Theorem o1add2 15538

Description: The sum of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1add2.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
o1add2.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
o1add2.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
o1add2.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1))

Assertion

Ref	Expression
o1add2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1add2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1add2.1	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2	1	ralrimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉)
3		dmmptg 6197	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
5		o1add2.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1))
6		o1dm 15444	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
8	4, 7	eqsstrrd 3966	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
9		reex 11108	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
10	9	ssex 5263	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ V)
12		o1add2.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑉)
13		eqidd 2734	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
14		eqidd 2734	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
15	11, 1, 12, 13, 14	offval2 7639	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
16		o1add2.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1))
17		o1add 15528	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
18	5, 16, 17	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∘f + (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
19	15, 18	eqeltrrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝑂(1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5621  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617  ℝcr 11016   + caddc 11020  𝑂(1)co1 15400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-pm 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9337  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-ico 13258  df-seq 13916  df-exp 13976  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-o1 15404

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  27456  dchrisum0lem1  27474  dchrisum0lem3  27477  mulog2sumlem2  27493  selberglem1  27503  selberg3  27517  selberg4  27519  selberg4r  27528  selberg34r  27529  pntrlog2bndlem2  27536