MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulogsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulogsum 27576
Description: Asymptotic formula for Σ𝑛𝑥, (μ(𝑛) / 𝑛)log(𝑥 / 𝑛) = 𝑂(1). Equation 10.2.6 of [Shapiro], p. 406. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsum (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Proof of Theorem mulogsum
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 13042 . . . 4 + ⊆ ℝ
2 ax-1cn 11213 . . . 4 1 ∈ ℂ
3 o1const 15656 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
41, 2, 3mp2an 692 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
5 1cnd 11256 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
6 fzfid 14014 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
7 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
87adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
9 mucl 27184 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
1110zred 12722 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
1211, 8nndivred 12320 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
137nnrpd 13075 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
14 rpdivcl 13060 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1513, 14sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1615relogcld 26665 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1712, 16remulcld 11291 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
1817recnd 11289 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
196, 18fsumcl 15769 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
2019adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
21 mulogsumlem 27575 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
22 sumex 15724 . . . . . . . 8 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ V)
2421a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
2523, 24o1mptrcl 15659 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
265, 20subcld 11620 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
27 1red 11262 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
28 fz1ssnn 13595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ ℕ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ ℕ)
3029sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3130, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
3231zred 12722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
3332, 30nndivred 12320 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
3433recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
35 fzfid 14014 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ Fin)
36 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3837nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
3938rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
40 reccl 11929 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
4235, 41fsumcl 15769 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
43 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4443, 13, 14syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4544relogcld 26665 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
4645recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
4734, 42, 46subdid 11719 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
4847sumeq2dv 15738 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
49 fzfid 14014 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
5034, 42mulcld 11281 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) ∈ ℂ)
5118adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
5249, 50, 51fsumsub 15824 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
53 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 · 𝑚) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑛 · 𝑚)))
5453oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 · 𝑚) → ((μ‘𝑛) · (1 / 𝑘)) = ((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))))
55 rpre 13043 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
57 ssrab2 4080 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘} ⊆ ℕ
58 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})) → 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})
5957, 58sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})) → 𝑛 ∈ ℕ)
6059, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
6160zcnd 12723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})) → (μ‘𝑛) ∈ ℂ)
62 elfznn 13593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ)
6463nnrecred 12317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
6564recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
6665adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
6761, 66mulcld 11281 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})) → ((μ‘𝑛) · (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
6854, 56, 67dvdsflsumcom 27231 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘} ((μ‘𝑛) · (1 / 𝑘)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))))
69 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (1 / 𝑘) = (1 / 1))
70 1div1e1 11958 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 1) = 1
7169, 70eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (1 / 𝑘) = 1)
72 flge1nn 13861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
7355, 72sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
74 nnuz 12921 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
7573, 74eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1))
76 eluzfz1 13571 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
7871, 49, 29, 77, 65musumsum 27235 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘} ((μ‘𝑛) · (1 / 𝑘)) = 1)
7931zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℂ)
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (μ‘𝑛) ∈ ℂ)
8130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8281nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
8382rpcnne0d 13086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
84 divdiv1 11978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((μ‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) / 𝑚) = ((μ‘𝑛) / (𝑛 · 𝑚)))
8580, 83, 39, 84syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) / 𝑚) = ((μ‘𝑛) / (𝑛 · 𝑚)))
8634adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
8737nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
8837nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ≠ 0)
8986, 87, 88divrecd 12046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) / 𝑚) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (1 / 𝑚)))
90 nnmulcl 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑚) ∈ ℕ)
9130, 36, 90syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑛 · 𝑚) ∈ ℕ)
9291nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑛 · 𝑚) ∈ ℂ)
9391nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑛 · 𝑚) ≠ 0)
9480, 92, 93divrecd 12046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((μ‘𝑛) / (𝑛 · 𝑚)) = ((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))))
9585, 89, 943eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (1 / 𝑚)))
9695sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (1 / 𝑚)))
9735, 34, 41fsummulc2 15820 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (1 / 𝑚)))
9896, 97eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)))
9998sumeq2dv 15738 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)))
10068, 78, 993eqtr3rd 2786 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) = 1)
101100oveq1d 7446 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
10248, 52, 1013eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
103102adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
10425, 26, 27, 103o1eq 15606 . . . . 5 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)))
10521, 104mpbii 233 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
1065, 20, 105o1dif 15666 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)))
1074, 106mpbii 233 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1))
108107mptru 1547 1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  ...cfz 13547  cfl 13830  𝑂(1)co1 15522  Σcsu 15722  cdvds 16290  logclog 26596  μcmu 27138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-o1 15526  df-lo1 15527  df-sum 15723  df-ef 16103  df-e 16104  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-pc 16875  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-ulm 26420  df-log 26598  df-atan 26910  df-em 27036  df-mu 27144
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  27580  selberglem1  27589
  Copyright terms: Public domain W3C validator