Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mclsssvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mclsssvlem 34553
Description: Lemma for mclsssv 34555. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclsval.d 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
mclsval.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mclsval.c 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
mclsval.1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
mclsval.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
mclsval.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
mclsval.h 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
mclsval.a 𝐴 = (mAxβ€˜π‘‡)
mclsval.s 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
mclsval.v 𝑉 = (mVarsβ€˜π‘‡)
Assertion
Ref Expression
mclsssvlem (πœ‘ β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝐸)
Distinct variable groups:   π‘š,𝑐,π‘œ,𝑝,𝑠,𝐸   π‘₯,𝑐,𝐻,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠   𝑦,𝑐,𝐡,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯   𝐢,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯   𝐴,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠   𝑆,𝑐,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑉,𝑐,π‘₯   𝐾,𝑐,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑦)   𝐢(𝑦,𝑐)   𝐷(π‘₯,𝑦,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝,𝑐)   𝑆(π‘š,π‘œ,𝑝)   𝐸(π‘₯,𝑦)   𝐻(𝑦)   𝑉(𝑦,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝)

Proof of Theorem mclsssvlem
StepHypRef Expression
1 mclsval.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
2 mclsval.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (mVRβ€˜π‘‡) = (mVRβ€˜π‘‡)
4 mclsval.e . . . . . . 7 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
5 mclsval.h . . . . . . 7 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
63, 4, 5mvhf 34549 . . . . . 6 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐻:(mVRβ€˜π‘‡)⟢𝐸)
72, 6syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:(mVRβ€˜π‘‡)⟢𝐸)
87frnd 6726 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† 𝐸)
91, 8unssd 4187 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸)
10 mclsval.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (mSubstβ€˜π‘‡)
1110, 4msubf 34523 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ran 𝑆 β†’ 𝑠:𝐸⟢𝐸)
12 mclsval.a . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 = (mAxβ€˜π‘‡)
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (mStatβ€˜π‘‡) = (mStatβ€˜π‘‡)
1412, 13maxsta 34545 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐴 βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
152, 14syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (mPreStβ€˜π‘‡) = (mPreStβ€˜π‘‡)
1716, 13mstapst 34538 . . . . . . . . . . . 12 (mStatβ€˜π‘‡) βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡)
1815, 17sstrdi 3995 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡))
1918sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡))
20 mclsval.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
2120, 4, 16elmpst 34527 . . . . . . . . . . 11 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) ↔ ((π‘š βŠ† 𝐷 ∧ β—‘π‘š = π‘š) ∧ (π‘œ βŠ† 𝐸 ∧ π‘œ ∈ Fin) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
2221simp3bi 1148 . . . . . . . . . 10 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
2319, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
24 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((𝑠:𝐸⟢𝐸 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)
2511, 23, 24syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑆) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)
2625a1d 25 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑆) β†’ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))
2726ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))
2827ex 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
2928alrimiv 1931 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
3029alrimivv 1932 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
314fvexi 6906 . . . 4 𝐸 ∈ V
32 sseq2 4009 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ↔ (𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸))
33 sseq2 4009 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ↔ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸))
3433anbi1d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐸 β†’ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) ↔ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾))))
35 eleq2 2823 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐 ↔ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))
3634, 35imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) ↔ (((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
3736ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐸 β†’ (βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐) ↔ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))
3837imbi2d 341 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐸 β†’ ((βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
3938albidv 1924 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐸 β†’ (βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ βˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
40392albidv 1927 . . . . 5 (𝑐 = 𝐸 β†’ (βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)) ↔ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
4132, 40anbi12d 632 . . . 4 (𝑐 = 𝐸 β†’ (((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐))) ↔ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)))))
4231, 41elab 3669 . . 3 (𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} ↔ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝐸 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸))))
439, 30, 42sylanbrc 584 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))})
44 intss1 4968 . 2 (𝐸 ∈ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝐸)
4543, 44syl 17 1 (πœ‘ β†’ ∩ {𝑐 ∣ ((𝐡 βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘šβˆ€π‘œβˆ€π‘(βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ 𝐴 β†’ βˆ€π‘  ∈ ran 𝑆(((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† 𝑐 ∧ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦(π‘₯π‘šπ‘¦ β†’ ((π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘₯))) Γ— (π‘‰β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘¦)))) βŠ† 𝐾)) β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝑐)))} βŠ† 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βŸ¨cotp 4637  βˆ© cint 4951   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  mVRcmvar 34452  mAxcmax 34456  mExcmex 34458  mDVcmdv 34459  mVarscmvrs 34460  mSubstcmsub 34462  mVHcmvh 34463  mPreStcmpst 34464  mStatcmsta 34466  mFScmfs 34467  mClscmcls 34468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-s1 14546  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-frmd 18730  df-mrex 34477  df-mex 34478  df-mrsub 34481  df-msub 34482  df-mvh 34483  df-mpst 34484  df-msr 34485  df-msta 34486  df-mfs 34487
This theorem is referenced by:  mclsval  34554  mclsssv  34555
  Copyright terms: Public domain W3C validator