Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mclsssvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mclsssvlem 34220
Description: Lemma for mclsssv 34222. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
mclsval.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mclsval.c 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
mclsval.1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
mclsval.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
mclsval.h 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
mclsval.a 𝐴 = (mAxβ€˜π‘‡)
mclsval.s 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
mclsval.v 𝑉 = (mVarsβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mclsssvlem (πœ‘ β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝐸)
Distinct variable groups:   π‘š,𝑐,π‘œ,𝑝,𝑠,𝐸   π‘₯,𝑐,𝐻,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠   𝑦,𝑐,𝐡,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯   𝐢,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯   𝐴,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠   𝑆,𝑐,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑉,𝑐,π‘₯   𝐾,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐢(𝑦,𝑐)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝,𝑐)   𝑆(π‘š,π‘œ,𝑝)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐻(𝑦)   𝑉(𝑦,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem mclsssvlem
StepHypRef Expression
1 mclsval.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
2 mclsval.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (mVRβ€˜π‘‡) = (mVRβ€˜π‘‡)
4 mclsval.e . . . . . . 7 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
5 mclsval.h . . . . . . 7 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
63, 4, 5mvhf 34216 . . . . . 6 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐻:(mVRβ€˜π‘‡)⟢𝐸)
72, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:(mVRβ€˜π‘‡)⟢𝐸)
87frnd 6680 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† 𝐸)
91, 8unssd 4150 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸)
10 mclsval.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
1110, 4msubf 34190 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑠:𝐸⟢𝐸)
12 mclsval.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = (mAxβ€˜π‘‡)
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (mStatβ€˜π‘‡) = (mStatβ€˜π‘‡)
1412, 13maxsta 34212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐴 βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
152, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (mPreStβ€˜π‘‡) = (mPreStβ€˜π‘‡)
1716, 13mstapst 34205 . . . . . . . . . . . 12 (mStatβ€˜π‘‡) βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡)
1815, 17sstrdi 3960 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡))
1918sselda 3948 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡))
20 mclsval.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
2120, 4, 16elmpst 34194 . . . . . . . . . . 11 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) ↔ ((π‘š βŠ† 𝐷 ∧ β—‘π‘š = π‘š) ∧ (π‘œ βŠ† 𝐸 ∧ π‘œ ∈ Fin) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
2221simp3bi 1148 . . . . . . . . . 10 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
2319, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
24 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . 9 ((𝑠:𝐸⟢𝐸 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)
2511, 23, 24syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑆) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)
2625a1d 25 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑆) β†’ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))
2726ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))
2827ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
2928alrimiv 1931 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
3029alrimivv 1932 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
314fvexi 6860 . . . 4 𝐸 ∈ V
32 sseq2 3974 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ↔ (𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸))
33 sseq2 3974 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ↔ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸))
3433anbi1d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐸 β†’ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) ↔ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾))))
35 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐 ↔ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))
3634, 35imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) ↔ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
3736ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐸 β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) ↔ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
3837imbi2d 341 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
3938albidv 1924 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐸 β†’ (βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
40392albidv 1927 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 β†’ (βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
4132, 40anbi12d 632 . . . 4 (𝑐 = 𝐸 β†’ (((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))) ↔ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))))
4231, 41elab 3634 . . 3 (𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} ↔ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
439, 30, 42sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))})
44 intss1 4928 . 2 (𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝐸)
4543, 44syl 17 1 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3061   βˆͺ cun 3912   βŠ† wss 3914  βŸ¨cotp 4598  βˆ© cint 4911   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  ran crn 5638   β€œ cima 5640  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  Fincfn 8889  mVRcmvar 34119  mAxcmax 34123  mExcmex 34125  mDVcmdv 34126  mVarscmvrs 34127  mSubstcmsub 34129  mVHcmvh 34130  mPreStcmpst 34131  mStatcmsta 34133  mFScmfs 34134  mClscmcls 34135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-word 14412  df-concat 14468  df-s1 14493  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-frmd 18667  df-mrex 34144  df-mex 34145  df-mrsub 34148  df-msub 34149  df-mvh 34150  df-mpst 34151  df-msr 34152  df-msta 34153  df-mfs 34154
This theorem is referenced by:  mclsval  34221  mclsssv  34222
  Copyright terms: Public domain W3C validator