Theorem nvm 30603

Description: Vector subtraction in terms of group division operation. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvm.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvm.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvm.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
nvm.6	⊢ 𝑁 = ( /𝑔 ‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nvm	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝑁𝐵))

Proof of Theorem nvm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvm.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2		nvm.3	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3	1, 2	vsfval 30595	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( /𝑔 ‘𝐺)
4		nvm.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ( /𝑔 ‘𝐺)
5	3, 4	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ 𝑀 = 𝑁
6	5	oveqi 7366	. 2 ⊢ (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝑁𝐵)
7	6	a1i 11	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝑁𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   /_𝑔 cgs 30454  NrmCVeccnv 30546   +_𝑣 cpv 30547  BaseSetcba 30548   −_𝑣 cnsb 30551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-grpo 30455  df-gdiv 30458  df-va 30557  df-vs 30561

This theorem is referenced by:  nvmval  30604