Theorem mulogsum 27380

Description: Asymptotic formula for Σ𝑛 ≤ 𝑥, (μ(𝑛) / 𝑛)log(𝑥 / 𝑛) = 𝑂(1). Equation 10.2.6 of [Shapiro], p. 406. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulogsum	⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Proof of Theorem mulogsum

Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpssre 12977	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
2		ax-1cn 11163	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
3		o1const 15560	. . . 4 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
4	1, 2, 3	mp2an 689	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
5		1cnd 11205	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
6		fzfid 13934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
7		elfznn 13526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
9		mucl 26988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
11	10	zred 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
12	11, 8	nndivred 12262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
13	7	nnrpd 13010	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
14		rpdivcl 12995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
15	13, 14	sylan2 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
16	15	relogcld 26472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
17	12, 16	remulcld 11240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
19	6, 18	fsumcl 15675	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
21		mulogsumlem 27379	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
22		sumex 15630	. . . . . . . 8 ⊢ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ V)
24	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
25	23, 24	o1mptrcl 15563	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
26	5, 20	subcld 11567	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
27		1red 11211	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℝ)
28		fz1ssnn 13528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ ℕ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (1...(⌊‘𝑥)) ⊆ ℕ)
30	29	sselda 3974	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
31	30, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
32	31	zred 12662	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℝ)
33	32, 30	nndivred 12262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
34	33	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
35		fzfid 13934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ Fin)
36		elfznn 13526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛))) → 𝑚 ∈ ℕ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℕ)
38	37	nnrpd 13010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℝ+)
39	38	rpcnne0d 13021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
40		reccl 11875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
42	35, 41	fsumcl 15675	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
43		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ+)
44	43, 13, 14	syl2an 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
45	44	relogcld 26472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
46	45	recnd 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
47	34, 42, 46	subdid 11666	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = ((((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
48	47	sumeq2dv 15645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
49		fzfid 13934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
50	34, 42	mulcld 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) ∈ ℂ)
51	18	adantlr 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
52	49, 50, 51	fsumsub 15730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
53		oveq2 7409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑛 · 𝑚) → (1 / 𝑘) = (1 / (𝑛 · 𝑚)))
54	53	oveq2d 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 · 𝑚) → ((μ‘𝑛) · (1 / 𝑘)) = ((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))))
55		rpre 12978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
57		ssrab2 4069	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘} ⊆ ℕ
58		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘})) → 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘})
59	57, 58	sselid 3972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘})) → 𝑛 ∈ ℕ)
60	59, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘})) → (μ‘𝑛) ∈ ℤ)
61	60	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘})) → (μ‘𝑛) ∈ ℂ)
62		elfznn 13526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑘 ∈ ℕ)
63	62	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑘 ∈ ℕ)
64	63	nnrecred 12259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
65	64	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
66	65	adantrr 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘})) → (1 / 𝑘) ∈ ℂ)
67	61, 66	mulcld 11230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘})) → ((μ‘𝑛) · (1 / 𝑘)) ∈ ℂ)
68	54, 56, 67	dvdsflsumcom 27035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘} ((μ‘𝑛) · (1 / 𝑘)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))))
69		oveq2 7409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 1 → (1 / 𝑘) = (1 / 1))
70		1div1e1 11900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 1) = 1
71	69, 70	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → (1 / 𝑘) = 1)
72		flge1nn 13782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
73	55, 72	sylan 579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ ℕ)
74		nnuz 12861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
75	73, 74	eleqtrdi 2835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘1))
76		eluzfz1 13504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
77	75, 76	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → 1 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
78	71, 49, 29, 77, 65	musumsum 27039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑘 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ ℕ ∣ 𝑦 ∥ 𝑘} ((μ‘𝑛) · (1 / 𝑘)) = 1)
79	31	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (μ‘𝑛) ∈ ℂ)
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (μ‘𝑛) ∈ ℂ)
81	30	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℕ)
82	81	nnrpd 13010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
83	82	rpcnne0d 13021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
84		divdiv1 11921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((μ‘𝑛) ∈ ℂ ∧ (𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) / 𝑚) = ((μ‘𝑛) / (𝑛 · 𝑚)))
85	80, 83, 39, 84	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) / 𝑚) = ((μ‘𝑛) / (𝑛 · 𝑚)))
86	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((μ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
87	37	nncnd 12224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ∈ ℂ)
88	37	nnne0d 12258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → 𝑚 ≠ 0)
89	86, 87, 88	divrecd 11989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) / 𝑚) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (1 / 𝑚)))
90		nnmulcl 12232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑛 · 𝑚) ∈ ℕ)
91	30, 36, 90	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑛 · 𝑚) ∈ ℕ)
92	91	nncnd 12224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑛 · 𝑚) ∈ ℂ)
93	91	nnne0d 12258	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → (𝑛 · 𝑚) ≠ 0)
94	80, 92, 93	divrecd 11989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((μ‘𝑛) / (𝑛 · 𝑚)) = ((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))))
95	85, 89, 94	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))) → ((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · (1 / 𝑚)))
96	95	sumeq2dv 15645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (1 / 𝑚)))
97	35, 34, 41	fsummulc2 15726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (1 / 𝑚)))
98	96, 97	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))) = (((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)))
99	98	sumeq2dv 15645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))((μ‘𝑛) · (1 / (𝑛 · 𝑚))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)))
100	68, 78, 99	3eqtr3rd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) = 1)
101	100	oveq1d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚)) − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
102	48, 52, 101	3eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
103	102	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛)))) = (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))))
104	25, 26, 27, 103	o1eq 15510	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (Σ𝑚 ∈ (1...(⌊‘(𝑥 / 𝑛)))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)))
105	21, 104	mpbii 232	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 − Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
106	5, 20, 105	o1dif 15570	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)))
107	4, 106	mpbii 232	. 2 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1))
108	107	mptru 1540	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((μ‘𝑛) / 𝑛) · (log‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  {crab 3424  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11103  ℝcr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   · cmul 11110   ≤ cle 11245   − cmin 11440   / cdiv 11867  ℕcn 12208  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818  ℝ⁺crp 12970  ...cfz 13480  ⌊cfl 13751  𝑂(1)co1 15426  Σcsu 15628   ∥ cdvds 16193  logclog 26404  μcmu 26942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-dju 9891  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-o1 15430  df-lo1 15431  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16768  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-starv 17210  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ds 17217  df-unif 17218  df-hom 17219  df-cco 17220  df-rest 17366  df-topn 17367  df-0g 17385  df-gsum 17386  df-topgen 17387  df-pt 17388  df-prds 17391  df-xrs 17446  df-qtop 17451  df-imas 17452  df-xps 17454  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-mulg 18985  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21219  df-xmet 21220  df-met 21221  df-bl 21222  df-mopn 21223  df-fbas 21224  df-fg 21225  df-cnfld 21228  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-cmp 23212  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717  df-ulm 26229  df-log 26406  df-atan 26714  df-em 26840  df-mu 26948

This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  27384  selberglem1  27393