Theorem isopn3i 22141

Description: An open subset equals its own interior. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
isopn3i	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Proof of Theorem isopn3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → 𝑆 ∈ 𝐽)
2		elssuni 4868	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
3		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	isopn3 22125	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
5	2, 4	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4836  ‘cfv 6418  Topctop 21950  intcnt 22076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-top 21951  df-ntr 22079

This theorem is referenced by:  maxlp  22206  cnntr  22334  bcth2  24399  dvrec  25024  dvmptres  25032  dvcnvlem  25045  dvlip  25062  dvlipcn  25063  dvlip2  25064  dvne0  25080  lhop2  25084  lhop  25085  psercn  25490  dvlog  25711  dvlog2  25713  cxpcn3  25806  efrlim  26024  lgamgulmlem2  26084  cvmlift2lem11  33175  cvmlift2lem12  33176  dvrelog3  40001  binomcxplemdvbinom  41860  binomcxplemnotnn0  41863  limciccioolb  43052  limcicciooub  43068  limcresiooub  43073  limcresioolb  43074  dirkercncflem2  43535  fourierdlem32  43570  fourierdlem33  43571  fourierdlem48  43585  fourierdlem49  43586  fourierdlem62  43599  fouriersw  43662