Theorem nvm 30727

Description: Vector subtraction in terms of group division operation. (Contributed by NM, 15-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvm.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvm.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
nvm.3	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
nvm.6	⊢ 𝑁 = ( /𝑔 ‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nvm	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝑁𝐵))

Proof of Theorem nvm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvm.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2		nvm.3	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
3	1, 2	vsfval 30719	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ( /𝑔 ‘𝐺)
4		nvm.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ( /𝑔 ‘𝐺)
5	3, 4	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ 𝑀 = 𝑁
6	5	oveqi 7373	. 2 ⊢ (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝑁𝐵)
7	6	a1i 11	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝑁𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   /_𝑔 cgs 30578  NrmCVeccnv 30670   +_𝑣 cpv 30671  BaseSetcba 30672   −_𝑣 cnsb 30675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-grpo 30579  df-gdiv 30582  df-va 30681  df-vs 30685

This theorem is referenced by:  nvmval  30728