MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumo1 15704
Description: The finite sum of eventually bounded functions (where the index set 𝐵 does not depend on 𝑥) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumo1.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
fsumo1.2 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
fsumo1.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶𝑉)
fsumo1.4 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
fsumo1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝐵 𝐶) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem fsumo1
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3971 . 2 𝐵𝐵
2 fsumo1.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
3 sseq1 3974 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
4 sumeq1 15580 . . . . . . . . 9 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
5 sum0 15613 . . . . . . . . 9 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 0
64, 5eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → Σ𝑘𝑤 𝐶 = 0)
76mpteq2dv 5212 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ 0))
87eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ 0) ∈ 𝑂(1)))
93, 8imbi12d 345 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) ∈ 𝑂(1)) ↔ (∅ ⊆ 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ 0) ∈ 𝑂(1))))
109imbi2d 341 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → (𝑤𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) ∈ 𝑂(1))) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ 0) ∈ 𝑂(1)))))
11 sseq1 3974 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤𝐵𝑦𝐵))
12 sumeq1 15580 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑦 → Σ𝑘𝑤 𝐶 = Σ𝑘𝑦 𝐶)
1312mpteq2dv 5212 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑦 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶))
1413eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
1511, 14imbi12d 345 . . . . 5 (𝑤 = 𝑦 → ((𝑤𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) ∈ 𝑂(1)) ↔ (𝑦𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1))))
1615imbi2d 341 . . . 4 (𝑤 = 𝑦 → ((𝜑 → (𝑤𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) ∈ 𝑂(1))) ↔ (𝜑 → (𝑦𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1)))))
17 sseq1 3974 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑤𝐵 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵))
18 sumeq1 15580 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑤 𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶)
1918mpteq2dv 5212 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶))
2019eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) ∈ 𝑂(1)))
2117, 20imbi12d 345 . . . . 5 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑤𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) ∈ 𝑂(1)) ↔ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) ∈ 𝑂(1))))
2221imbi2d 341 . . . 4 (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝜑 → (𝑤𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) ∈ 𝑂(1))) ↔ (𝜑 → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) ∈ 𝑂(1)))))
23 sseq1 3974 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → (𝑤𝐵𝐵𝐵))
24 sumeq1 15580 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐵 → Σ𝑘𝑤 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
2524mpteq2dv 5212 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝐵 𝐶))
2625eleq1d 2823 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐵 → ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝐵 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
2723, 26imbi12d 345 . . . . 5 (𝑤 = 𝐵 → ((𝑤𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) ∈ 𝑂(1)) ↔ (𝐵𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝐵 𝐶) ∈ 𝑂(1))))
2827imbi2d 341 . . . 4 (𝑤 = 𝐵 → ((𝜑 → (𝑤𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑤 𝐶) ∈ 𝑂(1))) ↔ (𝜑 → (𝐵𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝐵 𝐶) ∈ 𝑂(1)))))
29 fsumo1.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
30 0cn 11154 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
31 o1const 15509 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑥𝐴 ↦ 0) ∈ 𝑂(1))
3229, 30, 31sylancl 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ 0) ∈ 𝑂(1))
3332a1d 25 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ 0) ∈ 𝑂(1)))
34 ssun1 4137 . . . . . . . . . 10 𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧})
35 sstr 3957 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ⊆ (𝑦 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵) → 𝑦𝐵)
3634, 35mpan 689 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵𝑦𝐵)
3736imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
38 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → ¬ 𝑧𝑦)
39 disjsn 4677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝑦)
4038, 39sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ∩ {𝑧}) = ∅)
42 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (𝑦 ∪ {𝑧}))
432adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → 𝐵 ∈ Fin)
44 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)
4543, 44ssfid 9218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
4645adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
4744sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘𝐵)
4847adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘𝐵)
49 fsumo1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶𝑉)
5049anass1rs 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
51 fsumo1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘𝐵) → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
5250, 51o1mptrcl 15512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
5352an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
5453adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
5548, 54syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐶 ∈ ℂ)
5641, 42, 46, 55fsumsplit 15633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶 = (Σ𝑘𝑦 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐶))
57 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑤𝐶
58 nfcsb1v 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑘𝑤 / 𝑘𝐶
59 csbeq1a 3874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑤𝐶 = 𝑤 / 𝑘𝐶)
6057, 58, 59cbvsumi 15589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐶 = Σ𝑤 ∈ {𝑧}𝑤 / 𝑘𝐶
6144unssbd 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → {𝑧} ⊆ 𝐵)
62 vex 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑧 ∈ V
6362snss 4751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧𝐵 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐵)
6461, 63sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → 𝑧𝐵)
6564adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧𝐵)
6654ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
67 nfcsb1v 3885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑘𝑧 / 𝑘𝐶
6867nfel1 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑘𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
69 csbeq1a 3874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑧𝐶 = 𝑧 / 𝑘𝐶)
7069eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑧 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
7168, 70rspc 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝐵 → (∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
7265, 66, 71sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
73 csbeq1 3863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑧𝑤 / 𝑘𝐶 = 𝑧 / 𝑘𝐶)
7473sumsn 15638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧𝐵𝑧 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑤 ∈ {𝑧}𝑤 / 𝑘𝐶 = 𝑧 / 𝑘𝐶)
7565, 72, 74syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → Σ𝑤 ∈ {𝑧}𝑤 / 𝑘𝐶 = 𝑧 / 𝑘𝐶)
7660, 75eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐶 = 𝑧 / 𝑘𝐶)
7776oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (Σ𝑘𝑦 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐶) = (Σ𝑘𝑦 𝐶 + 𝑧 / 𝑘𝐶))
7856, 77eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶 = (Σ𝑘𝑦 𝐶 + 𝑧 / 𝑘𝐶))
7978mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐶 + 𝑧 / 𝑘𝐶)))
8029adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
81 reex 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ∈ V
8281ssex 5283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
8380, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → 𝐴 ∈ V)
84 sumex 15579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑘𝑦 𝐶 ∈ V
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → Σ𝑘𝑦 𝐶 ∈ V)
86 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) = (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶))
87 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → (𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶) = (𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶))
8883, 85, 72, 86, 87offval2 7642 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∘f + (𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (Σ𝑘𝑦 𝐶 + 𝑧 / 𝑘𝐶)))
8979, 88eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∘f + (𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶)))
9089adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∘f + (𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶)))
91 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1))
9251ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
9392adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → ∀𝑘𝐵 (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
94 nfcv 2908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝐴
9594, 67nfmpt 5217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶)
9695nfel1 2924 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶) ∈ 𝑂(1)
9769mpteq2dv 5212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑧 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶))
9897eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑧 → ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶) ∈ 𝑂(1)))
9996, 98rspc 3572 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝐵 → (∀𝑘𝐵 (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶) ∈ 𝑂(1)))
10064, 93, 99sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → (𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶) ∈ 𝑂(1))
101 o1add 15503 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∘f + (𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶)) ∈ 𝑂(1))
10291, 100, 101syl2anr 598 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∘f + (𝑥𝐴𝑧 / 𝑘𝐶)) ∈ 𝑂(1))
10390, 102eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) ∧ (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) ∈ 𝑂(1))
104103ex 414 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (¬ 𝑧𝑦 ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵)) → ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) ∈ 𝑂(1)))
105104expr 458 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵 → ((𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) ∈ 𝑂(1))))
106105a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) ∈ 𝑂(1))))
10737, 106syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝑦𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) ∈ 𝑂(1))))
108107expcom 415 . . . . . 6 𝑧𝑦 → (𝜑 → ((𝑦𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) ∈ 𝑂(1)))))
109108a2d 29 . . . . 5 𝑧𝑦 → ((𝜑 → (𝑦𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1))) → (𝜑 → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) ∈ 𝑂(1)))))
110109adantl 483 . . . 4 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → ((𝜑 → (𝑦𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝑦 𝐶) ∈ 𝑂(1))) → (𝜑 → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐶) ∈ 𝑂(1)))))
11110, 16, 22, 28, 33, 110findcard2s 9116 . . 3 (𝐵 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐵𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝐵 𝐶) ∈ 𝑂(1))))
1122, 111mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐵𝐵 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝐵 𝐶) ∈ 𝑂(1)))
1131, 112mpi 20 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ Σ𝑘𝐵 𝐶) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  Vcvv 3448  csb 3860  cun 3913  cin 3914  wss 3915  c0 4287  {csn 4591  cmpt 5193  (class class class)co 7362  f cof 7620  Fincfn 8890  cc 11056  cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061  𝑂(1)co1 15375  Σcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  26876
  Copyright terms: Public domain W3C validator