mFScmfs 33801  mClscmcls 33802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5237  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-er 8578  df-map 8697  df-pm 8698  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-fin 8817  df-card 9805  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-nn 12084  df-2 12146  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-fz 13350  df-fzo 13493  df-seq 13832  df-hash 14155  df-word 14327  df-concat 14383  df-s1 14408  df-struct 16950  df-sets 16967  df-slot 16985  df-ndx 16997  df-base 17015  df-ress 17044  df-plusg 17077  df-0g 17254  df-gsum 17255  df-mgm 18428  df-sgrp 18477  df-mnd 18488  df-submnd 18533  df-frmd 18589  df-mrex 33811  df-mex 33812  df-mrsub 33815  df-msub 33816  df-mvh 33817  df-mpst 33818  df-msr 33819  df-msta 33820  df-mfs 33821
This theorem is referenced by:  mclsval  33888  mclsssv  33889
  Copyright terms: Public domain W3C validator