MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulogsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulogsum 27015
Description: Asymptotic formula for Σ𝑛 ≀ π‘₯, (ΞΌ(𝑛) / 𝑛)log(π‘₯ / 𝑛) = 𝑂(1). Equation 10.2.6 of [Shapiro], p. 406. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsum (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛

Proof of Theorem mulogsum
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 12977 . . . 4 ℝ+ βŠ† ℝ
2 ax-1cn 11164 . . . 4 1 ∈ β„‚
3 o1const 15560 . . . 4 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1))
41, 2, 3mp2an 691 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1)
5 1cnd 11205 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„‚)
6 fzfid 13934 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
7 elfznn 13526 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
87adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
9 mucl 26625 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
108, 9syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
1110zred 12662 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
1211, 8nndivred 12262 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
137nnrpd 13010 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
14 rpdivcl 12995 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
1513, 14sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
1615relogcld 26113 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
1712, 16remulcld 11240 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ ℝ)
1817recnd 11238 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
196, 18fsumcl 15675 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
2019adantl 483 . . . 4 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
21 mulogsumlem 27014 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)
22 sumex 15630 . . . . . . . 8 Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ V)
2421a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
2523, 24o1mptrcl 15563 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
265, 20subcld 11567 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ β„‚)
27 1red 11211 . . . . . 6 (⊀ β†’ 1 ∈ ℝ)
28 fz1ssnn 13528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) βŠ† β„•)
3029sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3130, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
3231zred 12662 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
3332, 30nndivred 12262 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
3433recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
35 fzfid 13934 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ Fin)
36 elfznn 13526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) β†’ π‘š ∈ β„•)
3736adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ π‘š ∈ β„•)
3837nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
3938rpcnne0d 13021 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0))
40 reccl 11875 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0) β†’ (1 / π‘š) ∈ β„‚)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (1 / π‘š) ∈ β„‚)
4235, 41fsumcl 15675 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) ∈ β„‚)
43 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
4443, 13, 14syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ / 𝑛) ∈ ℝ+)
4544relogcld 26113 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ ℝ)
4645recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)) ∈ β„‚)
4734, 42, 46subdid 11666 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = ((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š)) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
4847sumeq2dv 15645 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š)) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
49 fzfid 13934 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
5034, 42mulcld 11230 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š)) ∈ β„‚)
5118adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))) ∈ β„‚)
5249, 50, 51fsumsub 15730 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))((((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š)) βˆ’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
53 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝑛 Β· π‘š) β†’ (1 / π‘˜) = (1 / (𝑛 Β· π‘š)))
5453oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑛 Β· π‘š) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (1 / π‘˜)) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (1 / (𝑛 Β· π‘š))))
55 rpre 12978 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5655adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
57 ssrab2 4076 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} βŠ† β„•
58 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})
5957, 58sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
6059, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„€)
6160zcnd 12663 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
62 elfznn 13526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
6362adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
6463nnrecred 12259 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
6564recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (1 / π‘˜) ∈ β„‚)
6665adantrr 716 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ (1 / π‘˜) ∈ β„‚)
6761, 66mulcld 11230 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ (π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∧ 𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜})) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (1 / π‘˜)) ∈ β„‚)
6854, 56, 67dvdsflsumcom 26672 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (1 / π‘˜)) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (1 / (𝑛 Β· π‘š))))
69 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 1 β†’ (1 / π‘˜) = (1 / 1))
70 1div1e1 11900 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 1) = 1
7169, 70eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 1 β†’ (1 / π‘˜) = 1)
72 flge1nn 13782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
7355, 72sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ β„•)
74 nnuz 12861 . . . . . . . . . . . . 13 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
7573, 74eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
76 eluzfz1 13504 . . . . . . . . . . . 12 ((βŒŠβ€˜π‘₯) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ 1 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯)))
7871, 49, 29, 77, 65musumsum 26676 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Σ𝑛 ∈ {𝑦 ∈ β„• ∣ 𝑦 βˆ₯ π‘˜} ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (1 / π‘˜)) = 1)
7931zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
8079adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
8130adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
8281nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
8382rpcnne0d 13021 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0))
84 divdiv1 11921 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ΞΌβ€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ (𝑛 ∈ β„‚ ∧ 𝑛 β‰  0) ∧ (π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘š β‰  0)) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) / π‘š) = ((ΞΌβ€˜π‘›) / (𝑛 Β· π‘š)))
8580, 83, 39, 84syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) / π‘š) = ((ΞΌβ€˜π‘›) / (𝑛 Β· π‘š)))
8634adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ β„‚)
8737nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
8837nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ π‘š β‰  0)
8986, 87, 88divrecd 11989 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) / π‘š) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (1 / π‘š)))
90 nnmulcl 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝑛 Β· π‘š) ∈ β„•)
9130, 36, 90syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (𝑛 Β· π‘š) ∈ β„•)
9291nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (𝑛 Β· π‘š) ∈ β„‚)
9391nnne0d 12258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ (𝑛 Β· π‘š) β‰  0)
9480, 92, 93divrecd 11989 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) / (𝑛 Β· π‘š)) = ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (1 / (𝑛 Β· π‘š))))
9585, 89, 943eqtr3rd 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) ∧ π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) β†’ ((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (1 / (𝑛 Β· π‘š))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (1 / π‘š)))
9695sumeq2dv 15645 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (1 / (𝑛 Β· π‘š))) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (1 / π‘š)))
9735, 34, 41fsummulc2 15726 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š)) = Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (1 / π‘š)))
9896, 97eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) ∧ 𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (1 / (𝑛 Β· π‘š))) = (((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š)))
9998sumeq2dv 15645 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))((ΞΌβ€˜π‘›) Β· (1 / (𝑛 Β· π‘š))) = Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š)))
10068, 78, 993eqtr3rd 2782 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š)) = 1)
101100oveq1d 7419 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š)) βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (1 βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
10248, 52, 1013eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (1 βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
103102adantl 483 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) = (1 βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))))
10425, 26, 27, 103o1eq 15510 . . . . 5 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (Ξ£π‘š ∈ (1...(βŒŠβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))(1 / π‘š) βˆ’ (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1)))
10521, 104mpbii 232 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 βˆ’ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛))))) ∈ 𝑂(1))
1065, 20, 105o1dif 15570 . . 3 (⊀ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ 1) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)))
1074, 106mpbii 232 . 2 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1))
108107mptru 1549 1 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(((ΞΌβ€˜π‘›) / 𝑛) Β· (logβ€˜(π‘₯ / 𝑛)))) ∈ 𝑂(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970  ...cfz 13480  βŒŠcfl 13751  π‘‚(1)co1 15426  Ξ£csu 15628   βˆ₯ cdvds 16193  logclog 26045  ΞΌcmu 26579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-o1 15430  df-lo1 15431  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-cmp 22873  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366  df-ulm 25871  df-log 26047  df-atan 26352  df-em 26477  df-mu 26585
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  27019  selberglem1  27028
  Copyright terms: Public domain W3C validator