Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  neicvgfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neicvgfv 43551
Description: The value of the neighborhoods (convergents) in terms of the convergents (neighborhoods) function. (Contributed by RP, 27-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
neicvg.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
neicvg.p 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (π‘œ ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 βˆ– (π‘β€˜(𝑛 βˆ– π‘œ))))))
neicvg.d 𝐷 = (π‘ƒβ€˜π΅)
neicvg.f 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
neicvg.g 𝐺 = (𝐡𝑂𝒫 𝐡)
neicvg.h 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))
neicvg.r (πœ‘ β†’ 𝑁𝐻𝑀)
neicvgfv.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
neicvgfv (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ Β¬ (𝐡 βˆ– 𝑠) ∈ (π‘€β€˜π‘‹)})
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑠   𝐡,𝑛,π‘œ,𝑝,𝑠   𝐷,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š   𝐷,𝑛,π‘œ,𝑝   𝑖,𝐹,𝑗,π‘˜,𝑙   𝑛,𝐹,π‘œ,𝑝   𝑖,𝐺,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š   𝑛,𝐺,π‘œ,𝑝   𝑖,𝑀,𝑗,π‘˜,𝑙   𝑛,𝑀,π‘œ,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑠   𝑛,𝑁,π‘œ,𝑝   𝑋,𝑙,π‘š,𝑠   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑙,𝑠   πœ‘,𝑛,π‘œ,𝑝
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š)   𝐷(𝑠)   𝑃(𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘œ,𝑠,𝑝,𝑙)   𝐹(π‘š,𝑠)   𝐺(𝑠)   𝐻(𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘œ,𝑠,𝑝,𝑙)   𝑀(π‘š,𝑠)   𝑂(𝑖,𝑗,π‘˜,π‘š,𝑛,π‘œ,𝑠,𝑝,𝑙)   𝑋(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑛,π‘œ,𝑝)

Proof of Theorem neicvgfv
StepHypRef Expression
1 dfin5 3955 . 2 (𝒫 𝐡 ∩ (π‘β€˜π‘‹)) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘‹)}
2 neicvg.o . . . . . . 7 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑗 ↑m 𝑖) ↦ (𝑙 ∈ 𝑗 ↦ {π‘š ∈ 𝑖 ∣ 𝑙 ∈ (π‘˜β€˜π‘š)})))
3 neicvg.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑛 ∈ V ↦ (𝑝 ∈ (𝒫 𝑛 ↑m 𝒫 𝑛) ↦ (π‘œ ∈ 𝒫 𝑛 ↦ (𝑛 βˆ– (π‘β€˜(𝑛 βˆ– π‘œ))))))
4 neicvg.d . . . . . . 7 𝐷 = (π‘ƒβ€˜π΅)
5 neicvg.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝒫 𝐡𝑂𝐡)
6 neicvg.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝐡𝑂𝒫 𝐡)
7 neicvg.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐹 ∘ (𝐷 ∘ 𝐺))
8 neicvg.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁𝐻𝑀)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8neicvgnex 43548 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐡 ↑m 𝐡))
10 elmapi 8867 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (𝒫 𝒫 𝐡 ↑m 𝐡) β†’ 𝑁:π΅βŸΆπ’« 𝒫 𝐡)
119, 10syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁:π΅βŸΆπ’« 𝒫 𝐡)
12 neicvgfv.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1311, 12ffvelcdmd 7095 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) ∈ 𝒫 𝒫 𝐡)
1413elpwid 4612 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) βŠ† 𝒫 𝐡)
15 sseqin2 4215 . . 3 ((π‘β€˜π‘‹) βŠ† 𝒫 𝐡 ↔ (𝒫 𝐡 ∩ (π‘β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜π‘‹))
1614, 15sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝒫 𝐡 ∩ (π‘β€˜π‘‹)) = (π‘β€˜π‘‹))
178adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑁𝐻𝑀)
1812adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
19 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
202, 3, 4, 5, 6, 7, 17, 18, 19neicvgel1 43549 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘‹) ↔ Β¬ (𝐡 βˆ– 𝑠) ∈ (π‘€β€˜π‘‹)))
2120rabbidva 3436 . 2 (πœ‘ β†’ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ 𝑠 ∈ (π‘β€˜π‘‹)} = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ Β¬ (𝐡 βˆ– 𝑠) ∈ (π‘€β€˜π‘‹)})
221, 16, 213eqtr3a 2792 1 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜π‘‹) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ Β¬ (𝐡 βˆ– 𝑠) ∈ (π‘€β€˜π‘‹)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3429  Vcvv 3471   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4603   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5682  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ↑m cmap 8844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8846
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator