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Theorem mclsppslem 34574
Description: The closure is closed under application of provable pre-statements. (Compare mclsax 34560.) This theorem is what justifies the treatment of theorems as "equivalent" to axioms once they have been proven: the composition of one theorem in the proof of another yields a theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclspps.d 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
mclspps.e 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
mclspps.c 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
mclspps.1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
mclspps.2 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
mclspps.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
mclspps.j 𝐽 = (mPPStβ€˜π‘‡)
mclspps.l 𝐿 = (mSubstβ€˜π‘‡)
mclspps.v 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
mclspps.h 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
mclspps.w π‘Š = (mVarsβ€˜π‘‡)
mclspps.4 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘€, 𝑂, π‘ƒβŸ© ∈ 𝐽)
mclspps.5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
mclspps.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑂) β†’ (π‘†β€˜π‘₯) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
mclspps.7 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
mclspps.8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
mclsppslem.9 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡))
mclsppslem.10 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ ran 𝐿)
mclsppslem.11 (πœ‘ β†’ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
mclsppslem.12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀))
Assertion
Ref Expression
mclsppslem (πœ‘ β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝐸   π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧,𝐻   𝑣,𝑉,𝑧   𝐾,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,π‘₯,𝑦   𝑇,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐿,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑆,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,π‘₯,𝑦   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,π‘₯,𝑦   π‘Š,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   𝐢,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,π‘Ž,𝑏,π‘š,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑦,𝑧   π‘š,𝑂,π‘œ,𝑝,𝑠,𝑣,𝑀,π‘₯,𝑧   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑣,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑀,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝)   𝐡(𝑧,𝑀)   𝐢(𝑀)   𝐷(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝,π‘Ž,𝑏)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝,π‘Ž,𝑏)   𝑆(𝑧,𝑀)   𝐸(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,π‘Ž,𝑏)   𝐽(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑀,𝑣,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝,π‘Ž,𝑏)   𝐾(𝑧,𝑀)   𝑂(𝑦,π‘Ž,𝑏)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑀,π‘š,π‘œ,𝑠,𝑝,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem mclsppslem
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mclsppslem.10 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑠 ∈ ran 𝐿)
2 mclspps.l . . . . 5 𝐿 = (mSubstβ€˜π‘‡)
3 mclspps.e . . . . 5 𝐸 = (mExβ€˜π‘‡)
42, 3msubf 34523 . . . 4 (𝑠 ∈ ran 𝐿 β†’ 𝑠:𝐸⟢𝐸)
51, 4syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑠:𝐸⟢𝐸)
6 mclspps.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ mFS)
7 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (mAxβ€˜π‘‡) = (mAxβ€˜π‘‡)
8 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (mStatβ€˜π‘‡) = (mStatβ€˜π‘‡)
97, 8maxsta 34545 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ mFS β†’ (mAxβ€˜π‘‡) βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
106, 9syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (mAxβ€˜π‘‡) βŠ† (mStatβ€˜π‘‡))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (mPreStβ€˜π‘‡) = (mPreStβ€˜π‘‡)
1211, 8mstapst 34538 . . . . . . 7 (mStatβ€˜π‘‡) βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡)
1310, 12sstrdi 3995 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (mAxβ€˜π‘‡) βŠ† (mPreStβ€˜π‘‡))
14 mclsppslem.9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mAxβ€˜π‘‡))
1513, 14sseldd 3984 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡))
16 mclspps.d . . . . . 6 𝐷 = (mDVβ€˜π‘‡)
1716, 3, 11elmpst 34527 . . . . 5 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) ↔ ((π‘š βŠ† 𝐷 ∧ β—‘π‘š = π‘š) ∧ (π‘œ βŠ† 𝐸 ∧ π‘œ ∈ Fin) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
1815, 17sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘š βŠ† 𝐷 ∧ β—‘π‘š = π‘š) ∧ (π‘œ βŠ† 𝐸 ∧ π‘œ ∈ Fin) ∧ 𝑝 ∈ 𝐸))
1918simp3d 1145 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑝 ∈ 𝐸)
205, 19ffvelcdmd 7088 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸)
21 fvco3 6991 . . . 4 ((𝑠:𝐸⟢𝐸 ∧ 𝑝 ∈ 𝐸) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜π‘) = (π‘†β€˜(π‘ β€˜π‘)))
225, 19, 21syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜π‘) = (π‘†β€˜(π‘ β€˜π‘)))
23 mclspps.c . . . 4 𝐢 = (mClsβ€˜π‘‡)
24 mclspps.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 βŠ† 𝐷)
25 mclspps.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† 𝐸)
26 mclspps.v . . . 4 𝑉 = (mVRβ€˜π‘‡)
27 mclspps.h . . . 4 𝐻 = (mVHβ€˜π‘‡)
28 mclspps.w . . . 4 π‘Š = (mVarsβ€˜π‘‡)
29 mclspps.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
302msubco 34522 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ran 𝐿 ∧ 𝑠 ∈ ran 𝐿) β†’ (𝑆 ∘ 𝑠) ∈ ran 𝐿)
3129, 1, 30syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∘ 𝑠) ∈ ran 𝐿)
322, 3msubf 34523 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ ran 𝐿 β†’ 𝑆:𝐸⟢𝐸)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆:𝐸⟢𝐸)
34 fco 6742 . . . . . . . 8 ((𝑆:𝐸⟢𝐸 ∧ 𝑠:𝐸⟢𝐸) β†’ (𝑆 ∘ 𝑠):𝐸⟢𝐸)
3533, 5, 34syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∘ 𝑠):𝐸⟢𝐸)
3635ffnd 6719 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸)
3736adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ π‘œ) β†’ (𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸)
38 mclsppslem.11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
395ffund 6722 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Fun 𝑠)
4017simp2bi 1147 . . . . . . . . . . . . . 14 (βŸ¨π‘š, π‘œ, π‘βŸ© ∈ (mPreStβ€˜π‘‡) β†’ (π‘œ βŠ† 𝐸 ∧ π‘œ ∈ Fin))
4115, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘œ βŠ† 𝐸 ∧ π‘œ ∈ Fin))
4241simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘œ βŠ† 𝐸)
4326, 3, 27mvhf 34549 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ mFS β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
44 frn 6725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:π‘‰βŸΆπΈ β†’ ran 𝐻 βŠ† 𝐸)
456, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† 𝐸)
4642, 45unssd 4187 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† 𝐸)
475fdmd 6729 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom 𝑠 = 𝐸)
4846, 47sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† dom 𝑠)
49 funimass3 7056 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝑠 ∧ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† dom 𝑠) β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (◑𝑠 β€œ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))))
5039, 48, 49syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑠 β€œ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻)) βŠ† (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (◑𝑠 β€œ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))))
5138, 50mpbid 231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (◑𝑠 β€œ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡))))
52 cnvco 5886 . . . . . . . . . 10 β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) = (◑𝑠 ∘ ◑𝑆)
5352imaeq1i 6057 . . . . . . . . 9 (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)) = ((◑𝑠 ∘ ◑𝑆) β€œ (𝐾𝐢𝐡))
54 imaco 6251 . . . . . . . . 9 ((◑𝑠 ∘ ◑𝑆) β€œ (𝐾𝐢𝐡)) = (◑𝑠 β€œ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
5553, 54eqtri 2761 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)) = (◑𝑠 β€œ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
5651, 55sseqtrrdi 4034 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘œ βˆͺ ran 𝐻) βŠ† (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
5756unssad 4188 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘œ βŠ† (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
5857sselda 3983 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ π‘œ) β†’ 𝑐 ∈ (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
59 elpreima 7060 . . . . . 6 ((𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸 β†’ (𝑐 ∈ (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ (𝑐 ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜π‘) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
6059simplbda 501 . . . . 5 (((𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸 ∧ 𝑐 ∈ (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡))) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜π‘) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
6137, 58, 60syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ π‘œ) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜π‘) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
6236adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸)
6356unssbd 4189 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝐻 βŠ† (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
6463adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ran 𝐻 βŠ† (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
65 ffn 6718 . . . . . . . 8 (𝐻:π‘‰βŸΆπΈ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
666, 43, 653syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝑉)
67 fnfvelrn 7083 . . . . . . 7 ((𝐻 Fn 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ran 𝐻)
6866, 67sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ ran 𝐻)
6964, 68sseldd 3984 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
70 elpreima 7060 . . . . . 6 ((𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸 β†’ ((π»β€˜π‘‘) ∈ (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ ((π»β€˜π‘‘) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
7170simplbda 501 . . . . 5 (((𝑆 ∘ 𝑠) Fn 𝐸 ∧ (π»β€˜π‘‘) ∈ (β—‘(𝑆 ∘ 𝑠) β€œ (𝐾𝐢𝐡))) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
7262, 69, 71syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
735adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝑠:𝐸⟢𝐸)
746, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
7574adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝐻:π‘‰βŸΆπΈ)
7618simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (π‘š βŠ† 𝐷 ∧ β—‘π‘š = π‘š))
7776simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ π‘š βŠ† 𝐷)
7826, 16mdvval 34495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐷 = ((𝑉 Γ— 𝑉) βˆ– I )
79 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑉 Γ— 𝑉) βˆ– I ) βŠ† (𝑉 Γ— 𝑉)
8078, 79eqsstri 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 βŠ† (𝑉 Γ— 𝑉)
8177, 80sstrdi 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘š βŠ† (𝑉 Γ— 𝑉))
8281ssbrd 5192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘π‘šπ‘‘ β†’ 𝑐(𝑉 Γ— 𝑉)𝑑))
8382imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝑐(𝑉 Γ— 𝑉)𝑑)
84 brxp 5726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐(𝑉 Γ— 𝑉)𝑑 ↔ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉))
8583, 84sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑑 ∈ 𝑉))
8685simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝑐 ∈ 𝑉)
8775, 86ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π»β€˜π‘) ∈ 𝐸)
88 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠:𝐸⟢𝐸 ∧ (π»β€˜π‘) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘)) = (π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))))
8973, 87, 88syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘)) = (π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))))
9089fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) = (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))))
916adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝑇 ∈ mFS)
9229adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝑆 ∈ ran 𝐿)
9373, 87ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘)) ∈ 𝐸)
942, 3, 28, 27msubvrs 34551 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐿 ∧ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘)) ∈ 𝐸) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))) = βˆͺ 𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))))
9591, 92, 93, 94syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))) = βˆͺ 𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))))
9690, 95eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) = βˆͺ 𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))))
9796eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) ↔ π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’)))))
98 eliun 5002 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ βˆͺ 𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))))
9997, 98bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’)))))
10085simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ 𝑑 ∈ 𝑉)
10175, 100ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π»β€˜π‘‘) ∈ 𝐸)
102 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠:𝐸⟢𝐸 ∧ (π»β€˜π‘‘) ∈ 𝐸) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)) = (π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))
10373, 101, 102syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)) = (π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))
104103fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘))) = (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))))
10573, 101ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)) ∈ 𝐸)
1062, 3, 28, 27msubvrs 34551 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐿 ∧ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)) ∈ 𝐸) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) = βˆͺ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))
10791, 92, 105, 106syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) = βˆͺ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))
108104, 107eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘))) = βˆͺ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))
109108eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘))) ↔ 𝑏 ∈ βˆͺ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))))
110 eliun 5002 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ βˆͺ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))
111109, 110bitrdi 287 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))))
11299, 111anbi12d 632 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)))) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))))
113 reeanv 3227 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))))
114 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) ∧ (𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))) β†’ πœ‘)
115 brxp 5726 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))𝑣 ↔ (𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))))
116 mclsppslem.12 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀))
117 breq12 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π‘§π‘šπ‘€ ↔ π‘π‘šπ‘‘))
118 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ 𝑧 = 𝑐)
119118fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π»β€˜π‘§) = (π»β€˜π‘))
120119fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘§)) = (π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))
121120fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) = (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))))
122 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ 𝑀 = 𝑑)
123122fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π»β€˜π‘€) = (π»β€˜π‘‘))
124123fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)) = (π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))
125124fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€))) = (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))
126121, 125xpeq12d 5708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) = ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))))
127126sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ (((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀 ↔ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) βŠ† 𝑀))
128117, 127imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = 𝑐 ∧ 𝑀 = 𝑑) β†’ ((π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀) ↔ (π‘π‘šπ‘‘ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) βŠ† 𝑀)))
129128spc2gv 3591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V) β†’ (βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘π‘šπ‘‘ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) βŠ† 𝑀)))
130129el2v 3483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘§βˆ€π‘€(π‘§π‘šπ‘€ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘§))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘€)))) βŠ† 𝑀) β†’ (π‘π‘šπ‘‘ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) βŠ† 𝑀))
131116, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘π‘šπ‘‘ β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) βŠ† 𝑀))
132131imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) βŠ† 𝑀)
133132ssbrd 5192 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (𝑒((π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) Γ— (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))𝑣 β†’ 𝑒𝑀𝑣))
134115, 133biimtrrid 242 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))) β†’ 𝑒𝑀𝑣))
135134imp 408 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) ∧ (𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))) β†’ 𝑒𝑀𝑣)
136 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 ∈ V
137 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 𝑣 ∈ V
138 breq12 5154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π‘₯𝑀𝑦 ↔ 𝑒𝑀𝑣))
139 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ π‘₯ = 𝑒)
140139fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘’))
141140fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯)) = (π‘†β€˜(π»β€˜π‘’)))
142141fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) = (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))))
143142eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ↔ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’)))))
144 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ 𝑦 = 𝑣)
145144fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π»β€˜π‘¦) = (π»β€˜π‘£))
146145fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)) = (π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))
147146fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))) = (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))
148147eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))) ↔ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))))
149138, 143, 1483anbi123d 1437 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ ((π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦)))) ↔ (𝑒𝑀𝑣 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))))
150149anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑒𝑀𝑣 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))))))
151150imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ = 𝑒 ∧ 𝑦 = 𝑣) β†’ (((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑒𝑀𝑣 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)))
152 mclspps.8 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯𝑀𝑦 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘¦))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
153136, 137, 151, 152vtocl2 3552 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒𝑀𝑣 ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
1541533exp2 1355 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑒𝑀𝑣 β†’ (π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) β†’ (𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))))
155154imp4b 423 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑒𝑀𝑣) β†’ ((π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))
156114, 135, 155syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) ∧ (𝑒 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑣 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘))))) β†’ ((π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))
157156rexlimdvva 3212 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))(π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))
158113, 157biimtrrid 242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((βˆƒπ‘’ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘)))π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘’))) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ (π‘Šβ€˜(π‘ β€˜(π»β€˜π‘‘)))𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜(π‘†β€˜(π»β€˜π‘£)))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))
159112, 158sylbid 239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘π‘šπ‘‘) β†’ ((π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘)))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))
160159exp4b 432 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘π‘šπ‘‘ β†’ (π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) β†’ (𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘))) β†’ π‘ŽπΎπ‘))))
1611603imp2 1350 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘π‘šπ‘‘ ∧ π‘Ž ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘))) ∧ 𝑏 ∈ (π‘Šβ€˜((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜(π»β€˜π‘‘))))) β†’ π‘ŽπΎπ‘)
16216, 3, 23, 6, 24, 25, 7, 2, 26, 27, 28, 14, 31, 61, 72, 161mclsax 34560 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 ∘ 𝑠)β€˜π‘) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
16322, 162eqeltrrd 2835 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(π‘ β€˜π‘)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))
16433ffnd 6719 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 Fn 𝐸)
165 elpreima 7060 . . 3 (𝑆 Fn 𝐸 β†’ ((π‘ β€˜π‘) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ ((π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸 ∧ (π‘†β€˜(π‘ β€˜π‘)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
166164, 165syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘ β€˜π‘) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)) ↔ ((π‘ β€˜π‘) ∈ 𝐸 ∧ (π‘†β€˜(π‘ β€˜π‘)) ∈ (𝐾𝐢𝐡))))
16720, 163, 166mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (π‘ β€˜π‘) ∈ (◑𝑆 β€œ (𝐾𝐢𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βŸ¨cotp 4637  βˆͺ ciun 4998   class class class wbr 5149   I cid 5574   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   ∘ ccom 5681  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  mVRcmvar 34452  mAxcmax 34456  mExcmex 34458  mDVcmdv 34459  mVarscmvrs 34460  mSubstcmsub 34462  mVHcmvh 34463  mPreStcmpst 34464  mStatcmsta 34466  mFScmfs 34467  mClscmcls 34468  mPPStcmpps 34469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-frmd 18730  df-vrmd 18731  df-mrex 34477  df-mex 34478  df-mdv 34479  df-mvrs 34480  df-mrsub 34481  df-msub 34482  df-mvh 34483  df-mpst 34484  df-msr 34485  df-msta 34486  df-mfs 34487  df-mcls 34488
This theorem is referenced by:  mclspps  34575
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