MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isopn3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isopn3i 21666
Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isopn3i ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem isopn3i
StepHypRef Expression
1 simpr 487 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝐽)
2 elssuni 4844 . . 3 (𝑆𝐽𝑆 𝐽)
3 eqid 2820 . . . 4 𝐽 = 𝐽
43isopn3 21650 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
52, 4sylan2 594 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
61, 5mpbid 234 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wss 3913   cuni 4814  cfv 6331  Topctop 21477  intcnt 21601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5436  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-top 21478  df-ntr 21604
This theorem is referenced by:  maxlp  21731  cnntr  21859  bcth2  23913  dvrec  24537  dvmptres  24545  dvcnvlem  24558  dvlip  24575  dvlipcn  24576  dvlip2  24577  dvne0  24593  lhop2  24597  lhop  24598  psercn  25000  dvlog  25221  dvlog2  25223  cxpcn3  25316  efrlim  25534  lgamgulmlem2  25594  cvmlift2lem11  32568  cvmlift2lem12  32569  binomcxplemdvbinom  40840  binomcxplemnotnn0  40843  limciccioolb  42054  limcicciooub  42070  limcresiooub  42075  limcresioolb  42076  dirkercncflem2  42537  fourierdlem32  42572  fourierdlem33  42573  fourierdlem48  42587  fourierdlem49  42588  fourierdlem62  42601  fouriersw  42664
  Copyright terms: Public domain W3C validator