Theorem isopn3i 23038

Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isopn3i	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem isopn3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ 𝐽)
2		elssuni 4896	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	isopn3 23022	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
5	2, 4	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
6	1, 5	mpbid 232	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ∪ cuni 4865  ‘cfv 6500  Topctop 22849  intcnt 22973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-top 22850  df-ntr 22976

This theorem is referenced by:  maxlp  23103  cnntr  23231  bcth2  25298  dvrec  25927  dvmptres  25935  dvcnvlem  25948  dvlip  25966  dvlipcn  25967  dvlip2  25968  dvne0  25984  lhop2  25988  lhop  25989  psercn  26404  dvlog  26628  dvlog2  26630  cxpcn3  26726  efrlim  26947  efrlimOLD  26948  lgamgulmlem2  27008  cvmlift2lem11  35529  cvmlift2lem12  35530  dvrelog3  42435  redvmptabs  42730  binomcxplemdvbinom  44709  binomcxplemnotnn0  44712  limciccioolb  45981  limcicciooub  45995  limcresiooub  46000  limcresioolb  46001  dirkercncflem2  46462  fourierdlem32  46497  fourierdlem33  46498  fourierdlem48  46512  fourierdlem49  46513  fourierdlem62  46526  fouriersw  46589