Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mclsppslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mclsppslem 34177
Description: The closure is closed under application of provable pre-statements. (Compare mclsax 34163.) This theorem is what justifies the treatment of theorems as "equivalent" to axioms once they have been proven: the composition of one theorem in the proof of another yields a theorem. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mclspps.d 𝐷 = (mDV‘𝑇)
mclspps.e 𝐸 = (mEx‘𝑇)
mclspps.c 𝐶 = (mCls‘𝑇)
mclspps.1 (𝜑𝑇 ∈ mFS)
mclspps.2 (𝜑𝐾𝐷)
mclspps.3 (𝜑𝐵𝐸)
mclspps.j 𝐽 = (mPPSt‘𝑇)
mclspps.l 𝐿 = (mSubst‘𝑇)
mclspps.v 𝑉 = (mVR‘𝑇)
mclspps.h 𝐻 = (mVH‘𝑇)
mclspps.w 𝑊 = (mVars‘𝑇)
mclspps.4 (𝜑 → ⟨𝑀, 𝑂, 𝑃⟩ ∈ 𝐽)
mclspps.5 (𝜑𝑆 ∈ ran 𝐿)
mclspps.6 ((𝜑𝑥𝑂) → (𝑆𝑥) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
mclspps.7 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝑆‘(𝐻𝑣)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
mclspps.8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦))))) → 𝑎𝐾𝑏)
mclsppslem.9 (𝜑 → ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇))
mclsppslem.10 (𝜑𝑠 ∈ ran 𝐿)
mclsppslem.11 (𝜑 → (𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))
mclsppslem.12 (𝜑 → ∀𝑧𝑤(𝑧𝑚𝑤 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) ⊆ 𝑀))
Assertion
Ref Expression
mclsppslem (𝜑 → (𝑠𝑝) ∈ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝐸   𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐻   𝑣,𝑉,𝑧   𝐾,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑥,𝑦   𝑇,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐿,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑥,𝑦   𝐵,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑥,𝑦   𝑊,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑀,𝑎,𝑏,𝑚,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝑂,𝑜,𝑝,𝑠,𝑣,𝑤,𝑥,𝑧   𝜑,𝑎,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝)   𝐵(𝑧,𝑤)   𝐶(𝑤)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑧,𝑤)   𝐸(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝,𝑎,𝑏)   𝐾(𝑧,𝑤)   𝑂(𝑦,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑤,𝑚,𝑜,𝑠,𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem mclsppslem
Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mclsppslem.10 . . . 4 (𝜑𝑠 ∈ ran 𝐿)
2 mclspps.l . . . . 5 𝐿 = (mSubst‘𝑇)
3 mclspps.e . . . . 5 𝐸 = (mEx‘𝑇)
42, 3msubf 34126 . . . 4 (𝑠 ∈ ran 𝐿𝑠:𝐸𝐸)
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑠:𝐸𝐸)
6 mclspps.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ mFS)
7 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (mAx‘𝑇) = (mAx‘𝑇)
8 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (mStat‘𝑇) = (mStat‘𝑇)
97, 8maxsta 34148 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ mFS → (mAx‘𝑇) ⊆ (mStat‘𝑇))
106, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (mAx‘𝑇) ⊆ (mStat‘𝑇))
11 eqid 2736 . . . . . . . 8 (mPreSt‘𝑇) = (mPreSt‘𝑇)
1211, 8mstapst 34141 . . . . . . 7 (mStat‘𝑇) ⊆ (mPreSt‘𝑇)
1310, 12sstrdi 3956 . . . . . 6 (𝜑 → (mAx‘𝑇) ⊆ (mPreSt‘𝑇))
14 mclsppslem.9 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mAx‘𝑇))
1513, 14sseldd 3945 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mPreSt‘𝑇))
16 mclspps.d . . . . . 6 𝐷 = (mDV‘𝑇)
1716, 3, 11elmpst 34130 . . . . 5 (⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mPreSt‘𝑇) ↔ ((𝑚𝐷𝑚 = 𝑚) ∧ (𝑜𝐸𝑜 ∈ Fin) ∧ 𝑝𝐸))
1815, 17sylib 217 . . . 4 (𝜑 → ((𝑚𝐷𝑚 = 𝑚) ∧ (𝑜𝐸𝑜 ∈ Fin) ∧ 𝑝𝐸))
1918simp3d 1144 . . 3 (𝜑𝑝𝐸)
205, 19ffvelcdmd 7036 . 2 (𝜑 → (𝑠𝑝) ∈ 𝐸)
21 fvco3 6940 . . . 4 ((𝑠:𝐸𝐸𝑝𝐸) → ((𝑆𝑠)‘𝑝) = (𝑆‘(𝑠𝑝)))
225, 19, 21syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑠)‘𝑝) = (𝑆‘(𝑠𝑝)))
23 mclspps.c . . . 4 𝐶 = (mCls‘𝑇)
24 mclspps.2 . . . 4 (𝜑𝐾𝐷)
25 mclspps.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝐸)
26 mclspps.v . . . 4 𝑉 = (mVR‘𝑇)
27 mclspps.h . . . 4 𝐻 = (mVH‘𝑇)
28 mclspps.w . . . 4 𝑊 = (mVars‘𝑇)
29 mclspps.5 . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ ran 𝐿)
302msubco 34125 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ran 𝐿𝑠 ∈ ran 𝐿) → (𝑆𝑠) ∈ ran 𝐿)
3129, 1, 30syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑠) ∈ ran 𝐿)
322, 3msubf 34126 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ ran 𝐿𝑆:𝐸𝐸)
3329, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:𝐸𝐸)
34 fco 6692 . . . . . . . 8 ((𝑆:𝐸𝐸𝑠:𝐸𝐸) → (𝑆𝑠):𝐸𝐸)
3533, 5, 34syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑠):𝐸𝐸)
3635ffnd 6669 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝑠) Fn 𝐸)
3736adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝑜) → (𝑆𝑠) Fn 𝐸)
38 mclsppslem.11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))
395ffund 6672 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Fun 𝑠)
4017simp2bi 1146 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟨𝑚, 𝑜, 𝑝⟩ ∈ (mPreSt‘𝑇) → (𝑜𝐸𝑜 ∈ Fin))
4115, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑜𝐸𝑜 ∈ Fin))
4241simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑜𝐸)
4326, 3, 27mvhf 34152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ mFS → 𝐻:𝑉𝐸)
44 frn 6675 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:𝑉𝐸 → ran 𝐻𝐸)
456, 43, 443syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ran 𝐻𝐸)
4642, 45unssd 4146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ 𝐸)
475fdmd 6679 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑠 = 𝐸)
4846, 47sseqtrrd 3985 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ dom 𝑠)
49 funimass3 7004 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝑠 ∧ (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ dom 𝑠) → ((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)) ↔ (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝑠 “ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))))
5039, 48, 49syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑠 “ (𝑜 ∪ ran 𝐻)) ⊆ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)) ↔ (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝑠 “ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))))
5138, 50mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ (𝑠 “ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵))))
52 cnvco 5841 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑠) = (𝑠𝑆)
5352imaeq1i 6010 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)) = ((𝑠𝑆) “ (𝐾𝐶𝐵))
54 imaco 6203 . . . . . . . . 9 ((𝑠𝑆) “ (𝐾𝐶𝐵)) = (𝑠 “ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))
5553, 54eqtri 2764 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)) = (𝑠 “ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))
5651, 55sseqtrrdi 3995 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑜 ∪ ran 𝐻) ⊆ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)))
5756unssad 4147 . . . . . 6 (𝜑𝑜 ⊆ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)))
5857sselda 3944 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝑜) → 𝑐 ∈ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)))
59 elpreima 7008 . . . . . 6 ((𝑆𝑠) Fn 𝐸 → (𝑐 ∈ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)) ↔ (𝑐𝐸 ∧ ((𝑆𝑠)‘𝑐) ∈ (𝐾𝐶𝐵))))
6059simplbda 500 . . . . 5 (((𝑆𝑠) Fn 𝐸𝑐 ∈ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵))) → ((𝑆𝑠)‘𝑐) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
6137, 58, 60syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑐𝑜) → ((𝑆𝑠)‘𝑐) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
6236adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝑆𝑠) Fn 𝐸)
6356unssbd 4148 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)))
6463adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → ran 𝐻 ⊆ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)))
65 ffn 6668 . . . . . . . 8 (𝐻:𝑉𝐸𝐻 Fn 𝑉)
666, 43, 653syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 Fn 𝑉)
67 fnfvelrn 7031 . . . . . . 7 ((𝐻 Fn 𝑉𝑡𝑉) → (𝐻𝑡) ∈ ran 𝐻)
6866, 67sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐻𝑡) ∈ ran 𝐻)
6964, 68sseldd 3945 . . . . 5 ((𝜑𝑡𝑉) → (𝐻𝑡) ∈ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)))
70 elpreima 7008 . . . . . 6 ((𝑆𝑠) Fn 𝐸 → ((𝐻𝑡) ∈ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵)) ↔ ((𝐻𝑡) ∈ 𝐸 ∧ ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑡)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))))
7170simplbda 500 . . . . 5 (((𝑆𝑠) Fn 𝐸 ∧ (𝐻𝑡) ∈ ((𝑆𝑠) “ (𝐾𝐶𝐵))) → ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑡)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
7262, 69, 71syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑡𝑉) → ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑡)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
735adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝑠:𝐸𝐸)
746, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐻:𝑉𝐸)
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝐻:𝑉𝐸)
7618simp1d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑚𝐷𝑚 = 𝑚))
7776simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑚𝐷)
7826, 16mdvval 34098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐷 = ((𝑉 × 𝑉) ∖ I )
79 difss 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑉 × 𝑉) ∖ I ) ⊆ (𝑉 × 𝑉)
8078, 79eqsstri 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐷 ⊆ (𝑉 × 𝑉)
8177, 80sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑚 ⊆ (𝑉 × 𝑉))
8281ssbrd 5148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑐𝑚𝑑𝑐(𝑉 × 𝑉)𝑑))
8382imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝑐(𝑉 × 𝑉)𝑑)
84 brxp 5681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐(𝑉 × 𝑉)𝑑 ↔ (𝑐𝑉𝑑𝑉))
8583, 84sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑐𝑉𝑑𝑉))
8685simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝑐𝑉)
8775, 86ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝐻𝑐) ∈ 𝐸)
88 fvco3 6940 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠:𝐸𝐸 ∧ (𝐻𝑐) ∈ 𝐸) → ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐)) = (𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑐))))
8973, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐)) = (𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑐))))
9089fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) = (𝑊‘(𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))))
916adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝑇 ∈ mFS)
9229adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝑆 ∈ ran 𝐿)
9373, 87ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑠‘(𝐻𝑐)) ∈ 𝐸)
942, 3, 28, 27msubvrs 34154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠‘(𝐻𝑐)) ∈ 𝐸) → (𝑊‘(𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))) = 𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))))
9591, 92, 93, 94syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑊‘(𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))) = 𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))))
9690, 95eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) = 𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))))
9796eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑎 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) ↔ 𝑎 𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢)))))
98 eliun 4958 . . . . . . . . 9 (𝑎 𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))))
9997, 98bitrdi 286 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑎 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢)))))
10085simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → 𝑑𝑉)
10175, 100ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝐻𝑑) ∈ 𝐸)
102 fvco3 6940 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠:𝐸𝐸 ∧ (𝐻𝑑) ∈ 𝐸) → ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑)) = (𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))
10373, 101, 102syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑)) = (𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))
104103fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑))) = (𝑊‘(𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))))
10573, 101ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑠‘(𝐻𝑑)) ∈ 𝐸)
1062, 3, 28, 27msubvrs 34154 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ mFS ∧ 𝑆 ∈ ran 𝐿 ∧ (𝑠‘(𝐻𝑑)) ∈ 𝐸) → (𝑊‘(𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) = 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))
10791, 92, 105, 106syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑊‘(𝑆‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) = 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))
108104, 107eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑))) = 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))
109108eleq2d 2823 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑏 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑))) ↔ 𝑏 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))))
110 eliun 4958 . . . . . . . . 9 (𝑏 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))
111109, 110bitrdi 286 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑏 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))))
11299, 111anbi12d 631 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑)))) ↔ (∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ ∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))))
113 reeanv 3217 . . . . . . . 8 (∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))) ↔ (∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ ∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))))
114 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝑚𝑑) ∧ (𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))) → 𝜑)
115 brxp 5681 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))𝑣 ↔ (𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))))
116 mclsppslem.12 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑧𝑤(𝑧𝑚𝑤 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) ⊆ 𝑀))
117 breq12 5110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝑧𝑚𝑤𝑐𝑚𝑑))
118 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → 𝑧 = 𝑐)
119118fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝐻𝑧) = (𝐻𝑐))
120119fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝑠‘(𝐻𝑧)) = (𝑠‘(𝐻𝑐)))
121120fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) = (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))))
122 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → 𝑤 = 𝑑)
123122fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝐻𝑤) = (𝐻𝑑))
124123fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝑠‘(𝐻𝑤)) = (𝑠‘(𝐻𝑑)))
125124fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤))) = (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))
126121, 125xpeq12d 5664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) = ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))))
127126sseq1d 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → (((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) ⊆ 𝑀 ↔ ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) ⊆ 𝑀))
128117, 127imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = 𝑐𝑤 = 𝑑) → ((𝑧𝑚𝑤 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) ⊆ 𝑀) ↔ (𝑐𝑚𝑑 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) ⊆ 𝑀)))
129128spc2gv 3559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 ∈ V ∧ 𝑑 ∈ V) → (∀𝑧𝑤(𝑧𝑚𝑤 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) ⊆ 𝑀) → (𝑐𝑚𝑑 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) ⊆ 𝑀)))
130129el2v 3453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧𝑤(𝑧𝑚𝑤 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑧))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑤)))) ⊆ 𝑀) → (𝑐𝑚𝑑 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) ⊆ 𝑀))
131116, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑐𝑚𝑑 → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) ⊆ 𝑀))
132131imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) ⊆ 𝑀)
133132ssbrd 5148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (𝑢((𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) × (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))𝑣𝑢𝑀𝑣))
134115, 133biimtrrid 242 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))) → 𝑢𝑀𝑣))
135134imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝑚𝑑) ∧ (𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))) → 𝑢𝑀𝑣)
136 vex 3449 . . . . . . . . . . . . 13 𝑢 ∈ V
137 vex 3449 . . . . . . . . . . . . 13 𝑣 ∈ V
138 breq12 5110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑥𝑀𝑦𝑢𝑀𝑣))
139 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → 𝑥 = 𝑢)
140139fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝐻𝑥) = (𝐻𝑢))
141140fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑆‘(𝐻𝑥)) = (𝑆‘(𝐻𝑢)))
142141fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) = (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))))
143142eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) ↔ 𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢)))))
144 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → 𝑦 = 𝑣)
145144fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝐻𝑦) = (𝐻𝑣))
146145fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑆‘(𝐻𝑦)) = (𝑆‘(𝐻𝑣)))
147146fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦))) = (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))
148147eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦))) ↔ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))))
149138, 143, 1483anbi123d 1436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → ((𝑥𝑀𝑦𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦)))) ↔ (𝑢𝑀𝑣𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))))
150149anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦))))) ↔ (𝜑 ∧ (𝑢𝑀𝑣𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))))))
151150imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝑣) → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦))))) → 𝑎𝐾𝑏) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑢𝑀𝑣𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))) → 𝑎𝐾𝑏)))
152 mclspps.8 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑀𝑦𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑥))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑦))))) → 𝑎𝐾𝑏)
153136, 137, 151, 152vtocl2 3520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢𝑀𝑣𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))))) → 𝑎𝐾𝑏)
1541533exp2 1354 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑢𝑀𝑣 → (𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) → (𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣))) → 𝑎𝐾𝑏))))
155154imp4b 422 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢𝑀𝑣) → ((𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))) → 𝑎𝐾𝑏))
156114, 135, 155syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝑚𝑑) ∧ (𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑))))) → ((𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))) → 𝑎𝐾𝑏))
157156rexlimdvva 3205 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → (∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))(𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))) → 𝑎𝐾𝑏))
158113, 157biimtrrid 242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((∃𝑢 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑐)))𝑎 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑢))) ∧ ∃𝑣 ∈ (𝑊‘(𝑠‘(𝐻𝑑)))𝑏 ∈ (𝑊‘(𝑆‘(𝐻𝑣)))) → 𝑎𝐾𝑏))
159112, 158sylbid 239 . . . . . 6 ((𝜑𝑐𝑚𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑)))) → 𝑎𝐾𝑏))
160159exp4b 431 . . . . 5 (𝜑 → (𝑐𝑚𝑑 → (𝑎 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) → (𝑏 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑))) → 𝑎𝐾𝑏))))
1611603imp2 1349 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑚𝑑𝑎 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑐))) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊‘((𝑆𝑠)‘(𝐻𝑑))))) → 𝑎𝐾𝑏)
16216, 3, 23, 6, 24, 25, 7, 2, 26, 27, 28, 14, 31, 61, 72, 161mclsax 34163 . . 3 (𝜑 → ((𝑆𝑠)‘𝑝) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
16322, 162eqeltrrd 2839 . 2 (𝜑 → (𝑆‘(𝑠𝑝)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))
16433ffnd 6669 . . 3 (𝜑𝑆 Fn 𝐸)
165 elpreima 7008 . . 3 (𝑆 Fn 𝐸 → ((𝑠𝑝) ∈ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)) ↔ ((𝑠𝑝) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆‘(𝑠𝑝)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))))
166164, 165syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑠𝑝) ∈ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)) ↔ ((𝑠𝑝) ∈ 𝐸 ∧ (𝑆‘(𝑠𝑝)) ∈ (𝐾𝐶𝐵))))
16720, 163, 166mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝑠𝑝) ∈ (𝑆 “ (𝐾𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  cotp 4594   ciun 4954   class class class wbr 5105   I cid 5530   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cima 5636  ccom 5637  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  mVRcmvar 34055  mAxcmax 34059  mExcmex 34061  mDVcmdv 34062  mVarscmvrs 34063  mSubstcmsub 34065  mVHcmvh 34066  mPreStcmpst 34067  mStatcmsta 34069  mFScmfs 34070  mClscmcls 34071  mPPStcmpps 34072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-frmd 18659  df-vrmd 18660  df-mrex 34080  df-mex 34081  df-mdv 34082  df-mvrs 34083  df-mrsub 34084  df-msub 34085  df-mvh 34086  df-mpst 34087  df-msr 34088  df-msta 34089  df-mfs 34090  df-mcls 34091
This theorem is referenced by:  mclspps  34178
  Copyright terms: Public domain W3C validator