MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvinvfval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem nvinvfval 30160
Description: Function for the negative of a vector on a normed complex vector space, in terms of the underlying addition group inverse. (We currently do not have a separate notation for the negative of a vector.) (Contributed by NM, 27-Mar-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvinvfval.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
nvinvfval.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
nvinvfval.3 𝑁 = (𝑆 ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))
Assertion
Ref Expression
nvinvfval (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 = (invβ€˜πΊ))
Proof of Theorem nvinvfval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . . . 5 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 nvinvfval.4 . . . . 5 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
31, 2nvsf 30139 . . . 4 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆:(β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
4 neg1cn 12330 . . . 4 -1 ∈ β„‚
5 nvinvfval.3 . . . . 5 𝑁 = (𝑆 ∘ β—‘(2nd β†Ύ ({-1} Γ— V)))
65curry1f 8094 . . . 4 ((𝑆:(β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ))⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ) ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ 𝑁:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
73, 4, 6sylancl 584 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁:(BaseSetβ€˜π‘ˆ)⟢(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
87ffnd 6717 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 Fn (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
9 nvinvfval.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
109nvgrp 30137 . . 3 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝐺 ∈ GrpOp)
111, 9bafval 30124 . . . 4 (BaseSetβ€˜π‘ˆ) = ran 𝐺
12 eqid 2730 . . . 4 (invβ€˜πΊ) = (invβ€˜πΊ)
1311, 12grpoinvf 30052 . . 3 (𝐺 ∈ GrpOp β†’ (invβ€˜πΊ):(BaseSetβ€˜π‘ˆ)–1-1-ontoβ†’(BaseSetβ€˜π‘ˆ))
14 f1ofn 6833 . . 3 ((invβ€˜πΊ):(BaseSetβ€˜π‘ˆ)–1-1-ontoβ†’(BaseSetβ€˜π‘ˆ) β†’ (invβ€˜πΊ) Fn (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
1510, 13, 143syl 18 . 2 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ (invβ€˜πΊ) Fn (BaseSetβ€˜π‘ˆ))
163ffnd 6717 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
1716adantr 479 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)))
185curry1val 8093 . . . 4 ((𝑆 Fn (β„‚ Γ— (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ (π‘β€˜π‘₯) = (-1𝑆π‘₯))
1917, 4, 18sylancl 584 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘₯) = (-1𝑆π‘₯))
201, 9, 2, 12nvinv 30159 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (-1𝑆π‘₯) = ((invβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
2119, 20eqtrd 2770 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ (BaseSetβ€˜π‘ˆ)) β†’ (π‘β€˜π‘₯) = ((invβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
228, 15, 21eqfnfvd 7034 1 (π‘ˆ ∈ NrmCVec β†’ 𝑁 = (invβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  {csn 4627   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  2nd c2nd 7976  β„‚cc 11110  1c1 11113  -cneg 11449  GrpOpcgr 30009  invcgn 30011  NrmCVeccnv 30104   +𝑣 cpv 30105  BaseSetcba 30106   ·𝑠OLD cns 30107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-nmcv 30120
This theorem is referenced by:  hhssabloilem  30781
  Copyright terms: Public domain W3C validator