Theorem ofexg 7639

Description: A function operation restricted to a set is a set. (Contributed by NM, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ∘f 𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ofexg

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-of 7634	. . 3 ⊢ ∘f 𝑅 = (𝑓 ∈ V, 𝑔 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (dom 𝑓 ∩ dom 𝑔) ↦ ((𝑓‘𝑥)𝑅(𝑔‘𝑥))))
2	1	mpofun 7494	. 2 ⊢ Fun ∘f 𝑅
3		resfunexg 7173	. 2 ⊢ ((Fun ∘f 𝑅 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ( ∘f 𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V)
4	2, 3	mpan 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( ∘f 𝑅 ↾ 𝐴) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5634   ↾ cres 5636  Fun wfun 6496  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ∘_f cof 7632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5381

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634

This theorem is referenced by:  ofmresex  7941  psrplusg  21909  dchrplusg  27231