Theorem o1le 15597

Description: Transfer eventual boundedness from a larger function to a smaller function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1le.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
o1le.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
o1le.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1le.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
o1le.5	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → (abs‘𝐶) ≤ (abs‘𝐵))

Assertion

Ref	Expression
o1le	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1le.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
2		o1le.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
3		o1le.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4	3, 2	o1mptrcl 15565	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	lo1o12 15475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1)))
6	2, 5	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐵)) ∈ ≤𝑂(1))
7		fvexd 6897	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐵) ∈ V)
8		o1le.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
9	8	abscld 15381	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
10		o1le.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑀 ≤ 𝑥)) → (abs‘𝐶) ≤ (abs‘𝐵))
11	1, 6, 7, 9, 10	lo1le 15596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐶)) ∈ ≤𝑂(1))
12	8	lo1o12 15475	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (abs‘𝐶)) ∈ ≤𝑂(1)))
13	11, 12	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  ‘cfv 6534  ℂcc 11105  ℝcr 11106   ≤ cle 11247  abscabs 15179  𝑂(1)co1 15428  ≤𝑂(1)clo1 15429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-rp 12973  df-ico 13328  df-seq 13965  df-exp 14026  df-cj 15044  df-re 15045  df-im 15046  df-sqrt 15180  df-abs 15181  df-o1 15432  df-lo1 15433

This theorem is referenced by:  vmadivsum  27334  dchrvmasumlem2  27350  dchrvmasumlem3  27351  dchrvmasumiflem2  27354  dchrisum0fno1  27363  dchrisum0re  27365  dchrisum0lem1  27368  dchrisum0lem3  27371  mudivsum  27382  mulog2sumlem2  27387  2vmadivsumlem  27392  selberglem2  27398  selberg2lem  27402  selberg3lem1  27409  selberg4lem1  27412  pntrsumo1  27417  pntrlog2bndlem2  27430  pntrlog2bndlem3  27431