MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulogsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulogsum 27590
Description: Asymptotic formula for Σ𝑛𝑥, (μ(𝑛) / 𝑛)log(𝑥 / 𝑛) = 𝑂(1). Equation 10.2.6 of [Shapiro], p. 406. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsum (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Proof of Theorem mulogsum
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 13039 . . . 4 + ⊆ ℝ
2 ax-1cn 11210 . . . 4 1 ∈ ℂ
3 o1const 15652 . . . 4 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
41, 2, 3mp2an 692 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
5 1cnd 11253 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
6 fzfid 14010 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
7 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
87adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
9 mucl 27198 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
1110zred 12719 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
1211, 8nndivred 12317 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
137nnrpd 13072 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
14 rpdivcl 13057 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1513, 14sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1615relogcld 26679 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1712, 16remulcld 11288 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
1817recnd 11286 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
196, 18fsumcl 15765 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
2019adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
21 mulogsumlem 27589 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
22 sumex 15720 . . . . . . . 8 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ V)
2421a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
2523, 24o1mptrcl 15655 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
265, 20subcld 11617 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
27 1red 11259 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
28 fz1ssnn 13591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ ℕ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ ℕ)
3029sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3130, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
3231zred 12719 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
3332, 30nndivred 12317 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
3433recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
35 fzfid 14010 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ Fin)
36 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
3837nnrpd 13072 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
3938rpcnne0d 13083 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
40 reccl 11926 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
4235, 41fsumcl 15765 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
43 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4443, 13, 14syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
4544relogcld 26679 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
4645recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
4734, 42, 46subdid 11716 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
4847sumeq2dv 15734 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
49 fzfid 14010 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
5034, 42mulcld 11278 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) ∈ ℂ)
5118adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
5249, 50, 51fsumsub 15820 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
53 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 · 𝑚) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑛 · 𝑚)))
5453oveq2d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 · 𝑚) → ((μ‘𝑛) · (1 / 𝑘)) = ((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))))
55 rpre 13040 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
57 ssrab2 4089 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘} ⊆ ℕ
58 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})) → 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})
5957, 58sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})) → 𝑛 ∈ ℕ)
6059, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
6160zcnd 12720 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})) → (μ‘𝑛) ∈ ℂ)
62 elfznn 13589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ)
6463nnrecred 12314 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
6564recnd 11286 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
6665adantrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
6761, 66mulcld 11278 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘})) → ((μ‘𝑛) · (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
6854, 56, 67dvdsflsumcom 27245 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘} ((μ‘𝑛) · (1 / 𝑘)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))))
69 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → (1 / 𝑘) = (1 / 1))
70 1div1e1 11955 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 1) = 1
7169, 70eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (1 / 𝑘) = 1)
72 flge1nn 13857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
7355, 72sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
74 nnuz 12918 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘1)
7573, 74eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1))
76 eluzfz1 13567 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
7871, 49, 29, 77, 65musumsum 27249 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦𝑘} ((μ‘𝑛) · (1 / 𝑘)) = 1)
7931zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℂ)
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (μ‘𝑛) ∈ ℂ)
8130adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
8281nnrpd 13072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
8382rpcnne0d 13083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
84 divdiv1 11975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((μ‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) / 𝑚) = ((μ‘𝑛) / (𝑛 · 𝑚)))
8580, 83, 39, 84syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) / 𝑚) = ((μ‘𝑛) / (𝑛 · 𝑚)))
8634adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
8737nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
8837nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ≠ 0)
8986, 87, 88divrecd 12043 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) / 𝑚) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (1 / 𝑚)))
90 nnmulcl 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑚) ∈ ℕ)
9130, 36, 90syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑛 · 𝑚) ∈ ℕ)
9291nncnd 12279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑛 · 𝑚) ∈ ℂ)
9391nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑛 · 𝑚) ≠ 0)
9480, 92, 93divrecd 12043 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((μ‘𝑛) / (𝑛 · 𝑚)) = ((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))))
9585, 89, 943eqtr3rd 2783 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (1 / 𝑚)))
9695sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (1 / 𝑚)))
9735, 34, 41fsummulc2 15816 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (1 / 𝑚)))
9896, 97eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)))
9998sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)))
10068, 78, 993eqtr3rd 2783 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) = 1)
101100oveq1d 7445 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
10248, 52, 1013eqtrd 2778 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
103102adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
10425, 26, 27, 103o1eq 15602 . . . . 5 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)))
10521, 104mpbii 233 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
1065, 20, 105o1dif 15662 . . 3 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)))
1074, 106mpbii 233 . 2 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1))
108107mptru 1543 1 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105  wne 2937  {crab 3432  Vcvv 3477  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  cz 12610  cuz 12875  +crp 13031  ...cfz 13543  cfl 13826  𝑂(1)co1 15518  Σcsu 15718  cdvds 16286  logclog 26610  μcmu 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-o1 15522  df-lo1 15523  df-sum 15719  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ulm 26434  df-log 26612  df-atan 26924  df-em 27050  df-mu 27158
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  27594  selberglem1  27603
  Copyright terms: Public domain W3C validator