HomeHome Metamath Proof Explorer
Theorem List (p. 157 of 470)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  MPE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Color key:    Metamath Proof Explorer  Metamath Proof Explorer
(1-29646)
  Hilbert Space Explorer  Hilbert Space Explorer
(29647-31169)
  Users' Mathboxes  Users' Mathboxes
(31170-46966)
 

Theorem List for Metamath Proof Explorer - 15601-15700   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremfsumshftm 15601* Negative index shift of a finite sum. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘— = (๐‘˜ + ๐พ) โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ โˆ’ ๐พ)...(๐‘ โˆ’ ๐พ))๐ต)
 
Theoremfsumrev2 15602* Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐‘— = ((๐‘€ + ๐‘) โˆ’ ๐‘˜) โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ต)
 
Theoremfsum0diag2 15603* Two ways to express "the sum of ๐ด(๐‘—, ๐‘˜) over the triangular region 0 โ‰ค ๐‘—, 0 โ‰ค ๐‘˜, ๐‘— + ๐‘˜ โ‰ค ๐‘". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
(๐‘ฅ = ๐‘˜ โ†’ ๐ต = ๐ด)    &   (๐‘ฅ = (๐‘˜ โˆ’ ๐‘—) โ†’ ๐ต = ๐ถ)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘— โˆˆ (0...๐‘) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘—)))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘)ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ ๐‘—))๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘˜)๐ถ)
 
Theoremfsummulc2 15604* A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ถ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ถ ยท ๐ต))
 
Theoremfsummulc1 15605* A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต ยท ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต ยท ๐ถ))
 
Theoremfsumdivc 15606* A finite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰  0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต / ๐ถ) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต / ๐ถ))
 
Theoremfsumneg 15607* Negation of a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด -๐ต = -ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremfsumsub 15608* Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต โˆ’ ๐ถ) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ))
 
Theoremfsum2mul 15609* Separate the nested sum of the product ๐ถ(๐‘—) ยท ๐ท(๐‘˜). (Contributed by NM, 13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต (๐ถ ยท ๐ท) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐ด ๐ถ ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ท))
 
Theoremfsumconst 15610* The sum of constant terms (๐‘˜ is not free in ๐ต). (Contributed by NM, 24-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ๐ต))
 
Theoremfsumdifsnconst 15611* The sum of constant terms (๐‘˜ is not free in ๐ถ) over an index set excluding a singleton. (Contributed by AV, 7-Jan-2022.)
((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ ๐ด โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆ– {๐ต})๐ถ = (((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1) ยท ๐ถ))
 
Theoremmodfsummodslem1 15612* Lemma 1 for modfsummods 15613. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
(โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐‘ง})๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ โฆ‹๐‘ง / ๐‘˜โฆŒ๐ต โˆˆ โ„ค)
 
Theoremmodfsummods 15613* Induction step for modfsummod 15614. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐‘ง})๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต mod ๐‘) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต mod ๐‘) mod ๐‘) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐‘ง})๐ต mod ๐‘) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐ด โˆช {๐‘ง})(๐ต mod ๐‘) mod ๐‘)))
 
Theoremmodfsummod 15614* A finite sum modulo a positive integer equals the finite sum of their summands modulo the positive integer, modulo the positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„ค)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต mod ๐‘) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐ต mod ๐‘) mod ๐‘))
 
Theoremfsumge0 15615* If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremfsumless 15616* A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โŠ† ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ถ ๐ต โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremfsumge1 15617* A sum of nonnegative numbers is greater than or equal to any one of its terms. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ต = ๐ถ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremfsum00 15618* A sum of nonnegative numbers is zero iff all terms are zero. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0 โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต = 0))
 
Theoremfsumle 15619* If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
 
Theoremfsumlt 15620* If every term in one finite sum is less than the corresponding term in another, then the first sum is less than the second. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  โˆ…)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต < ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต < ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ถ)
 
Theoremfsumabs 15621* Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (absโ€˜๐ต))
 
Theoremtelfsumo 15622* Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
(๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐ด = ๐ถ)    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ท)    &   (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ด = ๐ธ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต โˆ’ ๐ถ) = (๐ท โˆ’ ๐ธ))
 
Theoremtelfsumo2 15623* Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
(๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐ด = ๐ถ)    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ท)    &   (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ด = ๐ธ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐ธ โˆ’ ๐ท))
 
Theoremtelfsum 15624* Sum of a telescoping series. (Contributed by Scott Fenton, 24-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
(๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐ด = ๐ถ)    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ท)    &   (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ ๐ด = ๐ธ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)(๐ต โˆ’ ๐ถ) = (๐ท โˆ’ ๐ธ))
 
Theoremtelfsum2 15625* Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
(๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐ด = ๐ถ)    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ท)    &   (๐‘˜ = (๐‘ + 1) โ†’ ๐ด = ๐ธ)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)(๐ถ โˆ’ ๐ต) = (๐ธ โˆ’ ๐ท))
 
Theoremfsumparts 15626* Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
(๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ด = ๐ต โˆง ๐‘‰ = ๐‘Š))    &   (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐‘‰ = ๐‘‹))    &   (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐ด = ๐ท โˆง ๐‘‰ = ๐‘Œ))    &   (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐‘‰ = ๐‘))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)))
 
Theoremfsumrelem 15627* Lemma for fsumre 15628, fsumim 15629, and fsumcj 15630. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   ๐น:โ„‚โŸถโ„‚    &   ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ฆ)) = ((๐นโ€˜๐‘ฅ) + (๐นโ€˜๐‘ฆ)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐ต))
 
Theoremfsumre 15628* The real part of a sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (โ„œโ€˜๐ต))
 
Theoremfsumim 15629* The imaginary part of a sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ„‘โ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (โ„‘โ€˜๐ต))
 
Theoremfsumcj 15630* The complex conjugate of a sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โˆ—โ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (โˆ—โ€˜๐ต))
 
Theoremfsumrlim 15631* Limit of a finite sum of converging sequences. Note that ๐ถ(๐‘˜) is a collection of functions with implicit parameter ๐‘˜, each of which converges to ๐ท(๐‘˜) as ๐‘› โ‡ +โˆž. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ๐ท)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) โ‡๐‘Ÿ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ท)
 
Theoremfsumo1 15632* The finite sum of eventually bounded functions (where the index set ๐ต does not depend on ๐‘ฅ) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ๐ถ) โˆˆ ๐‘‚(1))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ) โˆˆ ๐‘‚(1))
 
Theoremo1fsum 15633* If ๐ด(๐‘˜) is O(1), then ฮฃ๐‘˜ โ‰ค ๐‘ฅ, ๐ด(๐‘˜) is O(๐‘ฅ). (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2016.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ๐ด) โˆˆ ๐‘‚(1))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„+ โ†ฆ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜๐‘ฅ))๐ด / ๐‘ฅ)) โˆˆ ๐‘‚(1))
 
Theoremseqabs 15634* Generalized triangle inequality: the absolute value of a finite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(seq๐‘€( + , ๐น)โ€˜๐‘)) โ‰ค (seq๐‘€( + , ๐บ)โ€˜๐‘))
 
Theoremiserabs 15635* Generalized triangle inequality: the absolute value of an infinite sum is less than or equal to the sum of absolute values. (Contributed by Paul Chapman, 10-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โ‡ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐บ) โ‡ ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐ต)
 
Theoremcvgcmp 15636* A comparison test for convergence of a real infinite series. Exercise 3 of [Gleason] p. 182. (Contributed by NM, 1-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘˜))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )
 
Theoremcvgcmpub 15637* An upper bound for the limit of a real infinite series. This theorem can also be used to compare two infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Mar-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โ‡ ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐บ) โ‡ ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค ๐ด)
 
Theoremcvgcmpce 15638* A comparison test for convergence of a complex infinite series. (Contributed by NM, 25-Apr-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)) โ†’ (absโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐ถ ยท (๐นโ€˜๐‘˜)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )
 
Theoremabscvgcvg 15639* An absolutely convergent series is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (absโ€˜(๐บโ€˜๐‘˜)))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )
 
Theoremclimfsum 15640* Limit of a finite sum of converging sequences. Note that ๐น(๐‘˜) is a collection of functions with implicit parameter ๐‘˜, each of which converges to ๐ต(๐‘˜) as ๐‘› โ‡ +โˆž. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐น โ‡ ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ป โˆˆ ๐‘Š)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘˜ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ปโ€˜๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด (๐นโ€˜๐‘›))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ป โ‡ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต)
 
Theoremfsumiun 15641* Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต๐ถ = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ต ๐ถ)
 
Theoremhashiun 15642* The cardinality of a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐ต) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (โ™ฏโ€˜๐ต))
 
Theoremhash2iun 15643* The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ Disj ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (โ™ฏโ€˜๐ถ))
 
Theoremhash2iun1dif1 15644* The cardinality of a nested disjoint indexed union. (Contributed by AV, 9-Jan-2022.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   ๐ต = (๐ด โˆ– {๐‘ฅ})    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐ถ โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด) โ†’ Disj ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ถ) = 1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด โˆช ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต ๐ถ) = ((โ™ฏโ€˜๐ด) ยท ((โ™ฏโ€˜๐ด) โˆ’ 1)))
 
Theoremhashrabrex 15645* The number of elements in a class abstraction with a restricted existential quantification. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jul-2018.)
(๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ ๐œ“} โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ {๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ ๐œ“})    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ ๐œ“}) = ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘Œ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ ๐œ“}))
 
Theoremhashuni 15646* The cardinality of a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ Disj ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด ๐‘ฅ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ ๐ด (โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
 
Theoremqshash 15647* The cardinality of a set with an equivalence relation is the sum of the cardinalities of its equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
(๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ด) = ฮฃ๐‘ฅ โˆˆ (๐ด / โˆผ )(โ™ฏโ€˜๐‘ฅ))
 
Theoremackbijnn 15648* Translate the Ackermann bijection ackbij1 10108 onto the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin) โ†ฆ ฮฃ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘ฅ (2โ†‘๐‘ฆ))    โ‡’   ๐น:(๐’ซ โ„•0 โˆฉ Fin)โ€“1-1-ontoโ†’โ„•0
 
5.10.4  The binomial theorem
 
Theorembinomlem 15649* Lemma for binom 15650 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ“ โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘(๐‘ + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ + 1))(((๐‘ + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘((๐‘ + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
 
Theorembinom 15650* The binomial theorem: (๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘ is the sum from ๐‘˜ = 0 to ๐‘ of (๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)). Theorem 15-2.8 of [Gleason] p. 296. This part of the proof sets up the induction and does the base case, with the bulk of the work (the induction step) in binomlem 15649. This is Metamath 100 proof #44. (Contributed by NM, 7-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ตโ†‘๐‘˜))))
 
Theorembinom1p 15651* Special case of the binomial theorem for (1 + ๐ด)โ†‘๐‘. (Contributed by Paul Chapman, 10-May-2007.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 + ๐ด)โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
 
Theorembinom11 15652* Special case of the binomial theorem for 2โ†‘๐‘. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)(๐‘C๐‘˜))
 
Theorembinom1dif 15653* A summation for the difference between ((๐ด + 1)โ†‘๐‘) and (๐ดโ†‘๐‘). (Contributed by Scott Fenton, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐ด + 1)โ†‘๐‘) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))((๐‘C๐‘˜) ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))
 
Theorembcxmaslem1 15654 Lemma for bcxmas 15655. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.)
(๐ด = ๐ต โ†’ ((๐‘ + ๐ด)C๐ด) = ((๐‘ + ๐ต)C๐ต))
 
Theorembcxmas 15655* Parallel summation (Christmas Stocking) theorem for Pascal's Triangle. (Contributed by Paul Chapman, 18-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ + 1) + ๐‘€)C๐‘€) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (0...๐‘€)((๐‘ + ๐‘—)C๐‘—))
 
5.10.5  The inclusion/exclusion principle
 
Theoremincexclem 15656* Lemma for incexc 15657. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐ต) โˆ’ (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆช ๐ด))) = ฮฃ๐‘  โˆˆ ๐’ซ ๐ด((-1โ†‘(โ™ฏโ€˜๐‘ )) ยท (โ™ฏโ€˜(๐ต โˆฉ โˆฉ ๐‘ ))))
 
Theoremincexc 15657* The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. This is Metamath 100 proof #96. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘  โˆˆ (๐’ซ ๐ด โˆ– {โˆ…})((-1โ†‘((โ™ฏโ€˜๐‘ ) โˆ’ 1)) ยท (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
 
Theoremincexc2 15658* The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
((๐ด โˆˆ Fin โˆง ๐ด โŠ† Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜โˆช ๐ด) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...(โ™ฏโ€˜๐ด))((-1โ†‘(๐‘› โˆ’ 1)) ยท ฮฃ๐‘  โˆˆ {๐‘˜ โˆˆ ๐’ซ ๐ด โˆฃ (โ™ฏโ€˜๐‘˜) = ๐‘›} (โ™ฏโ€˜โˆฉ ๐‘ )))
 
5.10.6  Infinite sums (cont.)
 
Theoremisumshft 15659* Index shift of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 31-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐‘Š = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + ๐พ))    &   (๐‘— = (๐พ + ๐‘˜) โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘Š) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ ๐‘Š ๐ด = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต)
 
Theoremisumsplit 15660* Split off the first ๐‘ terms of an infinite sum. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐‘Š = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))๐ด + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š ๐ด))
 
Theoremisum1p 15661* The infinite sum of a converging infinite series equals the first term plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด = ((๐นโ€˜๐‘€) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))๐ด))
 
Theoremisumnn0nn 15662* Sum from 0 to infinity in terms of sum from 1 to infinity. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
(๐‘˜ = 0 โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ๐ด = (๐ต + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ๐ด))
 
Theoremisumrpcl 15663* The infinite sum of positive reals is positive. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐‘Š = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘Š ๐ด โˆˆ โ„+)
 
Theoremisumle 15664* Comparison of two infinite sums. (Contributed by Paul Chapman, 13-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต)
 
Theoremisumless 15665* A finite sum of nonnegative numbers is less than or equal to its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต)
 
Theoremisumsup2 15666* An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐บ = seq๐‘€( + , ๐น)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐บโ€˜๐‘—) โ‰ค ๐‘ฅ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐บ โ‡ sup(ran ๐บ, โ„, < ))
 
Theoremisumsup 15667* An infinite sum of nonnegative terms is equal to the supremum of the partial sums. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   ๐บ = seq๐‘€( + , ๐น)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ด)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘— โˆˆ ๐‘ (๐บโ€˜๐‘—) โ‰ค ๐‘ฅ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ด = sup(ran ๐บ, โ„, < ))
 
Theoremisumltss 15668* A partial sum of a series with positive terms is less than the infinite sum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† ๐‘)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ๐ต)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)    &   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต < ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐‘ ๐ต)
 
Theoremclimcndslem1 15669* Lemma for climcnds 15671: bound the original series by the condensed series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = ((2โ†‘๐‘›) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘›))))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (seq1( + , ๐น)โ€˜((2โ†‘(๐‘ + 1)) โˆ’ 1)) โ‰ค (seq0( + , ๐บ)โ€˜๐‘))
 
Theoremclimcndslem2 15670* Lemma for climcnds 15671: bound the condensed series by the original series. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = ((2โ†‘๐‘›) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘›))))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (seq1( + , ๐บ)โ€˜๐‘) โ‰ค (2 ยท (seq1( + , ๐น)โ€˜(2โ†‘๐‘))))
 
Theoremclimcnds 15671* The Cauchy condensation test. If ๐‘Ž(๐‘˜) is a decreasing sequence of nonnegative terms, then ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•๐‘Ž(๐‘˜) converges iff ฮฃ๐‘› โˆˆ โ„•02โ†‘๐‘› ยท ๐‘Ž(2โ†‘๐‘›) converges. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2014.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘›) = ((2โ†‘๐‘›) ยท (๐นโ€˜(2โ†‘๐‘›))))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (seq1( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq0( + , ๐บ) โˆˆ dom โ‡ ))
 
5.10.7  Miscellaneous converging and diverging sequences
 
Theoremdivrcnv 15672* The sequence of reciprocals of real numbers, multiplied by the factor ๐ด, converges to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„+ โ†ฆ (๐ด / ๐‘›)) โ‡๐‘Ÿ 0)
 
Theoremdivcnv 15673* The sequence of reciprocals of positive integers, multiplied by the factor ๐ด, converges to zero. (Contributed by NM, 6-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
(๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐ด / ๐‘›)) โ‡ 0)
 
Theoremflo1 15674 The floor function satisfies โŒŠ(๐‘ฅ) = ๐‘ฅ + ๐‘‚(1). (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
(๐‘ฅ โˆˆ โ„ โ†ฆ (๐‘ฅ โˆ’ (โŒŠโ€˜๐‘ฅ))) โˆˆ ๐‘‚(1)
 
Theoremdivcnvshft 15675* Limit of a ratio function. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘‰)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ด / (๐‘˜ + ๐ต)))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ 0)
 
Theoremsupcvg 15676* Extract a sequence ๐‘“ in ๐‘‹ such that the image of the points in the bounded set ๐ด converges to the supremum ๐‘† of the set. Similar to Equation 4 of [Kreyszig] p. 144. The proof uses countable choice ax-cc 10305. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2013.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
๐‘‹ โˆˆ V    &   ๐‘† = sup(๐ด, โ„, < )    &   ๐‘… = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘† โˆ’ (1 / ๐‘›)))    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โ‰  โˆ…)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‹โ€“ontoโ†’๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ด ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ฅ)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘“(๐‘“:โ„•โŸถ๐‘‹ โˆง (๐น โˆ˜ ๐‘“) โ‡ ๐‘†))
 
Theoreminfcvgaux1i 15677* Auxiliary theorem for applications of supcvg 15676. Hypothesis for several supremum theorems. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)
๐‘… = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ๐‘ฅ = -๐ด}    &   (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   ๐‘ โˆˆ ๐‘‹    &   โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘… ๐‘ค โ‰ค ๐‘ง    โ‡’   (๐‘… โŠ† โ„ โˆง ๐‘… โ‰  โˆ… โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘… ๐‘ค โ‰ค ๐‘ง)
 
Theoreminfcvgaux2i 15678* Auxiliary theorem for applications of supcvg 15676. (Contributed by NM, 4-Mar-2008.)
๐‘… = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ ๐‘ฅ = -๐ด}    &   (๐‘ฆ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   ๐‘ โˆˆ ๐‘‹    &   โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ โˆ€๐‘ค โˆˆ ๐‘… ๐‘ค โ‰ค ๐‘ง    &   ๐‘† = -sup(๐‘…, โ„, < )    &   (๐‘ฆ = ๐ถ โ†’ ๐ด = ๐ต)    โ‡’   (๐ถ โˆˆ ๐‘‹ โ†’ ๐‘† โ‰ค ๐ต)
 
Theoremharmonic 15679 The harmonic series ๐ป diverges. This fact follows from the stronger emcl 26274, which establishes that the harmonic series grows as log๐‘› + ฮณ + o(1), but this uses a more elementary method, attributed to Nicole Oresme (1323-1382). This is Metamath 100 proof #34. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / ๐‘›))    &   ๐ป = seq1( + , ๐น)    โ‡’    ยฌ ๐ป โˆˆ dom โ‡
 
5.10.8  Arithmetic series
 
Theoremarisum 15680* Arithmetic series sum of the first ๐‘ positive integers. This is Metamath 100 proof #68. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
 
Theoremarisum2 15681* Arithmetic series sum of the first ๐‘ nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 2-Aug-2021.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) โˆ’ ๐‘) / 2))
 
Theoremtrireciplem 15682 Lemma for trirecip 15683. Show that the sum converges. (Contributed by Scott Fenton, 22-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (1 / (๐‘› ยท (๐‘› + 1))))    โ‡’   seq1( + , ๐น) โ‡ 1
 
Theoremtrirecip 15683 The sum of the reciprocals of the triangle numbers converge to two. This is Metamath 100 proof #42. (Contributed by Scott Fenton, 23-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-May-2014.)
ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (2 / (๐‘˜ ยท (๐‘˜ + 1))) = 2
 
5.10.9  Geometric series
 
Theoremexpcnv 15684* A sequence of powers of a complex number ๐ด with absolute value smaller than 1 converges to zero. (Contributed by NM, 8-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ดโ†‘๐‘›)) โ‡ 0)
 
Theoremexplecnv 15685* A sequence of terms converges to zero when it is less than powers of a number ๐ด whose absolute value is smaller than 1. (Contributed by NM, 19-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
๐‘ = (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ ๐‘‰)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐‘) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘˜))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐น โ‡ 0)
 
Theoremgeoserg 15686* The value of the finite geometric series ๐ดโ†‘๐‘€ + ๐ดโ†‘(๐‘€ + 1) +... + ๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1). (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ดโ†‘๐‘˜) = (((๐ดโ†‘๐‘€) โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremgeoser 15687* The value of the finite geometric series 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2 +... + ๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1). This is Metamath 100 proof #66. (Contributed by NM, 12-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜) = ((1 โˆ’ (๐ดโ†‘๐‘)) / (1 โˆ’ ๐ด)))
 
Theorempwdif 15688* The difference of two numbers to the same power is the difference of the two numbers multiplied with a finite sum. Generalization of subsq 14040. See Wikipedia "Fermat number", section "Other theorems about Fermat numbers", https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number 14040, 5-Aug-2021. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.) (Revised by AV, 19-Aug-2021.)
((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (๐ตโ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ ๐ต) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (๐ตโ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
 
Theorempwm1geoser 15689* The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2 +... + ๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
 
Theoremgeolim 15690* The partial sums in the infinite series 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2... converge to (1 / (1 โˆ’ ๐ด)). (Contributed by NM, 15-May-2006.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โ‡ (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremgeolim2 15691* The partial sums in the geometric series ๐ดโ†‘๐‘€ + ๐ดโ†‘(๐‘€ + 1)... converge to ((๐ดโ†‘๐‘€) / (1 โˆ’ ๐ด)). (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) < 1)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€)) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (๐ดโ†‘๐‘˜))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq๐‘€( + , ๐น) โ‡ ((๐ดโ†‘๐‘€) / (1 โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremgeoreclim 15692* The limit of a geometric series of reciprocals. (Contributed by Paul Chapman, 28-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)    &   (๐œ‘ โ†’ 1 < (absโ€˜๐ด))    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((1 / ๐ด)โ†‘๐‘˜))    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ seq0( + , ๐น) โ‡ (๐ด / (๐ด โˆ’ 1)))
 
Theoremgeo2sum 15693* The value of the finite geometric series 2โ†‘-1 + 2โ†‘-2 +... + 2โ†‘-๐‘, multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(๐ด / (2โ†‘๐‘˜)) = (๐ด โˆ’ (๐ด / (2โ†‘๐‘))))
 
Theoremgeo2sum2 15694* The value of the finite geometric series 1 + 2 + 4 + 8 +... + 2โ†‘(๐‘ โˆ’ 1). (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2016.)
(๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)(2โ†‘๐‘˜) = ((2โ†‘๐‘) โˆ’ 1))
 
Theoremgeo2lim 15695* The value of the infinite geometric series 2โ†‘-1 + 2โ†‘-2 +... , multiplied by a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)
๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐ด / (2โ†‘๐‘˜)))    โ‡’   (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ ๐ด)
 
Theoremgeomulcvg 15696* The geometric series converges even if it is multiplied by ๐‘˜ to result in the larger series ๐‘˜ ยท ๐ดโ†‘๐‘˜. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Mar-2015.)
๐น = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘˜ ยท (๐ดโ†‘๐‘˜)))    โ‡’   ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
 
Theoremgeoisum 15697* The infinite sum of 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2... is (1 / (1 โˆ’ ๐ด)). (Contributed by NM, 15-May-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ดโ†‘๐‘˜) = (1 / (1 โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremgeoisumr 15698* The infinite sum of reciprocals 1 + (1 / ๐ด)โ†‘1 + (1 / ๐ด)โ†‘2... is ๐ด / (๐ด โˆ’ 1). (Contributed by rpenner, 3-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 < (absโ€˜๐ด)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„•0 ((1 / ๐ด)โ†‘๐‘˜) = (๐ด / (๐ด โˆ’ 1)))
 
Theoremgeoisum1 15699* The infinite sum of ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2... is (๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)). (Contributed by NM, 1-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐ด) < 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ดโ†‘๐‘˜) = (๐ด / (1 โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremgeoisum1c 15700* The infinite sum of ๐ด ยท (๐‘…โ†‘1) + ๐ด ยท (๐‘…โ†‘2)... is (๐ด ยท ๐‘…) / (1 โˆ’ ๐‘…). (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜๐‘…) < 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• (๐ด ยท (๐‘…โ†‘๐‘˜)) = ((๐ด ยท ๐‘…) / (1 โˆ’ ๐‘…)))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14900 150 14901-15000 151 15001-15100 152 15101-15200 153 15201-15300 154 15301-15400 155 15401-15500 156 15501-15600 157 15601-15700 158 15701-15800 159 15801-15900 160 15901-16000 161 16001-16100 162 16101-16200 163 16201-16300 164 16301-16400 165 16401-16500 166 16501-16600 167 16601-16700 168 16701-16800 169 16801-16900 170 16901-17000 171 17001-17100 172 17101-17200 173 17201-17300 174 17301-17400 175 17401-17500 176 17501-17600 177 17601-17700 178 17701-17800 179 17801-17900 180 17901-18000 181 18001-18100 182 18101-18200 183 18201-18300 184 18301-18400 185 18401-18500 186 18501-18600 187 18601-18700 188 18701-18800 189 18801-18900 190 18901-19000 191 19001-19100 192 19101-19200 193 19201-19300 194 19301-19400 195 19401-19500 196 19501-19600 197 19601-19700 198 19701-19800 199 19801-19900 200 19901-20000 201 20001-20100 202 20101-20200 203 20201-20300 204 20301-20400 205 20401-20500 206 20501-20600 207 20601-20700 208 20701-20800 209 20801-20900 210 20901-21000 211 21001-21100 212 21101-21200 213 21201-21300 214 21301-21400 215 21401-21500 216 21501-21600 217 21601-21700 218 21701-21800 219 21801-21900 220 21901-22000 221 22001-22100 222 22101-22200 223 22201-22300 224 22301-22400 225 22401-22500 226 22501-22600 227 22601-22700 228 22701-22800 229 22801-22900 230 22901-23000 231 23001-23100 232 23101-23200 233 23201-23300 234 23301-23400 235 23401-23500 236 23501-23600 237 23601-23700 238 23701-23800 239 23801-23900 240 23901-24000 241 24001-24100 242 24101-24200 243 24201-24300 244 24301-24400 245 24401-24500 246 24501-24600 247 24601-24700 248 24701-24800 249 24801-24900 250 24901-25000 251 25001-25100 252 25101-25200 253 25201-25300 254 25301-25400 255 25401-25500 256 25501-25600 257 25601-25700 258 25701-25800 259 25801-25900 260 25901-26000 261 26001-26100 262 26101-26200 263 26201-26300 264 26301-26400 265 26401-26500 266 26501-26600 267 26601-26700 268 26701-26800 269 26801-26900 270 26901-27000 271 27001-27100 272 27101-27200 273 27201-27300 274 27301-27400 275 27401-27500 276 27501-27600 277 27601-27700 278 27701-27800 279 27801-27900 280 27901-28000 281 28001-28100 282 28101-28200 283 28201-28300 284 28301-28400 285 28401-28500 286 28501-28600 287 28601-28700 288 28701-28800 289 28801-28900 290 28901-29000 291 29001-29100 292 29101-29200 293 29201-29300 294 29301-29400 295 29401-29500 296 29501-29600 297 29601-29700 298 29701-29800 299 29801-29900 300 29901-30000 301 30001-30100 302 30101-30200 303 30201-30300 304 30301-30400 305 30401-30500 306 30501-30600 307 30601-30700 308 30701-30800 309 30801-30900 310 30901-31000 311 31001-31100 312 31101-31200 313 31201-31300 314 31301-31400 315 31401-31500 316 31501-31600 317 31601-31700 318 31701-31800 319 31801-31900 320 31901-32000 321 32001-32100 322 32101-32200 323 32201-32300 324 32301-32400 325 32401-32500 326 32501-32600 327 32601-32700 328 32701-32800 329 32801-32900 330 32901-33000 331 33001-33100 332 33101-33200 333 33201-33300 334 33301-33400 335 33401-33500 336 33501-33600 337 33601-33700 338 33701-33800 339 33801-33900 340 33901-34000 341 34001-34100 342 34101-34200 343 34201-34300 344 34301-34400 345 34401-34500 346 34501-34600 347 34601-34700 348 34701-34800 349 34801-34900 350 34901-35000 351 35001-35100 352 35101-35200 353 35201-35300 354 35301-35400 355 35401-35500 356 35501-35600 357 35601-35700 358 35701-35800 359 35801-35900 360 35901-36000 361 36001-36100 362 36101-36200 363 36201-36300 364 36301-36400 365 36401-36500 366 36501-36600 367 36601-36700 368 36701-36800 369 36801-36900 370 36901-37000 371 37001-37100 372 37101-37200 373 37201-37300 374 37301-37400 375 37401-37500 376 37501-37600 377 37601-37700 378 37701-37800 379 37801-37900 380 37901-38000 381 38001-38100 382 38101-38200 383 38201-38300 384 38301-38400 385 38401-38500 386 38501-38600 387 38601-38700 388 38701-38800 389 38801-38900 390 38901-39000 391 39001-39100 392 39101-39200 393 39201-39300 394 39301-39400 395 39401-39500 396 39501-39600 397 39601-39700 398 39701-39800 399 39801-39900 400 39901-40000 401 40001-40100 402 40101-40200 403 40201-40300 404 40301-40400 405 40401-40500 406 40501-40600 407 40601-40700 408 40701-40800 409 40801-40900 410 40901-41000 411 41001-41100 412 41101-41200 413 41201-41300 414 41301-41400 415 41401-41500 416 41501-41600 417 41601-41700 418 41701-41800 419 41801-41900 420 41901-42000 421 42001-42100 422 42101-42200 423 42201-42300 424 42301-42400 425 42401-42500 426 42501-42600 427 42601-42700 428 42701-42800 429 42801-42900 430 42901-43000 431 43001-43100 432 43101-43200 433 43201-43300 434 43301-43400 435 43401-43500 436 43501-43600 437 43601-43700 438 43701-43800 439 43801-43900 440 43901-44000 441 44001-44100 442 44101-44200 443 44201-44300 444 44301-44400 445 44401-44500 446 44501-44600 447 44601-44700 448 44701-44800 449 44801-44900 450 44901-45000 451 45001-45100 452 45101-45200 453 45201-45300 454 45301-45400 455 45401-45500 456 45501-45600 457 45601-45700 458 45701-45800 459 45801-45900 460 45901-46000 461 46001-46100 462 46101-46200 463 46201-46300 464 46301-46400 465 46401-46500 466 46501-46600 467 46601-46700 468 46701-46800 469 46801-46900 470 46901-46966
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >