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Theorem mclsppslem 34217
Description: The closure is closed under application of provable pre-statements. (Compare mclsax 34203.) This theorem is what justifies the treatment of theorems as "equivalent" to axioms once they have been proven: the composition of one theorem in the proof of another yields a theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclspps.d 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
mclspps.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mclspps.c 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
mclspps.1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
mclspps.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
mclspps.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
mclspps.j 𝐽 = (mPPStβ€˜π‘‡)
mclspps.l 𝐿 = (mSubstβ€˜π‘‡)
mclspps.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mclspps.h 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
mclspps.w π‘Š = (mVarsβ€˜π‘‡)
mclspps.4 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐽)
mclspps.5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
mclspps.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑂) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
mclspps.7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
mclspps.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
mclsppslem.9 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡))
mclsppslem.10 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ ran 𝐿)
mclsppslem.11 (πœ‘ β†’ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
mclsppslem.12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀))
Assertion
Ref Expression
mclsppslem (πœ‘ β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝐸   π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐻   𝑣,𝑉,𝑧   𝐾,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,π‘₯,𝑦   𝑇,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐿,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,π‘₯,𝑦   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,π‘₯,𝑦   π‘Š,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘š,𝑂,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑧   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑀,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝)   𝐡(𝑧,𝑀)   𝐢(𝑀)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝,π‘Ž,𝑏)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝,π‘Ž,𝑏)   𝑆(𝑧,𝑀)   𝐸(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,π‘Ž,𝑏)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝,π‘Ž,𝑏)   𝐾(𝑧,𝑀)   𝑂(𝑦,π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑀,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem mclsppslem
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mclsppslem.10 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ ran 𝐿)
2 mclspps.l . . . . 5 𝐿 = (mSubstβ€˜π‘‡)
3 mclspps.e . . . . 5 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
42, 3msubf 34166 . . . 4 (𝑠 ∈ ran 𝐿 β†’ 𝑠:𝐸⟢𝐸)
51, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑠:𝐸⟢𝐸)
6 mclspps.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
7 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (mAxβ€˜π‘‡) = (mAxβ€˜π‘‡)
8 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (mStatβ€˜π‘‡) = (mStatβ€˜π‘‡)
97, 8maxsta 34188 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ mFS β†’ (mAxβ€˜π‘‡) βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
106, 9syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (mAxβ€˜π‘‡) βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
11 eqid 2737 . . . . . . . 8 (mPreStβ€˜π‘‡) = (mPreStβ€˜π‘‡)
1211, 8mstapst 34181 . . . . . . 7 (mStatβ€˜π‘‡) βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡)
1310, 12sstrdi 3961 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (mAxβ€˜π‘‡) βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡))
14 mclsppslem.9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡))
1513, 14sseldd 3950 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡))
16 mclspps.d . . . . . 6 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
1716, 3, 11elmpst 34170 . . . . 5 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) ↔ ((π‘š βŠ† 𝐷 ∧ β—‘π‘š = π‘š) ∧ (π‘œ βŠ† 𝐸 ∧ π‘œ ∈ Fin) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
1815, 17sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘š βŠ† 𝐷 ∧ β—‘π‘š = π‘š) ∧ (π‘œ βŠ† 𝐸 ∧ π‘œ ∈ Fin) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
1918simp3d 1145 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
205, 19ffvelcdmd 7041 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)
21 fvco3 6945 . . . 4 ((𝑠:𝐸⟢𝐸 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜π‘) = (π‘†β€˜(π‘ β€˜π‘)))
225, 19, 21syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜π‘) = (π‘†β€˜(π‘ β€˜π‘)))
23 mclspps.c . . . 4 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
24 mclspps.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
25 mclspps.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
26 mclspps.v . . . 4 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
27 mclspps.h . . . 4 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
28 mclspps.w . . . 4 π‘Š = (mVarsβ€˜π‘‡)
29 mclspps.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
302msubco 34165 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ran 𝐿 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿) β†’ (𝑆 ∘ 𝑠) ∈ ran 𝐿)
3129, 1, 30syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∘ 𝑠) ∈ ran 𝐿)
322, 3msubf 34166 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ ran 𝐿 β†’ 𝑆:𝐸⟢𝐸)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐸⟢𝐸)
34 fco 6697 . . . . . . . 8 ((𝑆:𝐸⟢𝐸 ∧ 𝑠:𝐸⟢𝐸) β†’ (𝑆 ∘ 𝑠):𝐸⟢𝐸)
3533, 5, 34syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∘ 𝑠):𝐸⟢𝐸)
3635ffnd 6674 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸)
3736adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ π‘œ) β†’ (𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸)
38 mclsppslem.11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
395ffund 6677 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Fun 𝑠)
4017simp2bi 1147 . . . . . . . . . . . . . 14 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) β†’ (π‘œ βŠ† 𝐸 ∧ π‘œ ∈ Fin))
4115, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘œ βŠ† 𝐸 ∧ π‘œ ∈ Fin))
4241simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘œ βŠ† 𝐸)
4326, 3, 27mvhf 34192 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
44 frn 6680 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:π‘‰βŸΆπΈ β†’ ran 𝐻 βŠ† 𝐸)
456, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† 𝐸)
4642, 45unssd 4151 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸)
475fdmd 6684 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝑠 = 𝐸)
4846, 47sseqtrrd 3990 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† dom 𝑠)
49 funimass3 7009 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝑠 ∧ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† dom 𝑠) β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (◑𝑠 β€œ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))))
5039, 48, 49syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (◑𝑠 β€œ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))))
5138, 50mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (◑𝑠 β€œ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))))
52 cnvco 5846 . . . . . . . . . 10 β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) = (◑𝑠 ∘ ◑𝑆)
5352imaeq1i 6015 . . . . . . . . 9 (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)) = ((◑𝑠 ∘ ◑𝑆) β€œ (𝐾𝐢𝐡))
54 imaco 6208 . . . . . . . . 9 ((◑𝑠 ∘ ◑𝑆) β€œ (𝐾𝐢𝐡)) = (◑𝑠 β€œ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
5553, 54eqtri 2765 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)) = (◑𝑠 β€œ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
5651, 55sseqtrrdi 4000 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
5756unssad 4152 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘œ βŠ† (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
5857sselda 3949 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ π‘œ) β†’ 𝑐 ∈ (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
59 elpreima 7013 . . . . . 6 ((𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸 β†’ (𝑐 ∈ (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜π‘) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
6059simplbda 501 . . . . 5 (((𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡))) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜π‘) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
6137, 58, 60syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ π‘œ) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜π‘) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
6236adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸)
6356unssbd 4153 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
6463adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ran 𝐻 βŠ† (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
65 ffn 6673 . . . . . . . 8 (𝐻:π‘‰βŸΆπΈ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
666, 43, 653syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
67 fnfvelrn 7036 . . . . . . 7 ((𝐻 Fn 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ran 𝐻)
6866, 67sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ran 𝐻)
6964, 68sseldd 3950 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
70 elpreima 7013 . . . . . 6 ((𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸 β†’ ((π»β€˜π‘‘) ∈ (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ ((π»β€˜π‘‘) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
7170simplbda 501 . . . . 5 (((𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸 ∧ (π»β€˜π‘‘) ∈ (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡))) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
7262, 69, 71syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
735adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝑠:𝐸⟢𝐸)
746, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
7574adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
7618simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (π‘š βŠ† 𝐷 ∧ β—‘π‘š = π‘š))
7776simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ π‘š βŠ† 𝐷)
7826, 16mdvval 34138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐷 = ((𝑉 Γ— 𝑉) βˆ– I )
79 difss 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑉 Γ— 𝑉) βˆ– I ) βŠ† (𝑉 Γ— 𝑉)
8078, 79eqsstri 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 βŠ† (𝑉 Γ— 𝑉)
8177, 80sstrdi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘š βŠ† (𝑉 Γ— 𝑉))
8281ssbrd 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘π‘šπ‘‘ β†’ 𝑐(𝑉 Γ— 𝑉)𝑑))
8382imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝑐(𝑉 Γ— 𝑉)𝑑)
84 brxp 5686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐(𝑉 Γ— 𝑉)𝑑 ↔ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉))
8583, 84sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉))
8685simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝑐 ∈ 𝑉)
8775, 86ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π»β€˜π‘) ∈ 𝐸)
88 fvco3 6945 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠:𝐸⟢𝐸 ∧ (π»β€˜π‘) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘)) = (π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))))
8973, 87, 88syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘)) = (π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))))
9089fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) = (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))))
916adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝑇 ∈ mFS)
9229adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
9373, 87ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘)) ∈ 𝐸)
942, 3, 28, 27msubvrs 34194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐿 ∧ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘)) ∈ 𝐸) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))) = βˆͺ 𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))))
9591, 92, 93, 94syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))) = βˆͺ 𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))))
9690, 95eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) = βˆͺ 𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))))
9796eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) ↔ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’)))))
98 eliun 4963 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))))
9997, 98bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’)))))
10085simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝑑 ∈ 𝑉)
10175, 100ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ 𝐸)
102 fvco3 6945 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠:𝐸⟢𝐸 ∧ (π»β€˜π‘‘) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)) = (π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))
10373, 101, 102syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)) = (π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))
104103fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘))) = (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))))
10573, 101ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)) ∈ 𝐸)
1062, 3, 28, 27msubvrs 34194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐿 ∧ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)) ∈ 𝐸) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) = βˆͺ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))
10791, 92, 105, 106syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) = βˆͺ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))
108104, 107eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘))) = βˆͺ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))
109108eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘))) ↔ 𝑏 ∈ βˆͺ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))))
110 eliun 4963 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ βˆͺ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))
111109, 110bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))))
11299, 111anbi12d 632 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)))) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))))
113 reeanv 3220 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))))
114 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) ∧ (𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))) β†’ πœ‘)
115 brxp 5686 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))𝑣 ↔ (𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))))
116 mclsppslem.12 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀))
117 breq12 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π‘§π‘šπ‘€ ↔ π‘π‘šπ‘‘))
118 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ 𝑧 = 𝑐)
119118fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π»β€˜π‘§) = (π»β€˜π‘))
120119fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘§)) = (π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))
121120fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) = (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))))
122 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ 𝑀 = 𝑑)
123122fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π»β€˜π‘€) = (π»β€˜π‘‘))
124123fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)) = (π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))
125124fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€))) = (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))
126121, 125xpeq12d 5669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) = ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))))
127126sseq1d 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀 ↔ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) βŠ† 𝑀))
128117, 127imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ ((π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀) ↔ (π‘π‘šπ‘‘ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) βŠ† 𝑀)))
129128spc2gv 3562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V) β†’ (βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘π‘šπ‘‘ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) βŠ† 𝑀)))
130129el2v 3456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘π‘šπ‘‘ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) βŠ† 𝑀))
131116, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘π‘šπ‘‘ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) βŠ† 𝑀))
132131imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) βŠ† 𝑀)
133132ssbrd 5153 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (𝑒((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))𝑣 β†’ 𝑒𝑀𝑣))
134115, 133biimtrrid 242 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) β†’ 𝑒𝑀𝑣))
135134imp 408 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) ∧ (𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))) β†’ 𝑒𝑀𝑣)
136 vex 3452 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 ∈ V
137 vex 3452 . . . . . . . . . . . . 13 𝑣 ∈ V
138 breq12 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π‘₯𝑀𝑦 ↔ 𝑒𝑀𝑣))
139 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ π‘₯ = 𝑒)
140139fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘’))
141140fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯)) = (π‘†β€˜(π»β€˜π‘’)))
142141fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) = (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))))
143142eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ↔ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’)))))
144 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ 𝑦 = 𝑣)
145144fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘¦) = (π»β€˜π‘£))
146145fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)) = (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))
147146fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))) = (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))
148147eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))) ↔ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))))
149138, 143, 1483anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ ((π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) ↔ (𝑒𝑀𝑣 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))))
150149anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑒𝑀𝑣 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))))))
151150imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑒𝑀𝑣 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)))
152 mclspps.8 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
153136, 137, 151, 152vtocl2 3523 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒𝑀𝑣 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
1541533exp2 1355 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑒𝑀𝑣 β†’ (π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) β†’ (𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))))
155154imp4b 423 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒𝑀𝑣) β†’ ((π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))
156114, 135, 155syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) ∧ (𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))) β†’ ((π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))
157156rexlimdvva 3206 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))
158113, 157biimtrrid 242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))
159112, 158sylbid 239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))
160159exp4b 432 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘π‘šπ‘‘ β†’ (π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) β†’ (𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))))
1611603imp2 1350 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘π‘šπ‘‘ ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
16216, 3, 23, 6, 24, 25, 7, 2, 26, 27, 28, 14, 31, 61, 72, 161mclsax 34203 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜π‘) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
16322, 162eqeltrrd 2839 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(π‘ β€˜π‘)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
16433ffnd 6674 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 Fn 𝐸)
165 elpreima 7013 . . 3 (𝑆 Fn 𝐸 β†’ ((π‘ β€˜π‘) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ ((π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸 ∧ (π‘†β€˜(π‘ β€˜π‘)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
166164, 165syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ β€˜π‘) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ ((π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸 ∧ (π‘†β€˜(π‘ β€˜π‘)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
16720, 163, 166mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  βŸ¨cotp 4599  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   I cid 5535   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  mVRcmvar 34095  mAxcmax 34099  mExcmex 34101  mDVcmdv 34102  mVarscmvrs 34103  mSubstcmsub 34105  mVHcmvh 34106  mPreStcmpst 34107  mStatcmsta 34109  mFScmfs 34110  mClscmcls 34111  mPPStcmpps 34112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-word 14410  df-lsw 14458  df-concat 14466  df-s1 14491  df-substr 14536  df-pfx 14566  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-frmd 18666  df-vrmd 18667  df-mrex 34120  df-mex 34121  df-mdv 34122  df-mvrs 34123  df-mrsub 34124  df-msub 34125  df-mvh 34126  df-mpst 34127  df-msr 34128  df-msta 34129  df-mfs 34130  df-mcls 34131
This theorem is referenced by:  mclspps  34218
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