MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isopn3i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isopn3i 23090
Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
isopn3i ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem isopn3i
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → 𝑆𝐽)
2 elssuni 4937 . . 3 (𝑆𝐽𝑆 𝐽)
3 eqid 2737 . . . 4 𝐽 = 𝐽
43isopn3 23074 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
52, 4sylan2 593 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → (𝑆𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
61, 5mpbid 232 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951   cuni 4907  cfv 6561  Topctop 22899  intcnt 23025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-top 22900  df-ntr 23028
This theorem is referenced by:  maxlp  23155  cnntr  23283  bcth2  25364  dvrec  25993  dvmptres  26001  dvcnvlem  26014  dvlip  26032  dvlipcn  26033  dvlip2  26034  dvne0  26050  lhop2  26054  lhop  26055  psercn  26470  dvlog  26693  dvlog2  26695  cxpcn3  26791  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  lgamgulmlem2  27073  cvmlift2lem11  35318  cvmlift2lem12  35319  dvrelog3  42066  redvmptabs  42390  binomcxplemdvbinom  44372  binomcxplemnotnn0  44375  limciccioolb  45636  limcicciooub  45652  limcresiooub  45657  limcresioolb  45658  dirkercncflem2  46119  fourierdlem32  46154  fourierdlem33  46155  fourierdlem48  46169  fourierdlem49  46170  fourierdlem62  46183  fouriersw  46246
  Copyright terms: Public domain W3C validator