MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1add2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1add2 15512
Description: The sum of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
o1add2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
o1add2.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
o1add2.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1add2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1add2
StepHypRef Expression
1 o1add2.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
21ralrimiva 3140 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
3 dmmptg 6195 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
5 o1add2.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
6 o1dm 15418 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
84, 7eqsstrrd 3984 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
9 reex 11147 . . . . 5 ℝ ∈ V
109ssex 5279 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
118, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
12 o1add2.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
13 eqidd 2734 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
14 eqidd 2734 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
1511, 1, 12, 13, 14offval2 7638 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
16 o1add2.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
17 o1add 15502 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥𝐴𝐵) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1))
185, 16, 17syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∘f + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1))
1915, 18eqeltrrd 2835 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061  Vcvv 3444  wss 3911  cmpt 5189  dom cdm 5634  (class class class)co 7358  f cof 7616  cr 11055   + caddc 11059  𝑂(1)co1 15374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-o1 15378
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  26862  dchrisum0lem1  26880  dchrisum0lem3  26883  mulog2sumlem2  26899  selberglem1  26909  selberg3  26923  selberg4  26925  selberg4r  26934  selberg34r  26935  pntrlog2bndlem2  26942
  Copyright terms: Public domain W3C validator