Theorem isopn3i 22997

Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isopn3i	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem isopn3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ 𝐽)
2		elssuni 4887	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	isopn3 22981	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
5	2, 4	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ∪ cuni 4856  ‘cfv 6481  Topctop 22808  intcnt 22932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-top 22809  df-ntr 22935

This theorem is referenced by:  maxlp  23062  cnntr  23190  bcth2  25257  dvrec  25886  dvmptres  25894  dvcnvlem  25907  dvlip  25925  dvlipcn  25926  dvlip2  25927  dvne0  25943  lhop2  25947  lhop  25948  psercn  26363  dvlog  26587  dvlog2  26589  cxpcn3  26685  efrlim  26906  efrlimOLD  26907  lgamgulmlem2  26967  cvmlift2lem11  35357  cvmlift2lem12  35358  dvrelog3  42106  redvmptabs  42401  binomcxplemdvbinom  44394  binomcxplemnotnn0  44397  limciccioolb  45669  limcicciooub  45683  limcresiooub  45688  limcresioolb  45689  dirkercncflem2  46150  fourierdlem32  46185  fourierdlem33  46186  fourierdlem48  46200  fourierdlem49  46201  fourierdlem62  46214  fouriersw  46277