MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmval 30661
Description: Value of vector subtraction on a normed complex vector space. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmval.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmval.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvmval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvmval.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmval ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))

Proof of Theorem nvmval
StepHypRef Expression
1 nvmval.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
21nvgrp 30636 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3 nvmval.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
43, 1bafval 30623 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
5 eqid 2737 . . . 4 (inv‘𝐺) = (inv‘𝐺)
6 eqid 2737 . . . 4 ( /𝑔𝐺) = ( /𝑔𝐺)
74, 5, 6grpodivval 30554 . . 3 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( /𝑔𝐺)𝐵) = (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐵)))
82, 7syl3an1 1164 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴( /𝑔𝐺)𝐵) = (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐵)))
9 nvmval.3 . . 3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
103, 1, 9, 6nvm 30660 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴( /𝑔𝐺)𝐵))
11 nvmval.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
123, 1, 11, 5nvinv 30658 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) = ((inv‘𝐺)‘𝐵))
13123adant2 1132 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (-1𝑆𝐵) = ((inv‘𝐺)‘𝐵))
1413oveq2d 7447 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)) = (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐵)))
158, 10, 143eqtr4d 2787 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  -cneg 11493  GrpOpcgr 30508  invcgn 30510   /𝑔 cgs 30511  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  𝑣 cnsb 30608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619
This theorem is referenced by:  nvmval2  30662  nvmdi  30667  nvpncan2  30672  nvaddsub4  30676  nvmtri  30690  imsdval2  30706  nvnd  30707  ipval3  30728  sspmval  30752  isph  30841  dipsubdir  30867
  Copyright terms: Public domain W3C validator