Theorem nelsubc 50324

Description: An empty "hom-set" for non-empty base satisfies all conditions for a subcategory but the existence of identity morphisms. (Contributed by Zhi Wang, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nelsubc.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
nelsubc.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
nelsubc.0	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
nelsubc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 = ((𝑆 × 𝑆) × {∅}))
nelsubc.h	⊢ 𝐻 = (Homf ‘𝐶)
nelsubc.i	⊢ 1 = (Id‘𝐶)
nelsubc.o	⊢ · = (comp‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
nelsubc	⊢ (𝜑 → (𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝐽 ⊆cat 𝐻 ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ( 1 ‘𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐽𝑧)))))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐽   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑓,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓, 𝑔)   𝐵(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝑆(𝑓, 𝑔)   · (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   1 (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝐻(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑔)   𝐽(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑔)

Proof of Theorem nelsubc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nelsubc.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		nelsubc.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
3		nelsubc.0	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ ∅)
4		nelsubc.j	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ((𝑆 × 𝑆) × {∅}))
5		nelsubc.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (Homf ‘𝐶)
6	1, 2, 3, 4, 5	nelsubclem 50323	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 Fn (𝑆 × 𝑆) ∧ (𝐽 ⊆cat 𝐻 ∧ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ( 1 ‘𝑥) ∈ (𝑥𝐽𝑥) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ∀𝑧 ∈ 𝑆 ∀𝑓 ∈ (𝑥𝐽𝑦)∀𝑔 ∈ (𝑦𝐽𝑧)(𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩ · 𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐽𝑧)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   × cxp 5653   Fn wfn 6542  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  Basecbs 17402  compcco 17455  Idccid 17854  Hom_f chomf 17855   ⊆_cat cssc 17997

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-ixp 8940  df-homf 17859  df-ssc 18000

This theorem is used by:  nelsubc2  50325