Theorem isopn3i 23239

Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isopn3i	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem isopn3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ 𝐽)
2		elssuni 4904	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	isopn3 23223	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
5	2, 4	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
6	1, 5	mpbid 235	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ∪ cuni 4872  ‘cfv 6536  Topctop 23050  intcnt 23174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-top 23051  df-ntr 23177

This theorem is referenced by:  maxlp  23304  cnntr  23432  bcth2  25489  dvrec  26114  dvmptres  26122  dvcnvlem  26135  dvlip  26152  dvlipcn  26153  dvlip2  26154  dvne0  26170  lhop2  26174  lhop  26175  psercn  26589  dvlog  26816  dvlog2  26818  cxpcn3  26913  efrlim  27134  lgamgulmlem2  27194  cvmlift2lem11  35805  cvmlift2lem12  35806  dvrelog3  42832  redvmptabs  43121  binomcxplemdvbinom  45063  binomcxplemnotnn0  45066  limciccioolb  46337  limcicciooub  46351  limcresiooub  46356  limcresioolb  46357  dirkercncflem2  46818  fourierdlem32  46853  fourierdlem33  46854  fourierdlem48  46868  fourierdlem49  46869  fourierdlem62  46882  fouriersw  46945