MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmval 30150
Description: Value of vector subtraction on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmval.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
nvmval.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
nvmval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nvmval.3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nvmval ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))

Proof of Theorem nvmval
StepHypRef Expression
1 nvmval.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
21nvgrp 30125 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺 ∈ GrpOp)
3 nvmval.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
43, 1bafval 30112 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
5 eqid 2732 . . . 4 (invβ€˜πΊ) = (invβ€˜πΊ)
6 eqid 2732 . . . 4 ( /𝑔 β€˜πΊ) = ( /𝑔 β€˜πΊ)
74, 5, 6grpodivval 30043 . . 3 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( /𝑔 β€˜πΊ)𝐡) = (𝐴𝐺((invβ€˜πΊ)β€˜π΅)))
82, 7syl3an1 1163 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( /𝑔 β€˜πΊ)𝐡) = (𝐴𝐺((invβ€˜πΊ)β€˜π΅)))
9 nvmval.3 . . 3 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
103, 1, 9, 6nvm 30149 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴( /𝑔 β€˜πΊ)𝐡))
11 nvmval.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
123, 1, 11, 5nvinv 30147 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐡) = ((invβ€˜πΊ)β€˜π΅))
13123adant2 1131 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (-1𝑆𝐡) = ((invβ€˜πΊ)β€˜π΅))
1413oveq2d 7427 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)) = (𝐴𝐺((invβ€˜πΊ)β€˜π΅)))
158, 10, 143eqtr4d 2782 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1c1 11113  -cneg 11449  GrpOpcgr 29997  invcgn 29999   /𝑔 cgs 30000  NrmCVeccnv 30092   +𝑣 cpv 30093  BaseSetcba 30094   ·𝑠OLD cns 30095   βˆ’π‘£ cnsb 30097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-grpo 30001  df-gid 30002  df-ginv 30003  df-gdiv 30004  df-ablo 30053  df-vc 30067  df-nv 30100  df-va 30103  df-ba 30104  df-sm 30105  df-0v 30106  df-vs 30107  df-nmcv 30108
This theorem is referenced by:  nvmval2  30151  nvmdi  30156  nvpncan2  30161  nvaddsub4  30165  nvmtri  30179  imsdval2  30195  nvnd  30196  ipval3  30217  sspmval  30241  isph  30330  dipsubdir  30356
  Copyright terms: Public domain W3C validator