MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvinvfval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvinvfval 29893
Description: Function for the negative of a vector on a normed complex vector space, in terms of the underlying addition group inverse. (We currently do not have a separate notation for the negative of a vector.) (Contributed by NM, 27-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvinvfval.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
nvinvfval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nvinvfval.3 𝑁 = (𝑆 ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))
Assertion
Ref Expression
nvinvfval (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 = (invβ€˜πΊ))
Proof of Theorem nvinvfval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . . 5 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nvinvfval.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
31, 2nvsf 29872 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆:(β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
4 neg1cn 12326 . . . 4 -1 ∈ β„‚
5 nvinvfval.3 . . . . 5 𝑁 = (𝑆 ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))
65curry1f 8092 . . . 4 ((𝑆:(β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ 𝑁:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
73, 4, 6sylancl 587 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
87ffnd 6719 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 Fn (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
9 nvinvfval.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
109nvgrp 29870 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺 ∈ GrpOp)
111, 9bafval 29857 . . . 4 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = ran 𝐺
12 eqid 2733 . . . 4 (invβ€˜πΊ) = (invβ€˜πΊ)
1311, 12grpoinvf 29785 . . 3 (𝐺 ∈ GrpOp β†’ (invβ€˜πΊ):(BaseSetβ€˜π‘ˆ)–1-1-ontoβ†’(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
14 f1ofn 6835 . . 3 ((invβ€˜πΊ):(BaseSetβ€˜π‘ˆ)–1-1-ontoβ†’(BaseSetβ€˜π‘ˆ) β†’ (invβ€˜πΊ) Fn (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
1510, 13, 143syl 18 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (invβ€˜πΊ) Fn (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
163ffnd 6719 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
1716adantr 482 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
185curry1val 8091 . . . 4 ((𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (π‘β€˜π‘₯) = (-1𝑆π‘₯))
1917, 4, 18sylancl 587 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘₯) = (-1𝑆π‘₯))
201, 9, 2, 12nvinv 29892 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (-1𝑆π‘₯) = ((invβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
2119, 20eqtrd 2773 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘₯) = ((invβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
228, 15, 21eqfnfvd 7036 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 = (invβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  {csn 4629   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  2nd c2nd 7974  β„‚cc 11108  1c1 11111  -cneg 11445  GrpOpcgr 29742  invcgn 29744  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-nmcv 29853
This theorem is referenced by:  hhssabloilem  30514
  Copyright terms: Public domain W3C validator