Theorem ofexg 7629

Description: A function operation restricted to a set is a set. (Contributed by NM, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ∘f 𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ofexg

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-of 7624	. . 3 ⊢ ∘f 𝑅 = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (dom 𝑓 ∩ dom 𝑔) ↦ ((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑔‘𝑥))))
2	1	mpofun 7484	. 2 ⊢ Fun ∘f 𝑅
3		resfunexg 7163	. 2 ⊢ ((Fun ∘f 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( ∘f 𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V)
4	2, 3	mpan 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ∘f 𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   ∩ cin 3901   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5625   ↾ cres 5627  Fun wfun 6487  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624

This theorem is referenced by:  ofmresex  7931  psrplusg  21896  dchrplusg  27218